W1 Wahrscheinlichkeitsrechnung ­ Grundlagen

Zufallsversuche

Experimente oder Vorgänge, deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist, nennt

man

Zufallsversuche

. Die möglichen Ergebnisse eines solchen Experiments

werden in der Mathematik auch

Ausfälle

genannt. Alle Ausfälle zusammen

bilden die

Grundmenge

des Zufallsversuches.

Beispiel:

Ein Würfel wird geworfen. Es können die Ausfälle 1, 2, 3, 4, 5

oder 6 vorkommen.

Also ist die Grundmenge

G={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Teilmengen von der Grundmenge heißen

Ereignisse

.

Beispiel:

Beim Spielbeginn von ,,Mensch ärgere dich nicht" interessiert

man sich dafür, ob eine 6 fällt oder nicht.

Man will also wissen , ob die gewürfelte Zahl zur Menge

E1={1, 2, 3, 4, 5}

oder zur Menge

E2={6}

gehört.

Häufigkeiten

Bei einem Zufallsversuch weiß man in der Regel nicht, wie oft ein

bestimmter Ausfall vorkommt. Um darüber Aufschluss zu bekommen,

bestimmt man in vielen Versuchen die

relative Häufigkeit

des Ausfalls.

Beispiel:

Jemand überquert jeden Morgen auf dem Schulweg eine

Kreuzung mit Ampel und will wissen, wie oft diese Rot zeigt,

wenn er sie passiert. Er führt eine Liste, in der er 60 Tage lang

einträgt, ob die Ampel auf Rot oder auf Grün steht.

Sein Ergebnis: 37mal Rot und 23mal Grün.

Er werte die Liste aus indem er die Anzahl der Tage, an denen

die Ampel Rot war

(=absolute Häufigkeit)

, durch die Anzahl der

gemachten Versuche teilt. So erhält er die relative Häufigkeit.

Absolute Häufigkeit des Ausfalls

Relative Häufigkeit eines Ausfalls=

----------------------

Anzahl der gemachten Versuche

1

---

Das entspricht in diesem Fall

37

--

0,62

60

Und nun kann man sagen: An etwa 62% aller Tage steht die

Ampel auf Rot.

Wahrscheinlichkeit

- eines Ausfalls

Die relative Häufigkeit eines Ausfalls bei einem Zufallsversuch nähert sich

immer an einen bestimmten Wert an, wenn das Experiment oft genug

durchgeführt wird. Also liegt es nahe, diesen Wert als die

Wahrscheinlichkeit

eines Ausfalls zu bezeichnen.

Beispiel:

Beim 200maligen werfen einer Reißzwecke stellt man fest,

dass sie 70mal in der Lage ,, ,, liegen bleibt. Nach 500

Wür-

fen ist sie 162mal so liegengeblieben.

70 162

Da -- -- 2 sagt man nun:

200 500

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Reißzwecke in der Lage ,, ,,

liegen bleibt, ist 2.

Man meint damit, dass die Reißzwecke auch in Zukunft bei

z.B. 30 Würfen in ca. 2

30 = 10

Fällen so liegt.

- eines Ereignisses

Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten, da entweder alle Ausfälle eines

Zufallsversuches gleichwahrscheinlich sein können oder auch nicht.

Beim Würfeln mit einem Würfel trifft jeder mögliche Ausfall, also 1, 2, 3,

4, 5 oder 6, mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 ein, also sind alle Ausfälle

gleichwahrscheinlich

.

Es wird nun mit einem roten und einem weißen Würfel gewürfelt. Mit

welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man eine Augenzahl von 5?

Es gibt insgesamt 36 gleichwahrscheinliche Möglichkeiten, wie zwei

verschiedenfarbige Würfel fallen können. Die Fälle, bei denen die

Augensumme 5 ist, sind

roter Würfel 1 2 3 4

------------------------

weißer Würfel

4 3 2 1

2

---

In 4 von 36 Fällen ist die Augensumme 5.

Anzahl der zum Ereignis gehörenden Ausfälle

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses= ------------------------------

Anzahl der möglichen Ausfälle

Die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 5 ist also

4
-- =

8

36

Wahrscheinlichkeiten werden oft anstatt in Bruchteilen auch in Prozent

angegeben. In diesem Fall: 8 0,1111 11,11%.

Nehmen wir nun ein anderes Beispiel, in dem die Ausfälle

nicht

gleichwahrscheinlich

sind.

Ein Würfel wurde verändert: Aus der ,,1" wurde eine ,,2" gemacht. Wie

groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ,,gerade Zahl fällt"? Das

Ereignis ,,gerade Zahl fällt" wird durch

E={2, 4, 6}

beschrieben. Die

Wahrscheinlichkeit für ,,2" ist also (25), die für ,,4" und ,,6" je 5. Die

Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu werfen, ist also

2 4

-- +

5

+

5

= -- =

B

6

6

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist Die

Summe der

Wahrscheinlichkeiten aller Ausfälle, die zu dem Ereignis gehören

.

3

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Übungsaufgaben

1.)

Herr Nowak hat in seiner Tasche fünf Schlüssel S1, S2, S3, S4 und S5,

von denen nur S1 bei seiner Haustür passt. Er zieht zwei Schlüssel

gleichzeitig heraus.

a) Welche Schlüssel könnte er in der Hand haben? Schreibe alle

Möglichkeiten als Grundmenge G auf!

b) Schreibe das Ereignis ,,Der passende Schlüssel ist nicht dabei" als

Teilmenge der Grundmenge auf! (alle Möglichkeiten)

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Herr Nowak den

passenden Schlüssel in der Hand hat?

2.)

Bei einem Quiz, das im Fernsehen jeden Monat läuft, darf der

Hauptgewinner mit verbundenen Augen in eine Kiste greifen, in der ein

100-DM-Schein, zwei 500-DM-Scheine und ein 1000-DM-Schein liegen,

und einen dieser Scheine als Gewinn ziehen. Was kostet diese Verfahren

die Fernsehanstalt ,,im Mittel"?

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