Ausarbeitung:

Profilkurs Mathematik / Informatik

Gruppe 2

Autoren:

Jan Raupach und Martin Behrens

Thema: Abweichungsmaße

Gliederung:

Statistik

- Bedeutung und Anwendung von Abweichungsmaßen -

Inhalt:

I. Abweichungsmaße

· Geschichtliche Aspekte

· Begriffe: Definition

· Bedeutung

II. Anwendung

· Works

· Beispielaufgabe

Einfache Formen der Statistik gab es schon auf frühen Stufen der Zivilisation. So benutzten

die Babylonier schon 3000 v. Chr. kleine Tontafeln für tabellarische Aufstellungen von
landwirtschaftlichen Erträgen und von getauschten oder verkauften Waren. Um auf die

Gegebenheiten richtig reagieren zu können, ist eine Bewertung der Daten nötig.

II

Die Statistik

ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Sammlung, Zusammenstellung und

Analyse von Zahlenmaterial ­ den statistischen Daten ­ für wissenschaftliche, soziale, politische

und wirtschaftliche Zwecke beschäftigt. Zur Bewertung dienen die Abweichungsmaße.

I. Die Abweichungsmaße:

- Spannweite -

Berechnung:

R= X Max - XMin

Definition:

Differenz vom größten zum kleinsten Wert

Bedeutung:

Kann zur besseren Einschätzung von Datensätzen kleineren Umfangs dienen:

Eine Klassenarbeit hat einen Durchschnitt von 2.0 aber eine Spannweite von 4, daraus kann man

erschließen, daß trotz des guten Durchschnitts wenige schlechte Noten vorhanden sein müssen.

(Bsp.: Note 1 x 3 Note 5 x 1)

- Empirische Streuung -

Häufig hat man mit der empirischen Streuung oder Varianz einer Verteilung zu tun, also damit, ob

sich die Werte um einen Mittelwert häufen oder ob sie mehr oder weniger gleichmäßig über das

ganze Spektrum verstreut sind.

Berechnung:

S2 = (x1-x) + (x2-x) + ( ... ) + (xn-x)

n

Definition:

Gewichtete Quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert.

Bedeutung:

Maßzahl zur Charakterisierung der Ausbreitung der Verteilung der Werte um einen Mittelwert.

In vielen Fällen reicht der Mittelwert zur Charakterisierung der Abweichung nicht aus.

Die Streuung wird auch als gewichtete Summe der Abweichungsquadrate bezeichnet.

Durch das Quadrieren jeder einzelnen Differenz des Mittelwertes vom Einzelwert werden die

Extremwerte stärker gewichtet.

Beispiel:* Bei der Produktion von Bolzen z.B. ist der Durchmesser ein wichtiges Maß. Bei der

Einrichtung der Maschine ist ihr Mittelwert dem Sollmaß gleich. Während der Produktion stellt sich

aber heraus, daß viele Durchmesser größer bzw. kleiner als das Sollmaß sind; bei gleichem Mittelwert

können nun sogar bei der einen Maschine die Abweichungen groß und bei der anderen klein sein. Sie

müssen aber innerhalb der Toleranzgrenzen liegen. Zu ihrer Beschreibung wird die Streuung oder

Varianz genutzt.

Erstmalig wurde dieses Verfahren von

Carl Friedrich Gauß

(geb. 1777, gest. 1855), einem deutschen

Gelehrten, der bahnbrechend Erkenntnisse in Mathematik, Physik, Geodäsie und Astronomie

herausstellte, angewandt. Er erfand mit Weber den elektromagnetischen Telegraphen, entwickelte die

moderne Zahlentheorie, Algebra und Analyse sowie Funktionstheorie, und Methoden zur

Berechnung von Planetenbahnen und führte das absolute Maßsystem ein.

- Empirische Standardabweichung -

III

Berechnung:

(x1-x) + (x2-x) + ( ... ) + (xn-x)

S =

n

Wurzel der Varianz

Definition:

Mittlere Quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert.

Bedeutung:

Maßzahl zur Charakterisierung der Ausbreitung der Verteilung der Werte um einen Mittelwert.

Die Bedeutung gleicht wie die Berechnung größtenteils der der Varianz. Der Unterschied ist

lediglich, daß bei der Standardabweichung durch das Wurzelziehen aus der Summe der

Abweichungsquadrate Extremwerte weniger stark gewichtet werden. Ist die Standardabweichung

gering, so häufen sich die Messungen um den Mittelwert; ist sie groß, so sind sie weit verstreut.

Als Beispiel kann man sich eine Aufgabe vorstellen, in der die extrem Abweichungen von Interesse,

aber nicht unbedingt Ausschlaggebend sind.

II. Anwendung

- Microsoft WORKS -

Version 4.0 für Windows 95

Spannweite:

Für die Spannweite existiert in WORKS keine Konkrete Funktion.

Allerdings kann man mit Hilfe der Funktionen MAX(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...)

und MIN(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...), den größten bzw. kleinsten Wert eines

Bereichsbezuges ausgeben lassen und daraus die Differenz bilden.

Empirische Streuung:

Funktion: VARIANZ(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...)

Anwendung:

-

VARIANZ ins Eingabefeld eingeben.

-

Durch Semikolon getrennte Argumente in Klammern Setzen (von der ersten zur letzten Zelle)

Empirische Standardabweichung:

Funktion: STABW(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...)

Die Funktion liefert als Ergebnis die Standardabweichung einer Grundmenge basierend auf einem, in

Bereichsbezügen angegebenen, Musters.

Anwendung:

-

STABW ins Eingabefeld eingeben.

-

Durch Semikolon getrennte Argumente in Klammern Setzen (von der ersten zur letzten Zelle)

Martin Behrens

Quellen: *Mathematik(1969), Lexikon Mathematik(1979) -VEB Bibliographisches Institut Leipzig; Microsoft

Encarta`97, WORKS4.0

Textverarbeitung: Microsoft WORD`97