Abweichungsmaße

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Details
Volltext (computergeneriert)
Ausarbeitung:
Profilkurs Mathematik / Informatik
Gruppe 2
Autoren:
Jan Raupach und Martin Behrens
Thema: Abweichungsmaße
Gliederung:
Statistik
- Bedeutung und Anwendung von Abweichungsmaßen -
Inhalt:
I. Abweichungsmaße
· Geschichtliche Aspekte
· Begriffe: Definition
· Bedeutung
II. Anwendung
· Works
· Beispielaufgabe
Einfache Formen der Statistik gab es schon auf frühen Stufen der Zivilisation. So benutzten
die Babylonier schon 3000 v. Chr. kleine Tontafeln für tabellarische Aufstellungen von
landwirtschaftlichen Erträgen und von getauschten oder verkauften Waren. Um auf die
Gegebenheiten richtig reagieren zu können, ist eine Bewertung der Daten nötig.
II
Die Statistik
ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Sammlung, Zusammenstellung und
Analyse von Zahlenmaterial den statistischen Daten für wissenschaftliche, soziale, politische
und wirtschaftliche Zwecke beschäftigt. Zur Bewertung dienen die Abweichungsmaße.
I. Die Abweichungsmaße:
- Spannweite -
Berechnung:
R= X Max - XMin
Definition:
Differenz vom größten zum kleinsten Wert
Bedeutung:
Kann zur besseren Einschätzung von Datensätzen kleineren Umfangs dienen:
Eine Klassenarbeit hat einen Durchschnitt von 2.0 aber eine Spannweite von 4, daraus kann man
erschließen, daß trotz des guten Durchschnitts wenige schlechte Noten vorhanden sein müssen.
(Bsp.: Note 1 x 3 Note 5 x 1)
- Empirische Streuung -
Häufig hat man mit der empirischen Streuung oder Varianz einer Verteilung zu tun, also damit, ob
sich die Werte um einen Mittelwert häufen oder ob sie mehr oder weniger gleichmäßig über das
ganze Spektrum verstreut sind.
Berechnung:
S2 = (x1-x) + (x2-x) + ( ... ) + (xn-x)
n
Definition:
Gewichtete Quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert.
Bedeutung:
Maßzahl zur Charakterisierung der Ausbreitung der Verteilung der Werte um einen Mittelwert.
In vielen Fällen reicht der Mittelwert zur Charakterisierung der Abweichung nicht aus.
Die Streuung wird auch als gewichtete Summe der Abweichungsquadrate bezeichnet.
Durch das Quadrieren jeder einzelnen Differenz des Mittelwertes vom Einzelwert werden die
Extremwerte stärker gewichtet.
Beispiel:* Bei der Produktion von Bolzen z.B. ist der Durchmesser ein wichtiges Maß. Bei der
Einrichtung der Maschine ist ihr Mittelwert dem Sollmaß gleich. Während der Produktion stellt sich
aber heraus, daß viele Durchmesser größer bzw. kleiner als das Sollmaß sind; bei gleichem Mittelwert
können nun sogar bei der einen Maschine die Abweichungen groß und bei der anderen klein sein. Sie
müssen aber innerhalb der Toleranzgrenzen liegen. Zu ihrer Beschreibung wird die Streuung oder
Varianz genutzt.
Erstmalig wurde dieses Verfahren von
Carl Friedrich Gauß
(geb. 1777, gest. 1855), einem deutschen
Gelehrten, der bahnbrechend Erkenntnisse in Mathematik, Physik, Geodäsie und Astronomie
herausstellte, angewandt. Er erfand mit Weber den elektromagnetischen Telegraphen, entwickelte die
moderne Zahlentheorie, Algebra und Analyse sowie Funktionstheorie, und Methoden zur
Berechnung von Planetenbahnen und führte das absolute Maßsystem ein.
- Empirische Standardabweichung -
III
Berechnung:
(x1-x) + (x2-x) + ( ... ) + (xn-x)
S =
n
Wurzel der Varianz
Definition:
Mittlere Quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert.
Bedeutung:
Maßzahl zur Charakterisierung der Ausbreitung der Verteilung der Werte um einen Mittelwert.
Die Bedeutung gleicht wie die Berechnung größtenteils der der Varianz. Der Unterschied ist
lediglich, daß bei der Standardabweichung durch das Wurzelziehen aus der Summe der
Abweichungsquadrate Extremwerte weniger stark gewichtet werden. Ist die Standardabweichung
gering, so häufen sich die Messungen um den Mittelwert; ist sie groß, so sind sie weit verstreut.
Als Beispiel kann man sich eine Aufgabe vorstellen, in der die extrem Abweichungen von Interesse,
aber nicht unbedingt Ausschlaggebend sind.
II. Anwendung
- Microsoft WORKS -
Version 4.0 für Windows 95
Spannweite:
Für die Spannweite existiert in WORKS keine Konkrete Funktion.
Allerdings kann man mit Hilfe der Funktionen MAX(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...)
und MIN(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...), den größten bzw. kleinsten Wert eines
Bereichsbezuges ausgeben lassen und daraus die Differenz bilden.
Empirische Streuung:
Funktion: VARIANZ(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...)
Anwendung:
-
VARIANZ ins Eingabefeld eingeben.
-
Durch Semikolon getrennte Argumente in Klammern Setzen (von der ersten zur letzten Zelle)
Empirische Standardabweichung:
Funktion: STABW(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...)
Die Funktion liefert als Ergebnis die Standardabweichung einer Grundmenge basierend auf einem, in
Bereichsbezügen angegebenen, Musters.
Anwendung:
-
STABW ins Eingabefeld eingeben.
-
Durch Semikolon getrennte Argumente in Klammern Setzen (von der ersten zur letzten Zelle)
Martin Behrens
Quellen: *Mathematik(1969), Lexikon Mathematik(1979) -VEB Bibliographisches Institut Leipzig; Microsoft
Encarta`97, WORKS4.0
Textverarbeitung: Microsoft WORD`97
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