Günter Meserle

Die Bedeutung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

bei einem einzelnen Zufallsexperiment

von Günter Meserle

·

Dipl.-Phys.

·

StD i. R.

Locker und leicht spricht man den verschiedensten Ereignissen eine Wahrscheinlichkeit zu, zumal deren Berechnung

in den allermeisten Fällen einsichtig und mathematisch gesichert ist. Des weiteren erweist es sich natürlich als

sinnvoll, mathematisch nicht widerlegbaren Zahlenwerten uneingeschränkt zu vertrauen.

Jedoch:

Wir sollten dabei bedenken, ob wir mathematische Aussagen auch stets so interpretieren, wie sie gemeint sind.

In einem speziell vorliegenden Einzelfall ­ d.h. bei der Durchführung eines einzelnen Zufallsexperiments ­ besteht

durchaus die Gefahr, der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses allzu viel Bedeutung

beizumessen und damit deren Aussagekraft weit zu überschätzen.

Der folgende Artikel setzt sich mit diesem Problemkreis auseinander.

Dabei wurde die ,,Treffer-Wahrscheinlichkeit" der Bernoullikette zur ,,Temperatur" des idealen Gases in Beziehung

gesetzt. Beide beschreiben in gegenseitig sich entsprechenden Formeln markante Mittelwerte und drängen sich

dadurch förmlich zu einer analogen Betrachtung auf.

Inhaltsverzeichnis

1. Einführung 2

2. Gastheorie und Bernoulikette gehen sprachlich und inhaltlich völ ig konform 3

3. Gastheorie und Bernoul ikette trennen sich sprachlich ­ bleiben aber inhaltlich konform 7

4. Zusammenfassung 9

5. Verwendete Literatur und Anmerkungen 11

---

2

1. Einführung

Stel en wir uns folgende Situation vor:

Ein Arzt berichtet einem Patienten, dass der HIV-Test, der eine generel e Sicherheit von 99,9%

verspricht, ein positives Ergebnis erbracht habe. Er führt weiter aus: die ,,Risikogruppe", der er

angehöre, bestünde aus 82 Mio. Deutschen, von denen zur Zeit (nach gesicherter Experten-

schätzung) 50 Tsd. das Virus in sich tragen. Deshalb sei die Wahrscheinlichkeit nur 38%, dass er

unter den vorliegenden Gegebenheiten (Zugehörigkeit zu dieser Gruppe und positives Test-

ergebnis) tatsächlich HIV-infiziert sei. 1*)

Nun, was kann der Patient mit dieser Information ­ auf seinen persönlichen Fall bezogen ­

eigentlich anfangen? Oder al gemein gefragt:

Welche Aussagekraft hat das Wahrscheinlichkeitsmaß eines Ereignisses in einem speziell
vorliegenden Einzelfall?

Um darauf eine Antwort zu finden, wollen wir die Bernoullikette betrachten, da man bei ihr am

eindrucksvollsten die Veränderungen wesentlicher Größen beim Übergang von der Vielzahl zum

Einzelfall sehr deutlich demonstrieren kann. Ferner wol en wir eine Analogie zwischen der

Temperatur eines idealen, einatomigen Gases aus dem Bereich der Statistischen Physik

(einerseits) und der Trefferwahrscheinlichkeit in einer Bernoullikette (andererseits) aufzeigen.

Diese Betrachtung zeigt deutlich, dass einem Ereignis zwar ­ per definitionem ­ eine Wahr-

scheinlichkeit zugeordnet wird, dass diesem Zahlenwert aber, in einem speziel vorliegenden

Einzelfall, herausgelöst aus der Vielzahl gleichartiger Versuchsdurchführungen, bezüglich seines

Eintretens bzw. Nichteintretens eine sehr geringe Aussagekraft zukommt. Zu diesem Ergebnis

gelangt man natürlich auch aus rein mathematischer Sicht ­ ohne Umweg über die physikalische

Gedankenwelt. Doch bietet der hier aufgezeigte Weg den Vorteil, dass die entscheidende

Schlussfolgerung von der physikalischen Sprache und Denkweise gestützt wird; zumal die

physikalische Ausdrucksweise in diesem Punkt konsequenter und verständlicher als die

mathematische ist und mit der Al tagssprache besser harmoniert als die Sprache der Mathematik.

In der linken Spalte betrachten wir jeweils die Beschreibung der Gastheorie und in der rechten

die analoge Situation der Bernoullikette. Die mit den Zeichen bzw. versehenen (paral el

geführten) Abschnitte zeigen die sich entsprechenden mathematischen Ansätze auf, während die

mit einem Punkt · eingeleiteten (ebenfalls nebeneinander gestel ten) Sätze den einzelnen analo-

gen Deutungen nachgehen.

Zusammengefasste Gegenüberstellung der verwendeten analogen Begriffe:

gesamtes Gas gesamte Bernoullikette

einzelnes Teilchen (Atom) einzelnes Bernoul iexperiment

N Teilchenzahl des Gases n Länge der Bernoul ikette

T0 Gastemperatur p0 Trefferwahrscheinlichkeit

U Zufal sgröße: Innere Energie des Gases Z Zufal sgröße: Trefferanzahl der Bernoullikette

E(U) ... Erwartungswert oder Mittelwert von U E(Z) Erwartungswert von Z

EKin, .. kinetische Energie des

Ereignis des

-ten Teilchens X

-ten Bernoulliexperiments

U Ergebnis der

Ergebnis der

-ten Messung von U Z

-ten Messung von Z

<U> Mittelwert aus m Messergebnissen von U <Z> Mittelwert aus m Messungen von Z

<U>... mittlere Quadratische Abweichung Standardabweichung (Streuung)

<EKin>.. mittlere kinetische Energie pro Teilchen <E(Z):n> mittlere Trefferzahl pro Bernoul iexperiment

<TAtom> mittlere Temperatur pro Teilchen (

wurde

<peinzel> mittlere Trefferwahrscheinlichkeit pro Ber-

nicht

definiert

) noul iexperiment (

wurde

nicht definiert

)

---

3

2. Gastheorie und Bernoullikette gehen sprachlich und inhaltlich völlig konform

Gastheorie

Bernoullikette

Die Zufal sgröße U beschreibt die innere

Die Zufallsgröße Z beschreibt die Anzahl der

Energie (in Joule) eines einatomigen, idealen Ga-

Treffer einer Bernoul ikette mit der Trefferwahr-

ses mit der Temperatur T0.

scheinlichkeit p0.

· Die Teilchenzahl ist N.

· Die Kettenlänge ist n.

· Die Zufal sgröße U ist eine stetige2*) Funktion mit

· Die Zufal sgröße Z ist eine diskrete5*) Funktion mit

der Wertemenge

W

der Wertemenge

. Sie lässt sich mittels der

U

R+

. Sie lässt sich mittels

WZ

N0

der

Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion 3*) f und

D

Wahrscheinlichkeits-Funktion 6*) g und

=

f

=

Dg

R

be-

R

beschreiben.

schreiben.

· Die Theorie4*) der Statistischen Physik ist mathe-

· Der mathematische Hintergrund der Stochastik

matisch wegen der sehr großen Zahl der Gasatome

(bzw. der Wahrscheinlichkeitsrechnung) ist durch die

etwas aufwändig (aber faszinierend trickreich in ih-

Binomialverteilung7*) gegeben und ist somit relativ

ren Abschätzungen).

einfach.

Für den Erwartungswert E(U) gilt:

Für den Erwartungswert E(Z) gilt:

E(U) = cGas N T0

E(Z) = cKette n p0

Im SI-Einheitensystem und unter Verwendung der

Der Proportionalitätsfaktor ist: cKette = (1).

Boltzmannkonstante k ist: cGas = (3/2 k).

Den Faktor (1) verwenden wir ausdrücklich, um die

Analogie zwischen ,,links" und ,,rechts" deutlich

E(U) = (3/2 k)

N

T

herauszustel en. Siehe auch (weiter unten) einen

0

dazu passenden, interessanten Gedanken von Ri-

In der Physik schreibt man dafür:

chard Feynman. Damit ergibt sich:

·

<U> = (3/2 k)

N

T

·

E(Z) = (1)

n

p

(G2)

0

(G1)

0

Ein Wort zur Anwendung der Fachbegriffe:

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind die Bezeichnungen

,,Erwartungswert E(...) "

8*) und

,,Standardab-

weichung

(oder

Streuung

)

"

9*) üblich. In der Physik verwendet man für denselben Sachverhalt die Aus-

drücke

,,Mittelwert <...> "

10*) und

,,mittlere quadratische Abweichung <

...> "

11*). Ferner benützt die Physik

anstelle des Begriffs ,,Varianz von ..." den Ausdruck ,,Schwankungsquadrat von ..." 12*).

Nach Gleichung (G1) wächst der

Mittelwert

Nach Gleichung (G2) wächst der

Erwar-

<U>

direkt proportional zur Teilchenzahl N an. Die

tungswert E(Z)

direkt proportional zur Kettenlänge n

mittlere

quadratische Abweichung <

U>

hinge-

an. Die

Standardabweichung (Streuung)

gen ist lediglich proportional zur Quadratwurzel aus

hingegen ist lediglich proportional zur Quadratwurzel

N. 13*)

aus n. 16*)

·

Somit ergibt sich für den

prozentualen Mess-

· Somit ergibt sich für den

prozentualen Mess-

fehler

(also für die relative Abweichung) aufgrund

fehler

(also für die relative Abweichung) aufgrund

der

großen Zahl N

1024 :

der

kleinen Zahl n

102 :

· <U>/<U> 1/ N = 10-12 = 10-10% (G3) 14*)

·

<Z>/E(Z) 1/ n = 10-1 = 10% (G4)

· Die

Dichtefunktion f

besitzt somit beim

Mit-

· Die

Wahrscheinlichkeitsfunktion g

besitzt somit

telwert <U>

ein

absolutes Maximum

,15*) das (wie

in unmittelbarer Nähe des

Erwartungswertes E(Z)

die Abschätzung (G3) zeigt) eine

sehr,

sehr kleine

ein

absolutes Maximum

,17*) das (wie die Ab-

,,relative Schwankungsbreite" aufweist.

schätzung (G4) zeigt) eine

beachtliche

,,relative

Schwankungsbreite" aufweist.

---

4

· Angenommen, U1, U2, U3, ..., Um seien die Er-

· Angenommen, Z1, Z2, Z3, ..., Zm seien die Er-

gebnisse von

m wiederholten Messungen

der

gebnisse von

m wiederholten Messungen

der

inneren Energie ein und desselben Gases, so stellt

Anzahl der Treffer bei ein und derselben Bernoul i-

die Gleichung (G3) sicher, dass alle Messwerte

kette, so lässt die Gleichung (G4) zu, dass die ein-

(innerhalb der Messgenauigkeit) nahezu identisch

zelnen Messwerte beträchtlich voneinander abwei-

sind.

chen können.

Es gilt also im Al gemeinen:

Es gilt also im Allgemeinen:

U1 U2 U3 ... Um

Z1 Z2 Z3 ... Zm

· Somit verzichtet man auf die

,,Mittelwertberech-

· Somit kann man auf das

,,arithmetische Mittel"

nung"

und erhält dennoch einen recht zuverläs-

nicht

verzichten

, um einen einigermaßen zuver-

sigen Näherungswert für <U>, denn:

lässigen Näherungswert für E(Z) zu erhalten:

· <U> = (U1+U2+...+Um) / m U , {1, .., m}

· <Z> = (Z1+Z2+...+Zm) / m E(Z) 21*)

F. Reif kommentiert dies so:

,,Das bedeutet, dass

Das sogenannte

,,

n

-Gesetz"

22*) begünstigt diese

fast stets der Mittelwert (...) beobachtet wird."

18*)

Vorgehensweise durch Verkleinerung von .

· Man kann also den Mittelwert <U> in der Glei-

· Man kann also den Erwartungswert E(Z) in der

chung (G1) mit ausreichender Genauigkeit durch

Gleichung (G2)

nicht

mit ausreichender Genauigkeit

den ­ praktisch bei jeder Messung realisierbaren ­

durch einen einmaligen

Messwert

Z ersetzen

.

Wert

U ersetzen

.

Die Formulierung der Gleichung (G2) bleibt damit

Dies führt zur üblichen Formulierung von (G1):

notgedrungen unverändert:

·

U = (3/2 k)

N

T

·

E(Z) = (1)

n

p

0

(G5) 19*)

0

(G2) 23*)

Ferner gilt für die innere Energie U:

Ferner gilt für die Anzahl der Treffer Z:

U = E

Z = X

kin,1 + Ekin,2 + ... + Ekin,N

(G7)

1 + X2 + ... + Xn

(G8) 24*)

E

X kennzeichnet die Ergebnisse des -ten Bernoul-

kin, steht für die kinetische Energie des -ten

Atoms.

liexperiments, mit x

{0;1} und 1:= ,Treffer′, 0:=

,Niete′.

·

Dabei lässt sich

­ trotz der genauen Kenntnis

· Dabei lässt sich

­ trotz der genauen Kenntnis

der Gastemperatur T

der Trefferwahrscheinlichkeit p

0 ­

keine gesicherte Prog-

0 ­

keine gesi-

nose folgender Art abgeben: ,,Das speziel e 70008-

cherte Prognose folgender Art abgeben: ,,Beim 78-

te Gasatom wird zu einem bestimmten Zeitpunkt

sten Experiment der Bernoul ikette wird das Ereignis

die kinetische Energie E

X

kin,70008 = 2,110­21 Joule

78 = 1 eintreten."

besitzen."

Denn die einzelnen Atome haben

­

gemäß der

Denn die einzelnen Bernoul iexperimente sind nun

Maxwell-Verteilung20*) ­

Geschwindigkeitsbeträge

mal echte

Zufallsexperimente

25*) mit zwei unter-

von Nul bis zu überdurchschnittlich großen Werten

schiedlichen, möglichen Ergebnissen.

und sind somit mit den unterschiedlichsten Ener-

gien E

Kin, ausgestattet.

·

Andererseits kann man aber auch von der mo-

· Andererseits kann man aber auch von dem

mentanen Energie des einen 70008-ten Atoms

eingetretenen Ereignis des 78-sten Experiments der

nicht auf die Gastemperatur T

Bernoullikette

0 schließen

, da

nicht

auf

die

Trefferwahr-

diese speziel e Energie von z.B. 2,110­21 Joule

scheinlichkeit p0 schließen

, da dieses eine spe-

ebenso gut zu jeder beliebig anderen Gastempe-

zielle Ereignis z.B. X78 = 1 genauso gut zu jeder

ratur T und der zugehörigen Maxwel -Verteilung

beliebig anderen Wahrscheinlichkeit p und der zu-

passen würde.

gehörigen Binomial-Verteilung passen würde.

· Durch Zusammenstöße übertragen die Teil-

· Der Treffer des einzelnen Bernoulliexperiments

chen ständig gegenseitig ihre kinetischen Energien

wird praktisch durch den gleichbleibenden Mecha-

(teilweise bzw. vol ständig), sodass der Bewe-

nismus der Bernoulliexperimente erzwungen, so wie

gungszustand des einzelnen Teilchens praktisch

die Ereignisse der anderen Bernoulliexperimente

von den anderen erzwungen wird.

derselben Kette auch.

.

---

5

· Al ein die Vielzahl der Teilchen und Stöße, sowie

·

Allein die

Unkenntnis

über das Vorhandensein

die

Unkenntnis

über die Randbedingungen (beim

sowie über die Auswirkungen der störenden Ein-

Lösungsversuch der unzähligen Differentialglei-

flüsse (bei der Durchführung der Bernoulliexperi-

chungen) überfordert die Möglichkeit einer

kausa-

mente) verhindert eine

kausale

Beschreibung.

len

Beschreibung. Und zusammen mit der Ununter-

Und zusammen mit der Ununterscheidbarkeit der

scheidbarkeit der Teilchen ist dies die Grundlage

Bernoulliexperimente ist dies die Grundlage für die

für die Annahme:

Annahme:

Die Energiewerte der einzelnen Teilchen sind quasi

Die Ereignisse der einzelnen Bernoulliexperimente

voneinander

unabhängig

.

sind voneinander

stochastisch unabhängig

.27*)

·

Man kann also an der kinetischen Energie des

·

Man kann also am Eintreten des Ereignisses des

einzelnen Atoms

­

jeweils für sich allein betrach-

einzelnen Bernoul iexperiments

­

jeweils für sich

tet ­

nicht erkennen, zu welcher speziel en Gas-

allein betrachtet ­

nicht erkennen, zu welcher

temperatur T sie im Zusammenwirken mit al en an-

speziellen Stabilisierung der relativen Häufigkeit

deren Energiebeträgen der einzelnen Atome bei-

(sprich: ,,Wahrscheinlichkeit p") es im Zusam-

trägt.

menwirken mit allen anderen Realisierungen der

Die stabile Gesamttemperatur T geht Hand in Hand

Treffer der einzelnen Bernoul iexperimente beiträgt.

mit der zugehörigen, gleichbleibenden, speziellen

Diese Stabilisierung geht Hand in Hand mit dem

Maxwell-Verteilung

.

,,empirischen Gesetz der großen Zahlen"

, wel-

ches folgendermaßen lautet:

,,Es gibt Ereignisse, deren relative Häufigkeit nach

einer hinreichend großen Zahl von Versuchen unge-

fähr gleich einem festen Zahlenwert ist."

(G9) 28*)

Es lässt sich, ausgehend von (G5), der Quoti-

Es lässt sich ­ auf analoge Weise ­ ausgehend

ent

U:N

bestimmen und sein Wert als

,,mittlere ki-

von (G2), der Quotient

E(Z):n

bestimmen und sein

netische Energie <E

Wert als

kin> pro Atom"

deuten. Diese

,,mittlere Trefferzahl <X> pro Bernoulli-

Energie spielt in der Physik für viele Berechnungen

experiment"

deuten. Dies ist eine durchaus übliche

eine zentrale Rolle.

Betrachtungsweise.

Folglich gilt:

<E

Also:

<X> = (1)

p

kin> = (3/2 k)

T0

(G10) 26*)

0

(G11)

NB: Zum gleichen Ergebnis gelangt man auch auf

direktem Weg, da für al e {1, 2, ...,n} gilt:

E(X ) = p

= p 1

( - p ) ist. 29*)

0 (=

<X>)

, wobei

0

0

Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang auch folgende Äußerung von Richard P. Feynman ­ theoreti-

scher Physiker, Nobelpreisträger und von Prof. H. Pietschmann charakterisiert als

,,einer der bedeutendsten
exakten Denker unseres Jahrhunderts ­ ein Mensch, der sich niemals auf Vorgedachtes anderer verließ, der
immer alles selbst überprüfte und dabei eigene Wege fand."

30*):

,,(...) Die mittlere Energie eines Moleküls ist also eine Funktion der Temperatur. Aber wer kann uns sagen,
was für eine Skala für die Temperatur zu gebrauchen ist? Wir können die Temperatur willkürlich definieren,
so dass die mittlere Energie linear proportional zur Temperatur ist. Am einfachsten würde es sein, die mit-
tlere Energie selbst ,,die Temperatur" zu nennen. Das würde die einfachste mögliche Funktion sein. Leider
ist die Temperaturskala anders gewählt worden, so dass wir, statt direkt Temperatur zu sagen, einen kon-
stanten Umrechnungsfaktor zwischen der Energie eines Moleküls und einem Grad der absoluten Tempera-
tur, als Grad Kelvin bezeichnet, benutzen. ( ... ) Wenn also T die absolute Temperatur ist, besagt unsere
Definition, dass die mittlere kinetische Energie des Moleküls 3/2 kT beträgt. (Der Faktor 3/2 wurde aus
Bequemlichkeit eingefügt, um ihn an anderer Stelle wieder loszuwerden.)"

31*)

Würden sich al e Physiker Feynman′s ,,Empfehlung" anschließen, ließe sich der Mittelwert der inneren Energie

mit

<U>

=

(1)

N

T

gleichsetzen und die mittlere kinetische Energie pro Atom mit

. Damit wä-

0

<Ekin>

=

(1)

T0

re die Analogie zu

E(Z) = (1)

n

p

(G11) der Bernoullikette

0

(G2) und zu

<X> = (1)

p0

absolut

perfekt

.

---

6

Man kann nun noch einen Schritt weiter ge-

Man kann nun noch einen Schritt weiter gehen

hen und die ,,mittlere kinetische Energie <Ekin> pro

und die ,,mittlere Trefferzahl <X> pro Bernoulliexperi-

Atom" (G10) durch den restlichen Term (3/2 k) divi-

ment" (G8) durch den restlichen Term (1) dividieren.

dieren. Den Quotienten

kann man

­

formal entspre-

Den Quotienten

kann man

­

formal entsprechend

­

chend

­

als

,,mittlere Temperatur <T

als

Atom> des

,,mittlere Trefferwahrscheinlichkeit <peinzel>

einzelnen Atoms"

bezeichnen.

des einzelnen

Bernoulliexperiments"

bezeichnen.

Also:

<T

Also:

Atom> = <Ekin> : (3/2 k) = T0

(G12)

<peinzel> = <X> : (1) = p0

(G13)

·

Im Prinzip ist es kein Problem

, von beliebigen

·

Im Prinzip ist es kein Problem

, einem einzelnen

physikalischen Größen derselben Art einen Durch-

Ereignis eine Durchschnitts-Wahrscheinlichkeit zu-

schnittswert zu bilden; denn dieser ist stets nur eine

zuordnen; denn ein Durchschnittswert ist stets nur

rein fiktive, theoretische Angelegenheit. Nichts-

eine rein fiktive, theoretische Angelegenheit. Ein

destoweniger ist er auch in der Praxis sehr nützlich,

bisschen eigenartig wirkt hier die Bezeichnung ,,mitt-

um sich dadurch ein grobes Orientierungsmaß

lere Trefferwahrscheinlichkeit" natürlich schon, da

einer physikalischen Größe zu verschaffen.

der Divisor nur aus dem Wert (1) besteht. Lassen wir

Würde man sich Richard Feynman´s Gedankenfüh-

aber trotzdem ­ der Analogie wegen ­ diesen

rung anschließen (s.o.), so wäre gleichzeitig mit der

Formalismus zu, zumal ja der Dividend <X>

bereits

­ von allen Physikern benützten ,,mittleren Teil-

einen ,,Mittelwert" darstellt.

chenenergie" ­ praktisch auch die ,,durchschnittli-

che Temperatur eines Teilchens" (mit-)definiert.

· Es ist also durchaus sinnvol , da unmissver-

· Es ist auch hier durchaus sinnvol , da un-

ständlich, die

,,mittlere Temperatur des einzelnen

missverständlich, die

,,mittlere Wahrscheinlichkeit

Atoms"

zu definieren; denn allein durch das

eines Ereignisses"

zu definieren; denn al ein durch

Adjektiv

,,mittlere ..."

kommt klar zum Ausdruck,

das Adjektiv

,,mittlere ..."

kommt klar zum Aus-

dass sich das einzelne Teilchen

die ,,Freiheit"

druck, dass sich das einzelne Bernoulliexperiment

herausnehmen darf

, sich geradezu wil kürlich zu

die ,,Freiheit" herausnehmen darf

, sich geradezu

verhalten; d.h. es braucht sich offensichtlich nach

wil kürlich zu verhalten; d.h. es braucht sich offen-

keiner erkennbar festen Temperatur T (und der

sichtlich nach keiner erkennbar festen Wahrschein-

damit verbundenen Geschwindigkeitsverteilung) zu

lichkeit p (und der damit verbundenen Binomial-

richten; ­

es steht lediglich unter dem Zwang

, im

verteilung) zu richten; ­

es steht lediglich unter

Zusammenwirken mit allen anderen Einzelteilchen,

dem Zwang

, im Zusammenwirken mit allen anderen

insgesamt

genau

diejenige Maxwel ´sche Ge-

Einzel-Experimenten,

insgesamt genau

diejenige

schwindigkeitsverteilung anzusteuern und zu ge-

Binomialverteilung anzusteuern und zu gewährlei-

währleisten, die zur stabilen

Gastemperatur T

des

sten, die zum stabilen

0

Wahrscheinlichkeitsmaß

p0

gesamten Gases passt.

der gesamten Kette passt.

·

Diese hier angesprochene

,,Freiheit"

ist inso-

· Diese hier angesprochene

,,Freiheit"

ist insofern

fern

real

vorhanden

, als wir ­ wie schon gesagt ­

real

vorhanden

, als wir ­ wie schon gesagt ­

wissen

, dass dem Einzelteilchen des Gases selbst

wissen

, dass dem Einzel-Ereignis einer Bernoulli-

bei einer stabilen Gastemperatur T0 eine sehr um-

kette selbst bei einer stabilen Gesamtwahrschein-

fangreiche Palette erlaubter Geschwindigkeitsbe-

lichkeit p0 jeweils eine ganze Palette unterschied-

träge (im Rahmen der Maxwel -Verteilung) zur Ver-

lichster Bedingungen zur Verfügung steht.

fügung steht.

Dazu nur zwei Beispiele:

a) Beim ,,Werfen eines Würfels mit = {sechs,

nichtsechs}" sind dies jeweils eine Vielzahl mög-

licher spezieller Lagen des Würfels im Wurfbecher,

spezieller Wurfhöhen, spezieller Luftwiderstände

beim Fal en, speziel er Rotationszustände während

des Fal ens, spezielle Beschaffenheit der Aufschlag-

stel e am Boden und ..., und ..., und ...

b) Beim ,,HIV-Test mit = {richtig, falsch}" sind dies

jeweils eine Vielzahl graduel er Unterschiede in den

Laborfehlern, in den verschiedensten Patientenver-

fassungen, und ..., und ..., und ...

---

7

3. Gastheorie und Bernoullikette trennen sich sprachlich ­ bleiben aber inhaltlich konform

· Dadurch, dass die ,,mittlere kinetische Energie

· Dadurch, dass die Unkenntnis über all diese un-

<Ekin> pro Atom" schon definiert ist, wird über den

terschiedlichen Versuchsbedingungen letztlich die

durchschnittlichen Energiezustand des Atoms be-

Voraussetzung für ein sogenanntes ,,Zufallsexperi-

reits alles Notwendige ausgesagt. So ist es schlicht

ment" bildet,

sind sich die Mathematiker einig

,

und einfach überflüssig, über

denselben

Sachver-

dass es nicht nötig sei, dem Einzelereignis einer

halt

noch eine weitere Definition vorzunehmen und

Bernoullikette eine ,,

mittlere

Wahrscheinlichkeit

die ,,mittlere Temperatur <TAtom> pro Atom" zu ver-

<peinzel>" als rein theoretischen Durchschnittswert

einbaren. Als eigenständige Definition würde sie le-

zuordnen zu müssen; einen Wert, den man am ge-

diglich den Inhalt der ,,mittleren kinetische Energie

gebenen Einzelfall nicht festmachen d.h. nicht ein-

pro Teilchen" mit etwas anderen Worten wiederho-

deutig erkennen kann,

obwohl eine derartige Defi-

len. Dies zeigt das Zitat (S. 5) von R. Feynman

nition durchaus zum besseren Verständnis und

sehr deutlich.

zur sinnvollen Interpretation der Einzelfall-Situa-

tion beitragen würde.

Die Mathematik liebt es vielmehr,

Begriffe der

Alltagssprache in ihr Vokabular aufzunehmen

und diese ohne Rücksicht auf deren übliche Sinnbe-

deutung nach ihren eigenen Gesichtspunkten

umzu-

definieren

. Sie achtet lediglich darauf, ihr Vorhaben

eineindeutig ­ und dies

in äußerster Kurzfassung

­

zum Ausdruck zu bringen.

Bei mathematischen Definitionen ist daher nicht nur

von Bedeutung ,,was gesagt wird", sondern vor al em

auch ,,was nicht gesagt wird". Es wirkt sich meist

verheerend aus, aufgrund der Al tags-Wortbedeu-

tung so nach Art des ,,gesunden Menschenverstan-

des", die in der Mathematik festgelegten Begriffe mit

zusätzlichem Deutungen zu versehen und diese da-

durch zwar unbeabsichtigt, aber dennoch zu verfäl-

schen.

So sprechen wir also seit 1933 Andrei N. Kolmo-

gorow nach, dem die axiomatische Grundlegung der

Wahrscheinlichkeitsrechnung gelang:

,,Eine Funktion P, die jedem Ereignis aus dem Ereig-

nisraum

P

(

) eine reelle Zahl zuordnet, heißt ein

Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn sie folgende Eigen-

schaften besitzt:

Axiom I: P(A)

0

Axiom II: P(

) = 1

Axiom III: A

B =

P(A

B) = P(A) + P(B)."

34*)

· Nach der Theorie der Statistischen Physik gilt

· Auf der Grundlage dieses Axiomensystems lässt

folgende Definition:

sich mit Hilfe der Tschebyschew-Ungleichung35*) das

,,Bernoullische Gesetz der großen Zahlen"

im

k

( ln )

E

( )

Handumdrehen

beweisen. Es besagt:

1 :

=

(G14) 32*)

T

E

Für jedes >0 gilt:

(E) gibt die Gesamtanzahl der dem betrachteten

System zugänglichen Zustände an, dessen Energie

Z

lim P

- p < = 1 (G15) 36*)

im festen Interval

0

[E; E+

n

n

E] liegt. Man bedenke

jedoch, dass sich dies alles im 2f (= 6N 61024)

dimensionalen Phasenraum abspielt. f ist dabei die

Z / n stel t dabei die relative Häufigkeit des Ereignis-

Anzahl der Freiheitsgrade des Systems. (E) ist

ses ,,Treffer" und p0 die zugehörige Trefferwahr-

also eine ungemein große Zahl. 33*)

scheinlichkeit dar.

---

8

Wie oben angemerkt könnte man dem einzelnen

F. Heigl und J. Feuerpfeil kommentieren diesen

Atom ohne weiteres eine sogenannte ,,mittlere

Sachverhalt so:

Temperatur" zuordnen.

,,Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die relative Häu-

Dagegen wäre (bzw. ist) es völlig abwegig, mit

figkeit eines bestimmten Ereignisses beliebig wenig

dieser in (G14) getroffenen Temperatur-Definition

von seiner Wahrscheinlichkeit abweicht, strebt ge-

einem einzelnen Atom (mit seinen lediglich drei

gen 1, wenn die Zahl der unabhängigen Wiederho-

Freiheitsgraden) einen festen, absoluten Tempera-

lungen des Experiments gegen

strebt. (...)

tur-Wert zuzuordnen; denn die ­ aufgrund der

[Dies ist ein berühmter Satz],

der die Brücke zwi-

großen Zahl 2f ­ vorgenommenen Abschätzun-

schen Theorie und Wirklichkeit schlägt. (...) Streng

gen,33*) die letztlich zur Formulierung der Definition

mathematisch betrachtet haben wir (...) erst jetzt

(G14) führten, würden augenblicklich ihre Gültigkeit

durch Vergleich des empirischen und des Bernoulli-

und damit ihren Sinn verlieren.

schen Gesetzes der großen Zahlen die Möglichkeit

der Interpretation

[des Wahrscheinlichkeitsmaßes].

Es entspricht also dem Wesen des ,,Temperaturbe-

(...)

griffs", den Zustand einer großen Gesamtheit von

Damit lässt sich auch die Wahrscheinlichkeit eines

Teilchen zu beschreiben und nicht denjenigen ei-

beliebigen Ereignisses als seine relative Häufigkeit

nes einzelnen Atoms.

bei sehr vielen Versuchen interpretieren.

In diesem Sinne lesen wir im Schulbuch von A.

Interpretation

Hammer:

Mathematisches Modell

Wirklichkeit

----------------------------------------------------------------------

,,(...) die einzelnen Moleküle haben keine Tempe-

P(A)

1 A ist praktisch sicher

ratur. Nur bei einem Körper, der aus vielen Mole-

külen besteht, kann man von seiner Temperatur

P(A)

[= p0]

relative Häufigkeit von A in

sprechen. Mit der physikalischen Größe Tempera-

einer langen Versuchsfolge

tur beschreibt man demnach den Gesamtzustand

sehr vieler Teilchen in einem Verband."

37*)

(...) Die Frage nach der Anwendbarkeit der Wahr-

scheinlichkeitstheorie zur Beschreibung der Wirklich-

38*)

Mit anderen Worten, die Physik bleibt ­ nicht nur in

keit ist damit beantwortet. (...)"

ihrer Denkweise sondern auch ­ in ihrer Sprech-

weise dem Charakter des Temperaturbegriffs treu

Es bleibt also bei der ­ leicht missverständlichen

und formuliert unmissverständlich und klar:

und interpretationsbedürftigen ­ Formulierung:

Das einzelne Teilchen

Das einzelne Bernoulliexperiment

hat keine Temperatur.

(G16)

hat die Trefferwahrscheinlichkeit p0.

oder auch:

Ein bestimmtes Ereignis tritt mit der

Wahrscheinlichkeit p

0 ein.

(G17)

Somit wird

jedem Einzel-Ereignis

X = 1 des -ten

Bernouliexperiments

die Wahrscheinlichkeit p0 zu-
geordnet.

Diese einprägsame Sprechweise bietet natürlich we-

gen ihrer Kürze bei der Formulierung von Aufgaben

und deren Lösungen enorme Vorteile. Doch ist man

dabei stets der Gefahr ausgesetzt, diese so einfach

und verständlich klingende Kurzsprache gründlich

misszuverstehen.

---

9

4. Zusammenfassung

· Die Formulierung (G17) steht der Aussage (G16)

formal

konträr entgegen. In ihrer

inhaltlichen

Bedeu-

tung gehen beide Feststel ungen jedoch vol kommen konform; denn hinter dem Satz (G17) steht ja ­

unausgesprochen ­ die mathematisch eindeutige Interpretationsvorschrift

: ,, ... bezüglich der relativen
Häufigkeit in einer langen Versuchsfolge. Dies bedeutet, dass praktisch nur das der gesamten
Bernoullikette zugehörige (rein) theoretische Durchschnitts-Experiment (bzw. -Ereignis) bewertet
wird, wobei alle von diesem Durchschnitt abweichenden Einzelexperimente (bzw. -Ereignisse)
herausgemittelt und egalisiert werden, obwohl letztere das Gros der gesamten Kette bilden."

Unter

diesen

Abweichungen

sind die

mathematisch nicht fassbaren

Freiheiten

und in den letzten

Feinheiten unterschiedlichen Versuchsdurchführungen gemeint, die auf Seite 6 (unten) beispielhaft

angeführt wurden und die im Wesentlichen dafür verantwortlich sind, dass aus

,,deterministischen
Experimenten"

schlichte

,,Zufallsexperimente"

werden.

Wir müssen uns also stets darüber im Klaren sein, dass (G17) kein Satz der Al tagssprache ist. Sobald

wir (G17) auf ein spezielles Einzelexperiment (bzw. Einzelereignis) anwenden, worauf sich dieser Satz

dem Wortlaut nach zu beziehen

scheint

, verliert der Wahrscheinlichkeitswert p0 augenblicklich seinen

Sinn. Tun wir es dennoch, so sol ten wir zumindest nicht vorgeben, wir handelten mathematisch korrekt!

Auf privater Ebene steht es uns natürlich völlig frei, mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß umzuspringen, wie

es uns beliebt.

· Selbst bei der Interpretation des Gesetzes der großen Zahlen sind so manche Unklarheiten auszuräu-

men. J. Feuerpfeil und F. Heigl mahnen u.a. ­ bei al er Euphorie für dieses Gesetz ­ folgendes zu beden-

ken:

,,Dieses vor fast 300 Jahren vom Basler Mathematiker Jakob Bernoulli aufgestellte, aber erst 1713 ver-
öffentlichte sog. Gesetz der großen Zahlen besagt beispielsweise beim Lotto ,,6 aus 49", dass mit belie-
big wachsender Anzahl der Veranstaltungen die Wahrscheinlichkeit dafür wächst, dass die relative
Häufigkeiten einer Zahl sich beliebig der Wahrscheinlichkeit 6/49 annähern. Das Gesetz besagt jedoch
nicht, dass dieser Zustand der Annäherung stets und unbedingt und tatsächlich eintritt; es macht nur
eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens, es spricht keine Kausalität aus, kein
,,Muss". Es ist durchaus nicht so, dass sich die relativen Häufigkeiten stetig im Laufe der Veranstaltun-
gen der Wahrscheinlichkeit nähern.
Häufig hört man die irrige Ansicht, dass eine Zahl, die lange nicht als Gewinnzahl gezogen worden ist,
wie beispielsweise im Lotto ,,6 aus 49" die Zahl 47, jetzt bald oder sogar häufiger erscheinen müsste,
damit das Gesetz der Großen Zahlen erfüllt sei. Aber dass gelegentlich Unwahrscheinliches eintritt
oder sogar längere Zeit anhält, widerspricht nicht der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Das Ber-
noullische Gesetz der großen Zahlen, im Zeitalter der Zahlen und Statistiken sehr brauchbar, sagt nur
aus, was wahrscheinlich, was meistens eintreten wird. Was sich tatsächlich zutragen wird, sagt es nicht
aus.
Ganz anders ist es bei analytischer Konvergenz. Hier lässt sich der Wert der Variablen angeben, von
dem an die absolute Abweichung der Funktion vom Grenzwert mit Sicherheit unter einem festgesetzten
Betrag bleibt."

39*)

· Nehmen wir die ganze Angelegenheit also so wie sie sich aus mathematischer Sicht als sinnvol erweist:

Je größer die Anzahl der Experimente, desto aussagekräftiger ist das Wahrscheinlichkeitsmaß bezüglich

der zugehörigen relativen Häufigkeit!

Logischerweise bedeutet dies natürlich auch umgekehrt:

Je kleiner die Versuchsanzahl ist, desto
nichtssagender wird der Wahrscheinlichkeitswert ­ bis er schließlich bei einem einzelnen Fall
(fast) jede Bedeutung verliert

: er kann hier bestenfalls als

theoretischer Mittelwert

dienen (siehe

(G13))40*), was selbstredend für den

realen Einzelfall

kaum etwas bedeutet.

Dies zeigt auch folgende Tatsache:

Führt man ­ siehe dazu auch (G11) ­ die dem -ten Bernoulli-Experiment zugeordnete Zufal sgröße X

ein, so wird aus = (np (1-p

0

0))1/2 mit n = 1 und p0 = 40% bzw. 60% der beachtliche Wert = 0,49; und

zu p0 = 10% bzw. 90% gehört immerhin noch eine Streuung von 0,30. Dabei bedenke man, dass

lediglich die

mittlere

betragliche

Abweichung

(vom Erwartungswert p0) und keineswegs deren obere

Schranke darstellt.

---

10

· Nun noch einmal zurück zum eingangs angesprochenen Problem:

Bei einem einzeln vorliegenden, positiven ,,HIV-Testergebnis", das einem Patienten ausgehändigt wird, ist

also mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß nichts Verlässliches anzufangen. Man muss dies einfach akzep-

tieren ­

oder

man belügt sich selbst und sein Gegenüber.

Dem einzelnen Betroffenen ist auch nicht all zu viel gedient, wenn ihm der behandelnde Arzt vorrechnet,

dass er ihn (mal kurz für fünf Minuten) als einen unter Mil ionen betrachtet und ihn dementsprechend wie

folgt berät: ,,Aufgrund seiner Risikogruppenzugehörigkeit betrage die bedingte Wahrscheinlichkeit nur

38%, dass er tatsächlich HIV-infiziert sei, obwohl sein persönliches Testergebnis positiv ist." Der Patient

hat ­ aus mathematischer Sicht ­ keinen Anlass, aufgrund einer solchen ,,Fünf-Minuten-Betrachtung"

ruhiger bzw. beunruhigter zu schlafen; denn (wie bereits auf Seite 6 erwähnt) jeder Klient bringt seine

eigenen Voraussetzungen, und jedes Testteam (einschließlich der unterschiedlichen, äußeren Um-

stände) seine eigenen speziellen Qualitäten bzw. Unzulänglichkeiten mit, die entweder zu einem ,,Treffer"

oder zu einer ,,Niete" führen. Mathematisch ist dieses Problem also nicht weiter in den Griff zu

bekommen.

Um dennoch größere Klarheit zu erlangen, hilft im Einzelfal nur eine Testwiederholung weiter.

Wie Dr. R. Bornemann in seinem Artikel ,,

Wie ´sicher´ ist der HIV-Test?"

41*) berichtet, sind in solchen

Fäl en Testwiederholungen übliche Praxis, um ,,falsch positive" Ergebnisse möglichst zu vermeiden. Dies

zeigt, dass sich der Arzt dem einzelnen Patienten gegenüber verpflichtet fühlt und nicht nur irgendeiner

Statistik.

Natürlich sol te der Arzt den Patienten über die Bedeutung der Wahrscheinlichkeit 38% aufklären.

Dazu stel en wir uns vor: man bildet aus der speziel en Risikogruppe dieses Patienten (auf zufällige

Weise) eine Untergruppe von 1000 Personen. Ferner nehme man an, dass jeder einzelne der hieran

beteiligten Personen einen positiven Testbefund erhalten hat. Die Zufallsgröße Z gebe nun die Anzahl

der tatsächlich HIV-infizierten Patienten in dieser 1000-der Gruppe an. Dann gilt:

Die Anzahl Z gehört mit einer Sicherheit

a) von ca. 3% der Menge {380} = { E(Z)} bzw.

b) von ca. 68% der Menge {365, 366, ..., 395} = ] E(Z) - ; E(Z) + [ bzw.

c) von ca. 96% der Menge {350, 351, ..., 410} = ] E(Z) - 2 ; E(Z) + 2 [ an.

NB: Die Mitte all dieser Zahlenmengen ist der Erwartungswert (oder Durchschnittswert) E(Z) = 380;

für die Streuung gilt: = 15,3. Die Angabe der Streuung ist hier absolut notwendig, da der Erwar-

tungswert al eine keine Aussage über die tatsächlich möglichen Zahlenwerte machen kann, wie

folgendes Zahlenbeispiel zeigt:

Sowohl die fünf Zahlen 0, 1, 2, 797 und 1000 ergeben den Mittelwert 380, als auch die fünf Zahlen

377, 379, 380, 382 und 382. Ich hoffe es fällt auf, was damit gemeint ist. Näheres siehe z.B. bei J.

Feuerpfeil und F. Heigl.42*)

Die Sicherheitswahrscheinlichkeiten wurden mit der

integralen Näherungsformel

von Laplace43*) be-

stimmt. (Zur Veranschaulichung z.B. der angegebenen Wahrscheinlichkeit P(Z=380) = 3% müsste

man natürlich wieder etwa 500 derartige Untergruppen zu je 1000 Personen bilden und die relative

Häufigkeit für das Eintreten des Ereignisses Z=380 untersuchen.)

· In einer völlig anderen Situation befinden sich natürlich Beruf-Statistiker und Versicherungen, die in ihren

Betrachtungen stets auf eine große Anzahl von Einzelfäl en zurückgreifen können. Sie haben das Gesetz

der großen Zahlen auf ihrer Seite und können sich somit auf die Prognosen, die sie mit Hilfe bekannter

Wahrscheinlichkeiten bzw. relativer Häufigkeiten berechnen, ohne all zu großes Risiko verlassen.

---

11

5. Verwendete Literatur und Anmerkungen

1*) Vgl. Rainer Stadler: Positiv ist nur manchmal negativ, ,,Süddeutsche Zeitung Magazin" Nummer 06,

Verlagsgesellschaft Süddeutsche Zeitung, München, 10.Februar 2006, S. 13

2*) Vgl. Reinhard Strehl: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Herder, Freiburg 1974, S. 75 bis 81

3*) Vgl. Frederick Reif: Statistische Physik und Theorie der Wärme, Walter de Gruyter, Berlin 1985, S.31 ff.

und S. 72, Gl. (2.5.1)

4*) Eine Ausführliche Darstellung der Theorie über Statistische Physik findet sich z.B. bei Frederick Reif (s.o.).

5*) Vgl. Reinhard Strehl, S. 70 bis 75

6*) Vgl. BarthMühlbauerNikolWörle: Mathematische Formeln u. Definitionen, Bayerischer Schulbuchverlag,

München 1998, S. 108

7*) Vgl. FeuerpfeilHeigl: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Bayerischer Schulbuchverlag, München

1987, S. 145 bis 188

8*) Vgl. Ebd., S. 111

9*) Vgl. Ebd., S. 118

10*) Vgl. Frederick Reif, S. 14, Gl. (1.3.1) bis (1.3.4)

11*) Vgl. Ebd., S. 19, Gl. (1.4.9) samt Begleittext

12*) Vgl. Ebd., S. 19, Gl. (1.4.9)

13*) Vgl. Ebd., S. 19

14*) Vgl. Ebd., S. 127, Gl. (3.7.14)

15*) Vgl. Ebd., S. 114, Abb. 3.3.3 und S. 126, Gl. (3.7.12)

16*) Vgl. FeuerpfeilHeigl, S. 163

17*) Vgl. Ebd., S. 170 f.

18*) Zitat: Frederick Reif, S. 127

19*) Vgl. Frederick Reif, S. 182, Gl. (5.2.10), NB: Man erhält bei wiederholten Messungen natürlich trotzdem

unterschiedliche Ergebnisse, die jedoch hauptsächlich auf Unzulänglichkeiten der Messgeräte und der

(trotz aller Bemühungen) ungleichen Versuchsdurchführungen zurückzuführen sind.

20*) Vgl. Ebd., S. 315, Abb. 7.10.3

21*) Vgl. FeuerpfeilHeigl, S. 225 f.

22*) Vgl. Ebd., S. 141

23*) Vgl. Ebd., S. 163, NB: Diese Tatsache macht zwar einen quantitativen, aber keinen qualitativen Unterschied

zwischen G(2) und G(5) aus.

24*) Vgl. Ebd., S. 162 Mitte

25*) Vgl. Ebd., S. 7

26*) Vgl. Frederick Reif, S. 295, Gl. (7.6.2)

27*) Vgl. FeuerpfeilHeigl, S. 76 ff.

28*) Zitat: Ebd., S. 29 und vergleiche auch: S.27, Fig. 3.3 samt Begleittext

29*) Vgl. Ebd., S. 162 f.

30*) Zitat: Herbert Pietschmann, Professor für Theoretische Physik an der Universität Wien (1990): Die Wahrheit

liegt nicht in der Mitte, Edition Weitbrecht, Stuttgart 1990, S. 10

31*) Zitat: Feynman/Leighton/Sands: Feynman Band I, Mechanik·Strahlung Wärme·Teil 2, R. Oldenburg,

München 1977, Kap. 39-13

32*) Vgl. Frederick Reif, S. 115, Gl. (3.3.11) und Gl. (3.3.12)

33*) Vgl. Ebd., S. 55, S. 60 f. und S.70 ff.

34*) Zitat: FeuerpfeilHeigl, S. 33

35*) Vgl. Ebd., S. 122

36*) Vgl. Ebd., S. 182

33*) Vgl. Frederick Reif, S. 73 f., Gl.(2.5.4) bis Gl.(2.5.10)

37*) Zitat: HammerKnauthKühnel: Physik 9A, R. Oldenbourg München 1993, S. 72

38*) Zitat: FeuerpfeilHeigl, S. 182 ff.

39*) Zitat: Ebd., S. 182 f.

40*) Vgl. Ebd., auch S. 26 ff., mit Fig3.3 und Fig 3.4 samt Begleittext

41*) Vgl. Reinhard Bornemann: Wie ,,sicher" ist der HIV-Test? http:www.hiv.net/2010/news2003/n0529.htm

42*) Vgl. FeuerpfeilHeigl, S. 116 ff.

43*) Vgl. Ebd., S. 202 bzw. BarthMühlbauerNikolWörle, S. 111, F. Verteilungen, 7.

---