WESTFÄLISCHE WILHELMS-UNIVERSITÄT MÜNSTER

Institut für Didaktik der Mathematik und Informatik

Bachelorarbeit

Das Verfahren zur Flächeninhaltsbestimmung am Trapez

in ausgewählten Schulbüchern ­

Ein Problemlöseprozess?

The method of teaching area of trapezium

in selected schoolbooks ­

A problem solving process?

Vorgelegt von: Michael Qureshi

Abgabedatum: 17.06.2008

---

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 3

1.1 Relevanz des Themas 3

1.2 Aufbau der Arbeit 3

2. Definition Problemlösen 4

3. Eine Taxonomie möglicher Lernhilfen beim Problemlösen 4

4. Geometrische Interpolationsprobleme 7

4.1 Merkmale geometrischer Interpolationsprobleme 7

4.2 Die Flächeninhaltsbestimmung des Trapezes als geometrisches 8

Berechnungsproblem 8

4.3 Operatoren zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes 9

4.4 Strategien zur Lösung eines geometrischen Berechnungsproblems.. 10

5. Schulbuchanalyse 11

5.1 Welt der Zahl ­ 8. Schuljahr ­ Mathematisches Unterrichtswerk für

Hauptschulen

12

5.2 Mathematik heute 8 Realschule 14

5.3 Mathematik 8 Denken und Rechnen Hauptschule 16

5.4 Maßstab 8 Mathematik - Hauptschule 18

5.5 Gamma 8 Mathematik 19

6. Resümee 22

7. Literaturverzeichnis 24

8. Anhang 26

8.1 Abbildungsverzeichnis 26

8.2 Schulbuchseiten 27

2

---

1. Einleitung

1.1 Relevanz des Themas

Problemlösen wird generell als Möglichkeit zur tieferen Verinnerlichung und

Verknüpfung mathematischer Inhalte betrachtet. So ist es auch Teil des Lehrplans

in nordrhein-westfälischen Haupt-1 und Realschulen2. Die Schüler sollen in meh-

reren Jahrgangsstufen mit steigendem Schwierigkeitsgrad verschiedene Kompe-

tenzen erwerben, die sie zum Problemlösen benötigen. Ein Aspekt des Mathema-

tikunterrichts ist Geometrie als Übungsfeld für Problemlösen3. In der Hoffnung

ein größeres Ausmaß von Lernübertragung der erworbenen Regeln zu erzielen4,

soll bei den Schülern die Freude am Problemlösen geweckt und ihre Fähigkeit zur

Lösung geometrischer Probleme gefördert werden5. Es kann angenommen wer-

den, dass die Flächeninhaltsbestimmung am Trapez als Themenbereich der Se-

kundarstufe I Ansätze für problemlösendes Lernen aufweist.

1.2 Aufbau der Arbeit

Zu Beginn dieser Arbeit wird zunächst der Begriff des Problemlösens näher er-

läutert. Infolgedessen wird die Taxonomie der Lernhilfen nach Zech vorgestellt.

Weiterhin wird die Flächeninhaltsbestimmung des Trapezes als Beispiel für die

Klasse der geometrischen Berechnungsprobleme innerhalb der Interpolations-

probleme gekennzeichnet. In diesem Zusammenhang werden Merkmale von In-

terpolationsproblemen sowie zwei wichtige Lösungsstrategien für Berechnungs-

probleme aufgeführt. Schließlich werden ausgewählte Schulbücher daraufhin un-

tersucht, ob das Verfahren zur Flächeninhaltsbestimmung am Trapez mit ihnen

problemorientiert behandelt werden kann. Dies geschieht unter Zuhilfenahme der

Taxonomie nach Zech, der Merkmale geometrischer Interpolationsprobleme im

Allgemeinen sowie der Merkmale geometrischer Berechnungsprobleme im Spe-

ziellen und anhand anwendbarer Lösungsmethoden.

1 Vgl. http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/kernlehrplaene-sek-

i/hauptschule/mathematik/kompetenzen, 10.06.08.

2 Vgl. http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/kernlehrplaene-sek-

i/hauptschule/mathematik/kompetenzen/, 10.06.08.

3 Vgl. Holland (2007), S. 22.

4 Vgl. Gagné (1980), S. 159.

5 Vgl. Holland (2007), S. 22.

3

---

2. Definition Problemlösen

,,Problemlösen lässt sich als ein Prozess auffassen, in dem der Lernende eine Kombi-

nation zuvor erlernter Regeln entdeckt, die geeignet ist, eine Lösung für eine neuarti-

ge Situation zu erreichen"6. Diese Kombination zuvor erlernter Regeln kann unter

Einhaltung geeigneter Problemlösestrategien, so genannten Heurismen, erfolgen.

Wenn die Schüler eine bestimmte Kombination von Regeln finden, welche zur Lö-

sung des Problems führt, dann haben sie nicht nur das Problem gelöst, sondern sie

haben auch etwas Neues gelernt.7 Das neu erlernte Element ist eine Regel ,,höherer

Ordnung", die Teil des individuellen Repertoires8 wird und sich auf eine ganze Klas-

se von Problemen des gleichen Typus übertragen lässt9. Problemlösen stellt somit

den letzten Schritt in einer Lernfolge dar, der viele Lernvorgänge notwendigerweise

vorausgegangen sein müssen10. Die Ergebnisse der vorausgegangenen Lernvorgänge

werden zu so genannten Operatoren in dem Problemlöseprozess. ,,Das Problem ist

gelöst, wenn eine Operatorkette gefunden ist, die durch sukzessive Anwendung der

einzelnen Operatoren vom Anfangszustand zur Problemlösung führt"11. Der Schwie-

rigkeitsgrad eines Problems wird durch den Umfang der verfügbaren Operatoren

sowie durch die Art der gegebenen Hilfestellungen12 bestimmt.

3. Eine Taxonomie möglicher Lernhilfen beim Problemlösen

Ein problemlösender Unterricht ist dadurch gekennzeichnet, dass die Schüler ih-

ren Lösungsweg weitestgehend selbst gestalteten, somit Regeln höherer Ordnung

ohne besondere Hilfe entdecken und höchstens minimale Hilfen empfangen,

wenn sie auf dem bestrittenen Weg nicht mehr voranschreiten. 13

Nach dem Prinzip der minimalen Hilfe14, sollte die Lehrperson nur Hilfestellungen

leisten, wenn es unbedingt erforderlich ist. Die Lehrperson muss einschätzen können

in welchem Maße der Schüler Hilfe benötigt, um ihm dann eine dementsprechende

6 Gagné (1980), S. 152.

7 Vgl. Gagné (1980), S. 152.

8 Ebenda, S. 153.

9 Ebenda S. 160.

10 Ebenda.

11 Holland (2007), S. 172.

12 Vgl. hierzu Kapitel 3.

13 Vgl Zech (2002), S. 309.

14 Vgl. Aebli, (1968), S. 145 in Zech (2002), S. 309.

4

---

Lernhilfe zu geben, die den Schüler in seinem Problemlösungsprozess weiterbringt.15

Das Problem, dass sich nun der Lehrperson stellt, ist die Auswahl einer adäquaten

Lernhilfe, die dem Schüler nicht allzu viel des Problemlösungsprozesses vorweg-

nimmt.

Zu diesem Zweck hat Zech eine dementsprechende ,,Taxonomie möglicher Lernhil-

fen beim Problemlösen" 16 aufgestellt, die mögliche Lernhilfen in Kategorien wach-

sender Stärke unterteilt:

1. Motivationshilfen

2. Rückmeldungshilfen

3. Allgemein-strategische Hilfen

4. Inhaltsorientierte strategische Hilfen

5. Inhaltliche Hilfen

Jede Kategorie wiederum besteht aus Hilfen unterschiedlicher Stärke, da sich Hilfe-

stellungen jeder Art sowohl direkt als auch indirekt ausdrücken lassen, wobei direkte

Hilfen als stärker zu betrachten sind.

Im Folgenden sollen hier die einzelnen Kategorien nach Zech vorgestellt und um

Beispiele ergänzt werden, die Hilfestellungen zur Flächeninhaltsbestimmung eines

Trapezes darstellen könnten:

1. Die Kategorie

Motivationshilfen

beschreibt Hilfestellungen, die im eigentli-

chen Sinne keine Hilfen darstellen, sondern die Schüler an der Aufgabe hal-

ten und sie motivieren sollen.

Eine direkte Motivationshilfe liegt vor, wenn der Lehrer folgende Aussage

macht:

,,Du wirst die Aufgabe sicher lösen."

Demgegenüber liegt eine indirekte Motivationshilfe vor, falls folgende Aus-

sage vorgenommen wird:

,,Man braucht nicht viel Zeit zur Lösung."

2.

Rückmeldungshilfen

geben den Schülern Auskunft darüber, ob sie bei ihren

Lösungsbemühungen richtig oder falsch liegen. Die Schüler sollen hierdurch

15 Vgl. Zech (2002), S. 315.

16 Ebenda, S. 315 ff.

5

---

zusätzlich motiviert werden und eine erste Information hinsichtlich der Auf-

gabe erhalten.

Direkte Rückmeldungshilfe:

,,Da musst du noch mal nachrechnen."

Indirekte Rückmeldungshilfe:

,,An einer Stelle hast du einen Fehler gemacht."

3.

Allgemein-strategische Hilfen

sollen den Schüler auf allgemeine Problemlö-

sungsmethoden aufmerksam machen. Die heuristischen Regeln Vorwärts-

bzw. Rückwärtsarbeiten könnten solche allgemeine Problemlösungsmethoden

darstellen. Somit geben die allgemein-strategischen Hilfen bereits allgemeine

Tipps zum Problemlösungsprozess.

Direkte allgemein-strategische Hilfe:

,,Versuche, mit den gegebenen Größen Zwischengrößen zu berechnen!"

Indirekte allgemein-strategische Hilfe:

,,Versuche, die gegebenen Größen in einen Zusammenhang zu bringen"

4.

Inhaltsorientierte strategische Hilfen

geben, wie die allgemein-strategischen

Hilfen, ebenfalls Tipps zu Problemlösungsmethoden, darüber hinaus aber

speziellere Hinweise, die auf den konkreten Inhalt der Aufgabe bezogen sind.

Direkte inhaltsorientierte strategische Hilfe:

,,Lässt sich das Trapez zerlegen?"

Indirekte inhaltsorientierte strategische Hilfe:

,,Versuche die Aufgabe graphisch zu lösen."

5.

Inhaltliche Hilfen

sind die stärksten Hilfen und reichen bis zur Vorgabe von

Teillösungen. Sie können auf bekannte Begriffe und Regeln, deren Zusam-

menhänge und auf aufgabenspezifische Hilfsgrößen verweisen.

Direkte inhaltliche Hilfe:

,,Ergänze das Trapez durch ein kongruentes Trapez zu einem Parallelo-

gramm."

Indirekte inhaltliche Hilfen:

,,Lässt sich die Figur zu einer Figur ergänzen, dessen Flächeninhaltsformel ihr

schon kennt?"

6

---