Die Entscheidung
zwischen fixen und anpassungsfähigen Hypothekenraten

Anwendung der binären Entscheidungsmodelle:
Probit und Logit

NIKOLINKA FERTALA
Graduiertenkolleg
Ökonometrie
Februar 2003

INHALTSVERZEICHNIS

TABELLENVERZEICHNIS 3
ABBILDUNGSVERZEICHNIS 3

1. Einleitung 4

2. Das binäre Entscheidungsmodell: Probit und Logit 6
2.1 Spezifikation der Probit-und Logit-Modelle 8
2.1.1 Das Probit-Modell 8
2.1.2 Das Logit-Modell 9
2.1.3 Vergleich zwischen dem Logit- und Probit-Modell 10
2.2 Schätzung des binären Entscheidungsmodells 12
2.2.1 Maximum-Likelihood-Schätzung 12
2.2.2 Bedingung erster und zweiter Ordnung 13
2.2.3 Gütemaß für binäre Regressionsmodelle 14
2.2.4 Durchführung von Tests in Logit-und Probit-Modelle 16

3. Daten 18
3.1 Datenquelle 18
3.2 Das Entscheidungsmodell für fixe bzw. anpassungsfähige Hypothekenraten 18
3.3 Ergebnisse der Auswertung 21

4. Zusammenfassung 26

LITERATURVERZEICHNIS 27
ANHANG 29

TABELLENVERZEICHNIS

A. Tabellen im Text

Tab. 1: Ergebnisse des Logit-Modells 21-22
Tab.2: Ergebnisse des Tests, 24
Tab. 3: Ergebnisse des Tests, 1 25

B. Tabellen im Anhang

Tab. 1: Datensatz 30-31

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Abb.1: Vorhersage mit dem linearen Wahrscheinlichkeitsmodell 7
Abb.2: Kumulierte Logit-und Probit-Verteilungsfunktion 11

1. Einleitung

In gewissen wirtschaftlichen Situationen könnte es dazu kommen, dass die abhängige Variable in der Regressionsgleichung nicht stetig ist, sondern dass sie eine diskrete Wahl repräsentiert, wie beispielsweise:

• Der Arbeitsmarktstatus einer Person: In diesem Fall nimmt die abhängige Variable den Wert null an, wenn die untersuchte Person einer Beschäftigung nachgeht, und Wert eins, wenn diese Person einen arbeitslosen oder einen vergleichbaren Status hat. Die Werte null und eins sind hierbei arbiträr und reine Konvention.
• Das Abstimmungsverhalten einer Person: Die Variable nimmt beispielsweise den Wert null, wenn die Person dagegen ist, den Wert eins, wenn sie keine Meinung hat und den Wert zwei, wenn sie dafür ist. In diesem Beispiel sind die Werte der abhängigen Variable zwar nicht quantitativ zu verstehen, aber sie weisen eine Ordnung auf.

Modelle, die solche abhängigen Variablen einbeziehen, werden "diskrete Wahlmodelle" ("Discrete Choice Models"), "qualitative Antwortmodelle" ("Qualitative Response Models" ), "Kategoriemodelle" ("Categorical Models") oder "Quantenmodelle" ("Quantal Models") genannt. Die wirtschaftliche Auslegung solcher Modelle beruht typischerweise auf dem Prinzip der Nutzenmaximierung im Sinne von: Wähle statt , wenn der Nutzen von diesen von B übersteigt. Alternativ wird das beobachtete Vorkommen einer gegebenen Wahl als Kennzeichnen für grundlegende, unbeobachtbare stetige Variable angesehen, welche "Neigung zur Wahl einer gegebenen Alternative" genannt werden kann. Eine solche Variable wird durch das Vorhandensein eines Grenzwertes (oder mehrerer Grenzwerte) gekennzeichnet. Somit bedeutet das Überschreiten dieses Grenzwertes Umschalten von einer zu anderer Alternative. Zum Beispiel die Neigung einer verheirateten Frau, sich den Arbeitskräften anzuschließen, könnte direkt von dem Verdienst abhängig sein, den sie beziehnen könnte. Im Weiteren könnte dieser Verdienst von ihrer Ausbildung und Arbeitserfahrung abhängig sein. Ob sie sich tatsächlich den Arbeitskräften anschließt oder nicht, hängt davon ab, ob der vom Markt angebotene Verdienst ihren Grenzwert übersteigt oder nicht. Dieser Grenzwert bzw. Schwellenlohn, der selbstverständlich für die verschiedenen Frauen mit der gleichen Ausbildung und Arbeitserfahrung nicht der gleiche ist, spielt die Rolle einer stochastischen Störung. Beide Methoden - die Nutzenmaximierung und die Grenzwertmethode- sind eng miteinander verbunden.
Die Kompliziertheit der Bewertung und des Testens der Modelle mit qualitativen abhängigen Variablen wird mit Anstieg der Anzahl der Alternativmöglichkeiten größer. Aufgrund dessen werde ich mich in dieser Arbeit auf die Modelle mit zwei Alternativen und dichotomer abhängiger Variable konzentrieren.
Diese Arbeit verfolgt den Zweck, die theoretischen Aspekte der Probit-und Logit-Modelle unter die Lupe zu nehmen, insbesondere Vorteile und Nachteile dieser Modelle und Anwendungsmöglichkeiten. Das wird im ersten Teil vorgenommen. Im zweiten Teil wird ein Logit-Modell konzipiert, mit dem zu untersuchen sei, wie sich die Individuen entscheiden, wenn sie zwischen fixen und anpassungsfähigen Hypothekenraten zu wählen hätten.

2. Das binäre Entscheidungsmodell: Probit und Logit

Um die Probleme und Verfahren in diesem Kontext besser verstehen zu können, werde ich zuerst eine binäre Entscheidung betrachten. Somit nimmt in diesem Fall die abhängige Variable nur die zwei Werte null und eins. Welchen der beiden Werte die Zufallsvariable annimmt, hängt nicht nur von dem Zufall sondern auch von gewissen erklärenden Faktoren bzw. Variablen, die für das i-te Individuum zu einem Spalten Vektor xi zusammengefasst werden, ab:

[...]