Simulationsmethoden zur Berechnung des Value at Risk:
Historische Simulation und Monte-Carlo-Simulation

von: Natalie Kulenko

8. Semester

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Value at Risk: Deffinition und Methoden 1

2.1 Deffinition 1
2.2 Methoden 3

3 Historische Simulation 4

3.1 Konzept  4

3.1.1 Portfolioansatz  5
3.1.2 Faktoransatz  6

3.2 Ein Beispiel zur historischen Simulation  8
3.3 Vor- und Nachteile der historischen Simulation 10

4 Monte-Carlo-Simulation 11

4.1 Konzept  11
4.2 Monte-Carlo-Simulation für die geometrische Brownsche Bewegung  12

4.2.1 Simulation mit einer Zufallsvariablen 12
4.2.2 Simulation mit mehreren Zufallsvariablen 13
4.2.3 Schätzung der Parameter 15

4.3 Erzeugung der Zufallszahlen  16

4.3.1 Gleichverteilte Zufallszahlen 16
4.3.2 Transformierte Zufallsvariable  17

4.4 Ein Beispiel zu Monte-Carlo-Simulation  18
4.5 Vor- und Nachteile der Monte-Carlo-Simulation 20

5 Zusammenfassung 21
 

1 Einleitung

Der Wert eines Portfolios von Finanzanlagen wird durch verschiedene Risikofaktoren beeiflusst. Diese Risikofaktoren sind diverse Marktpreise wie Aktienkurse, Zinssätze, Wechselkurse etc. An den Wertänderungen des Portfolios, d.h. Gewinnen oder Verlusten, kann die Abhängigkeit von den Risiken gemessen werden. Ein verbreitetes Maß zur Messung der Marktrisiken ist der Value at Risk (VaR). Kurz gefasst misst VaR den größtmöglichen Verlust aus einem Portfolio über eine Zeitperiode mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit. VaR ist ein monetäres Maß, das die verschiedenen Marktrisiken in eine Kennzahl komprimiert. Deswegen eignet sich der VaR dafür, den Informationsbedarf der Unternehmensleitung, der Aktionäre und Investoren zu decken.

Der VaR wird aus einem Quantil einer Verteilung von Portfolio-Wertänderungen berechnet. Wenn die genaue Verteilung nicht bekannt ist, wird sie durch eine Häuffigkeitsverteilung der simulierten Wertänderungen approximiert. Damit befassen sich Simulationsmodelle: historische Simulation, bei der die Wertänderungen aus den historischen Daten abgelesen werden, und Monte-Carlo-Simulation, die das Verhalten der Risikofaktoren durch die Erzeugung der zufälligen Preispfaden an Hand eines stochastischen Modells simuliert. Nach einer kurzen Definition und Beschreibung der Modelle zur Bestimmung des VaR in Kapitel 2 werden in dieser Arbeit die Simulationsmodelle genauer untersucht. In Kapitel 3 werden zwei Varianten der historischen Simulation, der Portfolio- und der Faktoransatz dargestellt und an einem Beispiel verdeutlicht. In Kapitel 4 werden die Monte-Carlo- Simulation allgemein und an einem theoretischen und empirischen Beispiel der geometrischen Brownschen Bewegung betrachtet. Dabei werden auch Methoden der Generierung der Zufallszahlen dargestellt. Außerdem wird in der Arbeit auf die Vor- und Nachteile der beiden Modelle eingegangen.

2 Value at Risk: Definition und Methoden

2.1 Definition

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