Faktorenanalyse I

von: Mirco Wipke

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 4

2 Aufstellen der Korrelationsmatrix und Test auf Eignung 5

3 Herleitung der Ladungsmatrix und grundsätzlicher Lösungsweg 7

3.1 Entwicklung von Faktorwerte- und Ladungsmatrix 7
3.2 Bestimmung der Faktorladungen als Eigenwertproblem 8
3.3 Das Kommunalitätenproblem 10

4 Schätzen der Ladungsmatrix 11

4.1 Die Hauptkomponentenmethoden 11
4.2 Die Maximum Likelihood – Methode 14
4.3 Weitere Verfahren 16

4.3.1 Metrisches Datenniveau 16
4.3.2 Nicht-metrische Verfahren 17

5 Resumé und Kritik 17

6 Quellenverzeichnis 19

7 Abbildungsverzeichnis 19

1 Einführung

„Das Ziel einer Faktorenanalyse [FA] ist stets die Zurückführung einer größeren Menge beobachtbarer Variablen auf möglichst wenige hypothetische Variablen“ (Ost 1996). Ihren Ursprung hat dieses Verfahren in der Intelligenzforschung, wo Spearman bereits 1904 einen allgemeinen Intelligenzfaktor zu ermitteln versuchte. Breite Anwendung findet FA bei Persönlichkeitskonstrukten und –tests (Kline 1994) sowie in zahlreichen weiteren Wissenschaftsbereichen. Besonders anschaulich ist die Wirkung der FA in der fernerkundlichen Geographie, wo mittels Satellitenaufnahmen u.a. Karten erstellt werden. Es wird also eine Art Fotografie aus großer Höhe aufgenommen. Dabei wirkt statt einer Linse ein Sensor mit z.B. vier Kanälen. Jeder Kanal zeichnet ein komplettes Bild auf, allerdings nur für ein bestimmtes Intervall des elektromagnetischen Spektrum. Die Kanäle seien hier mit den Spektralfarben Rot, Grün, Blau sowie Infrarot belegt. Es wurde festgestellt, „that (...) images generated by digital data from various wavelength bands often appear similar and convey essentially the same information. Principal (…) component transformation (…) may be applied (…) as a preprocessing procedure proir to automated classification of the data.” (Lillesand&Kiefer 1979, S. 572). Mit „classification“ ist eine Über¬führung der „Fotoaufnahme“ in eine möglichst homogene Karteninformation gemeint.

Faktor¬analytische Verfahren werden einerseits zur Datenreduktion angewandt („... the transformations generally increase the computational efficiency“ Lillesand&Kiefer 1979, S. 572), andererseits, um gemeinsame, latente Faktoren (Ost 1996, Hartung&Elpelt 1999 u.v.m.) oder „Supervariablen“ (Eckey et al. 2002) aufzufinden. In Fortführung des Beispiels wäre hier die Zusammenfassung von Bäumen, Grünschattierungen, Waldboden etc. zur Karteninformation „Wald“ denkbar. FA kann explorativ oder konfirmativ erfolgen. Sie ist letztlich ein rein mathematisch formaler Vorgang, der durch den Anwender in den Phasen „Verfahrenswahl“, „Dateninput“ und „Interpretation“ inhaltsorientiert begleitet werden muss.

Eine FA verläuft in der Anwendung folgendermaßen:

1. Aufstellen einer Korrelationsmatrix aus einer Datenmatrix und Test auf Eignung
2. Entscheidung für ein faktoranalytisches Verfahren und gegebenenfalls Festlegung der „Erklärungsgüte“ (=Kommunalitäten) durch die neuen Faktoren
3. Statistisches Schätzen der Bedeutung der einzelnen Faktoren (=Schätzung der Ladungsmatrix)
4. Rotation der Ladungsmatrix zwecks besserer Interpretierbarkeit, ggf. Bestimmung der Faktorwerte
5. Interpretation der Ergebnisse

Diese Seminararbeit fokussiert auf die Schritte 1 bis 3. Die Thematik „Rotation“ und weitere Problemstellungen werden in einer anderen Seminararbeit behandelt.

2 Aufstellen der Korrelationsmatrix und Test auf Eignung

Abbildung 1: Wertetabelle [Abbildung in der Downloaddatei vorhanden] Bei wissenschaftlichen Messungen entsteht eine Wertetabelle, die beispielsweise in der Zeile die Messobjekte als Merkmalsträger (z.B. Koordinaten, Produkte, Menschen etc.) aufführt, in der Spalte die gemeinsamen Eigenschaften, die in Variablen gemessen werden. In der Regel werden für jedes Merkmal Messreihen vorliegen, die zumeist im Mittelwert verdichtet werden. Diese Tabelle ergibt eine Datenmatrix D. Um diese Datenmatrix für die FA vorzubereiten, wird sie standardisiert und anschließend in eine Korrelationsmatrix überführt. Für die Standardisierung wird jeder Wert von D z-transformiert, so dass der Mittelwert jeder Spalte Null und die Varianz Eins ist. Jetzt ist die standardisierte Datenmatrix Z erzeugt. Diese Maßnahme erleichtert Berechnung und Interpretation und ermöglicht eine Vergleichbarkeit, falls Variablen in unterschiedlichen Maßeinheiten erhoben werden (Backhaus et al. 2003).

Aus Z ergibt sich die empirische Korrelationsmatrix R nach folgender Formel:

[...]