Helmut Schmidt Universität / Universität der Bundeswehr Hamburg
Fachbereich WOW

Seminar zur Statistik

Gewinnung von Zufallszahlen mit vorgegebener Verteilung

Christoph Pfeiffer

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung ... 1

2 Inverse Transformation ... 2

2.1 Algorithmus ... 3
2.2 Beispiele ... 4
2.3 Fazit ... 6

3 Acceptance-Rejection-Methode ... 7

3.1 Beispiele ... 7

1 Einleitung

Ausgangspunkt der Überlegungen sind vom Computer erzeugte Pseudozufallszahlen. Auf die mit der Erstellung von ZV verbundenen Probleme wird nicht weiter eingegangen, sondern wir gehen einfach davon aus, dass diese Zahlen unabhängig und gleichverteilt zwischen 0 und 1 sind. Ziel ist es, zu zeigen, wie diese Zufallszahlen so verändert werden können, dass sie anderen Verteilungen folgen. Dabei wird auf die Inverse Transformation und die Acceptance Rejection Methode eingegangen.

Die Gleichverteilung auf dem Intervall U[0, 1] ist eine Spezialform der allgemeinen Gleichverteilung mit der Dichtefunktion:

Abbildung 1: Dichtefunktion der Gleichverteilung mit a = 0 und b = 1 (nur in der Kaufversion verfügbar)

2 Inverse Transformation

Die Inverse Transformation ist die einfachste Methode, aus gleichverteilten Zufallszahlen Zufallszahlen anderer Verteilungen zu erhalten. Während bei der in Abschnitt 1 dargestellten Gleichverteilung jedes einzelne Ereignis zwischen 0 und 1 mit genau der gleichenWahrscheinlichkeit eintritt, folgt die Eintrittswahrscheinlichkeit nach der inversen Transformation der zugrundegelegten Verteilungsfunktion. Intuitiv kann der Vorgang bei diskreten Verteilungen folgendermaßen verstanden werden: u entspricht y und da u gleichverteilt ist, enspricht die Wahrscheinlichkeit von F⁻¹(y) = X genau der Senkrechten zwischen den jeweiligen Stufen der Verteilungsfunktion, also f (x). Womit das so gewonnene x der gewünschten Verteilung folgt.

Abbildung 2: Gewinnung einer Zufallzahl einer disrekten Verteilung (nur in der Kaufversion verfügbar)

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