Das Baumdiagramm als Hilfsmittel zur Erstbegegnung mit
kombinatorischen Fragestellungen -
Planung, Durchführung und Reflexion einer Unterrichtseinheit
in einer vierten Grundschulklasse

Pädagogische Prüfungsarbeit
zur Zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Grundschulen im Fach Mathematik,
eingereicht dem Studienseminar Wetzlar – Außenstelle Limburg -

vorgelegt von: Miriam Hornig

2007

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung ... 4

2. Planung der Unterrichtseinheit ... 7

2.1 Situationsanalyse / Bedingungsanalyse ... 7
2.1.1 Institutionelle Voraussetzungen ... 7
2.1.2 Voraussetzungen der Lerngruppe ... 8
2.1.3 Lern- und organisatorische Voraussetzungen ... 10

2.2 Sachanalyse ... 11
2.2.1 Baumdiagramm ... 13
2.3 Didaktische Überlegungen zur Unterrichtseinheit ... 15
2.3.1 Legitimation des Unterrichtsinhaltes ... 15
2.3.3 Inhaltlicher Aufbau der Unterrichtseinheit ... 17
2.3.4 Lernziele der Unterrichtseinheit / Übergeordnetes Lernziel der Unterrichtseinheit ... 20

2.4 Methodische Überlegungen zur Einheit ... 20
2.4.1 Angewandte Methoden in der Einheit ... 20
2.4.2 Medien ... 22
2.4.3 Motivation ... 23

3. Darstellung der Unterrichtspraxis ... 25

3.1 Übersicht über die einzelnen Stunden ... 25

3.2 Die erste Stunde ... 25
3.2.1 Lernziele ... 25
3.2.2 Geplanter Unterrichtsverlauf ... 26
3.2.3 Reflexion ... 27

3.3 Die zweite Stunde ... 29
3.3.1 Lernziele ... 29
3.3.2 Geplanter Unterrichtsverlauf ... 30
3.3.3 Reflexion ... 30

3.4 Die dritte Stunde ... 32
3.4.1 Lern- und organisatorische Voraussetzungen hinsichtlich der Stunde ... 32
3.4.2 Sachanalyse ... 32
3.4.3 Didaktisch-methodische Überlegungen ... 32
3.4.4 Lernziele ... 33
3.4.5 Geplanter Unterrichtsverlauf ... 34
3.4.6 Reflexion... 35

3.5 Die vierte Stunde ... 36
3.5.1 Lernziele ... 36
3.5.2 Geplanter Unterrichtsverlauf ... 37
3.5.3 Reflexion ... 37

3.6 Die fünfte Stunde ... 39
3.6.1 Lernziele ... 39
3.6.2 Übersicht der Stationen ... 39
3.6.3 Geplanter Unterrichtsverlauf ... 41
3.6.4 Reflexion ... 41

3.7 Die sechste Stunde ... 43
3.7.1 Lernziele (s. 3.6.1) ... 43
3.7.2 Geplanter Unterrichtsverlauf ... 43
3.7.3 Reflexion ... 43

4. Gesamtreflexion ... 45

5. Literaturverzeichnis ... 50

Anhang ... 53

1. Einleitung

„Stochastik? Was war das doch gleich noch mal?“ […]
„Ach ja, das habe ich in der Schule nie verstanden!“

So, oder ähnlich lauteten die Antworten, die ich in meinem Freundes- und Bekanntenkreis zu hören bekam, als ich ihnen von der Idee erzählte, die ich für meine Examenseinheit hatte. Mein Vorhaben, den Kindern bereits in der Grundschule Grundkenntnisse der Stochastik, hier speziell der Kombinatorik zu vermitteln, löste große Diskussionen aus.

Ich selbst bin als Schülerin erst in der Oberstufe (und später wieder an der Uni) mit Wahrscheinlichkeitsrechnung konfrontiert worden und habe dabei festgestellt, dass selbst erfahrungsgemäß gute Schüler Probleme damit hatten. Von daher gehe ich mit der Meinung vieler Wissenschaftler konform, die behaupten, dass Stochastik im Sinne des Spiralcurriculums bereits in der Grundschule beginnend unterrichtet werden soll:

Arthur Engel spricht von der hohen Motivation durch Beschäftigung mit Wahrscheinlichkeitsrechnung: „Im Zusammenhang mit der Kombinatorik war eine Motivationsstufe der Wunsch nach dem „Auffinden eines Grundes“ für einen entdeckten Sachverhalt. Diese Art von Verständnis geht weit über das bloße Entdecken von Gemeinsamkeiten in verschiedenen Situationen hinaus.“¹ Somit liegt bei der Kombinatorik die Motivation bereits in der Aufgabenstellung an sich.

Edit Vassné-Varga sieht die Aufgabe des Grundschulunterrichts darin, „…die Kinder zur kombinatorischen Problemlösung anzuregen, um ihnen die Möglichkeit zu bieten, alle Lösungen zu finden.“²

Zudem sei, neben vielen anderen, noch Bernd Neubert erwähnt, der gerade zwei Gründe für die Behandlung von Kombinatorik in der Grundschule sieht:

• Kinder werden außerhalb der Schule schon frühzeitig mit Phänomenen konfrontiert, die kombinatorische Überlegungen fordern, sie gehören also zu deren Erfahrungswelt. Andererseits tragen kombinatorische Fragestellungen zur Umwelterschließung bei.
• Das vollständige Verstehen von Problemen der Kombinatorik braucht Zeit ³ . Deshalb sollte frühzeitig mit ihrer Behandlung begonnen werden. Fehlauffassungen kann dann besser entgegen gewirkt werden.“⁴
  Um eine Fehlauffassung handelt es sich zum Beispiel bei der Annahme: Auch wenn die Sechs schon dreimal gewürfelt wurde, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs beim nächsten Wurf nicht geringer als vorher.⁵

Andere Wissenschaftler haben herausgefunden, so in der Zeitschrift „Stern“ ⁶ in dem Artikel „Denken sie sich fit“ zu lesen, dass, wenn wir unsere „grauen Zellen“ häufig genug gebrauchen, sich im menschlichen Hirn Verbindungen zwischen Neuronen verstärken oder ganz neu geknüpft werden. Sie brauchen Anregung! „Gezieltes Hirntraining sollte deshalb schon im Klassenzimmer beginnen. Statt nur Wissen in die Köpfe zu bimsen – und Schrecken vor der nächsten Klassenarbeit zu verbreiten – müssten die Schulen sich viel mehr bemühen, Lust am Denken zu wecken.“⁷
Das trifft auf Kombinatorik zu, weil systematisches Vorgehen und Denken Voraussetzung für das Lösen vielfältiger interessanter Fragestellungen ist.

Trotzdem gibt es auch immer wieder gegenteilige Meinungen, die es für zu früh oder überflüssig halten, Kindern in der Grundschule solche Themen zuzumuten. Allzu häufig gilt die Meinung, die Kinder seien damit überfordert.⁸

In diesem Zusammenhang habe ich mir als Ziel gesetzt, folgende drei Fragen am Ende der Einheit beantworten zu können:

1. Ist das Thema „Kombinatorik“ bereits in der Grundschule sinnvoll?
2. Wie korreliert das sonstige mathematische Leistungsniveau mit dem Leistungsniveau auf dem Gebiet der Kombinatorik bei den Schülern?
3. Erkennen die Schüler das Baumdiagramm als systematische Hilfe und nehmen es als Lösungsweg (von Textaufgaben) an?

Um die Fragen in der Schlussreflexion beantworten zu können, umfasst die Examenshausarbeit die Bereiche: Planung, Durchführung und Reflexion des Themas „Kombinatorische Fragestellungen“. Die Arbeit gliedert sich in vier Teile. In Kapitel 2 werden die unterrichtspraktischen Vorüberlegungen differenzierter dargestellt. Der Bedingungsanalyse (2.1) folgt eine genauere Analyse der verschiedenen kombinatorischen Fälle (2.2) sowie didaktisch und methodische Überlegungen zur geplanten Unterrichtseinheit (2.3/2.4). In Kapitel 3 wird die konkrete Durchführung durch die Skizzierung der Unterrichtsverläufe und der Reflexionen dargelegt und ausgewertet. Dieses Kapitel beinhaltet eine ausführliche Darstellung der dritten Stunde. In Kapitel 4 äußere ich mich in Form einer Gesamtreflexion zur Einheit.
Der angeführte Anhang enthält Fotos und Arbeitsmaterialien der einzelnen Stunden.

2. Planung der Unterrichtseinheit

2.1 Situationsanalyse / Bedingungsanalyse

2.1.1 Institutionelle Voraussetzungen

Die Schule in W. ist eine Grundschule mit verlässlichen Öffnungszeiten. Als Besonderheit ist die Schuleingangsstufe zu nennen. Hier werden die Jahrgangsstufen 1 und 2 heterogen unterrichtet. Der Unterrichtsvormittag an der Pestalozzischule ist rhythmisiert. Er ist in drei Unterrichtsblöcke unterteilt und verläuft nicht in den üblichen 45 Minutentakten. Im laufenden Schuljahr gibt es 7 Klassen in der Jahrgangsstufe 1/2 sowie je 3 Klassen in den Jahrgangsstufen 3 und 4. Die Schule wird derzeit von 295 Schülern⁹ besucht, die aus der Innenstadt und der Westerwaldseite Weilburgs sowie aus den umliegenden Ortschaften Gaudernbach, Hasselbach, Odersbach und Waldhausen kommen.

[...]

1 Arthur Engel 1974, S. 165

2 Edit Vassné-Varga 1995, S. 13

3 (weil ein schrittweises Vorgehen erforderlich ist)

4 Bernd Neubert 2003, S.89

5 vgl. Redaktion Grundschule Mathematik 2006, Editorial

6 Stefan Klein 2006, S. 86-94

7 ebd. S. 94

8 s. Punkt 4

9 Aus Gründen der Lesbarkeit wird in dieser Ausarbeitung durchgehend die männliche Form benutzt, wobei das weibliche Geschlecht stets mitgemeint ist.