Grundlagen und Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie

Definitionen:

D1 : Mehrere Versuche unter denselben Bedingungskomplex und mit nicht vorhersagbarem Ausgang bilden ein Zufallsexperiment ( ZE ).

D2 : Ein Ereignis ist genau dann Elementarereignis _i , wenn es nicht als Vereinigung disjunkter Ereignisse, die von _ verschieden sind, darstellbar ist.

D3 : Kolmogoroff , Laplace

D4 : Allgemeine Wahrscheinlichkeit bei unendlicher Merkmalsmenge:

f(_) : Wahrscheinlichkeitsbelag.

D5 : Wahrscheinlichkeiten nach D4 mit f(_) = const. heißen geometrische Wahrscheinlichkeiten.

D6 : Bedingte Wahrscheinlichkeit : 

D7 : Ereignis A ist stochastisch unabhängig von B, falls :

D8 : A1, A2, ..., An heißen vollständig stochastisch unabhängig, wenn für jede Auswahl von zwei und mehr Ereignissen Ai1, ..., Aik mit verschiedenen Indizes gilt :

für 2 _ k _ n ( · 2ⁿ - n - 1 Möglichkeiten )

D9 : ZE1 und ZE2 heißen stochastisch unabhängig, wen für alle Elemente von _1 x _2 gilt : P(_1i, _2k)=P(_1i)·P(_2k) _ i,k

D10 : Das Bernoulli-Experiment besteht aus der n-maligen Durchführung des Einzelexperiments

mit :

- Einzelereignisse sind stochastisch unabhängig.
- gleiche Einzelwahrscheinlichkeiten in allen Einzelexperimenten P(A1) = P(A2) = ... = P(An) = p

D11 : Eine Zuordungsvorschrift, die jedem Element aus _ eindeutig eine reelle Zahl zuordnet, heißt Zuordnungsvariable X(_) ( Zufallsgröße ), wobei gilt : P(x = -_) = 0, P(x = +_) = 0

D12: Verteilungsfunktion der ZV X : FX(x) = P(X _ x)

D13: In der Regel ist Fy(y) nicht geschlossen angebbar. Es sind meist Fallunterscheidungen notwendig.

D14: Erwartungswert :

D15:

D16: Varianz:

Sätze

Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten:

S3.1 Disjunkte Ereignisse : A _ B = _ _ : unmögliches Ereignis.
K I P(A) _ 0
K II P(_) = 1 _ : sicheres Ereignis
K III P(A_B) = P(A) + P(B) für disjunkte Ereignisse A und B
L I _ = {_1, _2, ..., _m} m endlich
L II P(_1) = P(_2) = ... = P(_m) alle Elementarereignisse
L III

S3.2 Bernoulli - Theorem

Allgemeine Wahrscheinlichkeiten:

S4.1

S4.2 ·

S4.3 P(_) = 0

S4.4 P(B) _ P(A) für A _ B

S4.5 P(A_B) = P(A) + P(B) - P(A_B) Verallgemeinerung von K III

S4.6

S4.7

S4.8 Multiplikationssatz P(A_B) = P(A / B) P(B) = P(B / A) P(A)

S4.9 vollständige Wahrscheinlichkeit

S4.10 Bayessche Formel

Stochastische Unabhängigkeit:

S5.1 für A stochastisch unabhängig von B

S5.2 P(A_B) = P(A) P(B) vgl. K III

S5.3 Disjunkte Ereignisse sind immer stochastisch unabhängig.

S5.4 Aus der vollst. stoch. Unabhängigkeit folgt immer die paarweise stoch. Unabhängigkeit.

S5.5 A1, A2, ..., An seien stochastisch unabhängig. Ersetzt man beliebig viele Ai durch

, dann bleiben die Ereignisse vollständig stochastisch unabhängig.

Verbundereignisse:
S6.1 n Dinge, von denen n1, n2, ..., nr gleich sind, können insgesamt auf

Arten angeordnet werden.
S6.2 Binomialverteilung

S6.3 sicheres Ereignis

S6.4 Polynomialverteilung

Zufallsvariablen:

S7.1 Eigenschaften: F(-_) = 0 F(_) = 1

S7.2 aus x1<x2 folgt F(x2)_F(x1) · FX(x) ist monoton steigend.

S7.3 P(X>x) = 1 - FX(x)

S7.4 P(x1<X_x2) = F(x2) - F(x1)
S7.5 rechtseitiger Grenzwert:

linksseitiger Grenzwert :

S7.6 P(X = x) = F(x⁺) - F(x^-)
S7.7

S7.8

Transformation von Zufallsvariablen:

S8.1

S8.2 P(X _ _) = P(Y _ y) = Fy(y) mittels FX(x) ermitteln.

S8.3

transformierte Dichtefunktion

Momente und Zentralmomente von ZV
S9.1 Erwartungswert tranformierter ZV

S9.2 Linearitätsgesetz E(aX + b) = a E(X) + b

S9.3 Bei symmetrischen Funktionen liegt der Schwerpunkt immer auf xs. Daher gilt : E(X) = xs

S9.4 E((X - _x)²) = E(X²) - _x²