Geometrie - Vektoren

Rechnungen:

Addition

Skalarprodukt

Vektorprodukt

x

x

x

x

x

x

y z

-

z y

a

b

a

b

a

b

+

a

b

a

b

a

+

b

=

y

y

y

y

a

·

b

=

y

·

y

=

x x

+

y y

+

z z a

×

b

=

z x

-

a

+

b

=

+

a

b

x z

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

z

z

z

z

x y

-

a

b

+

a

b

z

z

a

b

y x

a

b

a

b

(

a

×

b

)·

a

=0

(

a

×

b

)·

b

= 0

a

×

b

=

a

b

sin

d

=

u

·

r

= (

A a

;

b

)

Betrag ist gleich der Fläche des von a

und b gebildeten Parallelogramms

Betrag

Einheitsvektor

Spatprodukt

Der von den Vektoren a, b und c

2

2

2

1

|

a

|=

x

+

y

+

z

a

=

a

0

aufgespannte Spat hat das Volumen

|

a

|

V

= (

a

×

b

)·

c

Ebenen:

Parameterform

Koordinatenform Normalenform

Hessesche Normalform

+

+

=

(

x

-

p

)

x

=

p

+

ru

+

sv

ax

by

cz

d

·

n

= 0

(

x

-

p

)·

n

=

x

-

p

·

n

=

0

( ) 1 0

a

d

g

n

Normalenvektor:

=

b

+

r

e

+

s

h

a

c

f

i

Hessesche Koordinatenform

n

=

b

ax

+

by

+

cz

-

d

c

= 0

2

2

2

a

+

b

+

c

Normalenvektor:

n

·

u

=

n

·

v

= 0

n

=

u

×

v

Schnittwinkel:

Vektor/Vektor: a = Vektor 1 b = Vektor 2

a

·

b

a b

+

a b

+

a b

1 1

2

2

3 3

cos =

=

2

2

2

2

2

2

|

a

| |

b

|

a

+

a

+

a

b

+

b

+

b

1

2

3

1

2

3

Gerade/Gerade

Gerade/Ebene

Ebene/Ebene

a

·

b

a

·

b

a

·

b

cos =

sin =

cos =

|

a

| |

b

|

|

a

| |

b

|

|

a

| |

b

|

A = Richtungsvektor 1

A = Richtungsvektor Gerade

A = Normalenvektor Ebene 1

B = Richtungsvektor 2

B = Normalenvektor Ebene

B = Normalenvektor Ebene 2

---

Abstand

Punkt/Punkt

Punkt/Ebene

Punkt/Gerade

x

-

x

d

= (

r

-

p

)·

n

Methode 1:

1

2

0

2

2

d

=

(

r

-

p

) - (

r

-

p

)·

u

0)

d

=|

p

-

p

|=

y

-

y

1

2

1

2

r = Ortsvektor Punkt

z

-

z

p = Ortsvektor Ebene

1

2

=

n

r

Ortsvektor Punkt

0=Normaleneinheitsvektor Ebene

= (

x

-

x

+

y

-

y

+

z

-

z

p =

Ortsvektor Gerade

1

)2

2

( 1

)2

2

( 1

)2

2

ar

+

br

+

cr

-

d

d

x

y

z

=

u

E

=

htungsvekt

inheitsric

or Gerade

p

2

2

2

+

+

0

1=Ortsvektor Punkt 1

a

b

c

p2=Ortsvektor Punkt 2

rx

Methode 2:

r

=

r

- zu g orthogonale Ebene E durch R

y

bestimmen (Richtungsvektor ist

r

parallel zum Normalenvektor)

z

- Schnittpunkt F von g und E

bestimmen

- Betrag des Vektors RF bestimmen

Windschiefe Geraden

Parallele Geraden

Parallele Ebenen

d

= (

p

-

q

)

d

= (

p

-

q

)

d

= (

p

-

q

)·

n

·

n

·

n

0

0

0

p

=

Gerade

Ortsvektor

1

p

=

1

Gerade

Ortsvektor

p

=

Ebene

Ortsvektor

1

q

=

Gerade

Ortsvektor

2

q

=

Gerade

Ortsvektor

2

q

=

Ebene

Ortsvektor

2

n

=

en

recht zu d

ktor, senk

Einheitsve

=

=

0

n

recht

ktor, senk

Einheitsve

n

or

nheitsvekt

Normalenei

0

0

er Geraden

vektoren d

Richtungs

1

gsvektor

zu Richtun

und

2

Kreis

Kreisgleichung in der Ebene

Tangentengleichung in Punkt B

(

(

x

-

m

)·(

b

-

m

)

x

-

m

+ -

=

2

=

r

x

)2

(

y my

)2 2

r

(

x

-

m

)2 2

=

r

Kugel

Kugelgleichung

Schnittkreis

(

x

-

m

)2 + -

+ -

=

Die Ebene E schneidet die Kugel k mit Mittelpunkt M und dem Radius r in

x

(

y my

)2 (

z m

)2 2

r

z

einem Kreis, falls der Abstand d des Mittelpunktes von der Ebene E kleiner als

der Radius r ist. Der Mittelpunkt M` des Schnittkreises ist dann der Fußpunkt

(

des Lotes von M auf E; für den Radius s` gilt:

x

-

m

)2

2

=

r

2

2

r

′ =

r

-

d

Tangentialebene in Punkt B

Tangentialkegel

(

x

-

m

)·(

b

-

m

) 2

=

r

Der Tangentialkegel vom Punkt P an die Kugel k berührt die Kugel in einem

Kreis. Dieser Kreis ist der Schnittkreis der Kugel mit der Ebene

(

x

-

m

)·(

p

-

m

) 2

=

r

, wobei p der Ortsvektor von P ist

---

Stochastik

Begriffe

Absolute Häufigkeit

Relative Häufigkeit

Wahrscheinlichkeit von A

H, Anzahl der Ergebnisse, bei denen

H

Anzahl der Ergebn

denen

bei

isse,

eintrifft

A

h

=

P

=

A eingetroffen ist

n

Anzahl

bnisse

aller Erge

n = Anzahl der Versuche

Ergebnismenge

Ereignis

Gegenereignis

S

= {

e

;

e

;...;

e

}

A

= {

a

;

a

...;

a

}

P

(

A

) = 1-

P

(

A

)

1

2

n

1

2

n

a

S

i

Jede Teilmenge A von S

Verknüpfung von Ereignissen

Allgemeiner Additionssatz für beliebige Ereignisse

Spezieller Additionssatz für einander

ausschließende Ereignisse

P

(

A

B

) =

P

(

A

)+

P

(

B

) -

P

(

A

B

)

P

(

A

B

) =

P

(

A

)+

P

(

B

)

Allgemeiner Multiplikationssatz

Spezieller Multiplikationssatz

P

(

A

B

) =

P

( )

A

P

P

(

A

B

) =

P

(

A

)

P

(

B

)

A

(

B

)

P

(

A

) 0

für unabhängige Ereignisse

P

(

A

...

A

1

)=

P

(

A

1)...

P

(

A

)

für abhängige Ereignisse

n

n

P

(

A

...

A

=

P A

P

A

...

P

A

1

n

)

( 1)

A

( 2 )

A

...

A

(

n

)

1

1

n

1

-

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unabhängige Ereignisse

P

(

B

) =

PA

(

B

)

P

=

A

(

B

)

P

(

A

B

)

P

(

A

)

P

(

A

) =

P

(

A

)

B

Kombinatorik

Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen

Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen

Einer Gesamtheit von n Elementen kann man

k

n

geordnete Stichproben mit Zurücklegen vom

Umfang k entnehmen

Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen

Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen

n

n

(

n

- )

1 ... (

n

-

k

+ )

1

!

n

Einer Gesamtheit von n Elementen kann man

m

=

=

=

k

k

!

k

! (

n

-

k

)!

n

(

n

- 1) ... (

n

-

k

+ 1) =

m

geordnete Stichproben Einer Gesamtheit von n Elementen kann man

vom Umfang k entnehmen

n

=

Vollerhebung:

m

verschiedene ungeordnete Stichproben

k

n

=

k

vom Umfang k entnehmen.

m

=

n

!= 1 2 ...

n

Vierfeldertafel

V

V

N

P

(

N

V

)

+

P

(

N

V

)

=

P

(

N

)

+

+

+

N

P

(

N

V

)

+

P

(

N

V

)

=

P

(

N

)

=

=

=

P

(

V

)

+

P

(

V

)

=

1

Für unabhängige Ereignisse

Totale Wahrscheinlichkeit

---

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Satz von Bayes

P

(

B

) =

P

( )

A

P

+

P

(

A

B

) =

P

(

A

)

P

=

A

(

B

)

P

(

B

)

PB

(

A

)

A

(

B

)

P

( )

A P

(

B

)

A

P A

P

B

P

A

(

A

)

PA

(

B

)

P

(

B

) =

P

(

A

P

=

=

B

(

A

)

( )

( )

1 )

P

+ ... +

A

(

B

)

P

(

An

)

P

P

A

(

B

)

1

n

P

(

B

)

P

(

A

)

P

+

A

(

B

)

P

(

A

)

P

(

B

)

A

P

(

A

i

)

PA

(

B

)

P

=

B

(

Ai

)

i

P

(

A

1 )

P

+ ...

A

(

B

)

P

(

An

)

PA

(

B

)

1

n

Auswertung von Zufallsexperimenten

Erwartungswert

Varianz einer Zufallsvariablen

E

(

X

) =

x

P

(

X

=

x

)+ ... +

x

P

(

X

=

x

)

V

(

x

) = (

x

- µ)2

P

(

X

=

x

)+ ... + (

x

- µ )2

P

(

X

=

x

)

2

=

1

1

n

n

1

1

n

n

Standardabweichung

=

V

(

x

)

Binomialverteilung

Bernoulli-Experiment Binomiale Wahrscheinlichkeit

Binomialkoeffizient

-

p

(

X

=

k

)

n

k

=

p

(1-

p

)

n k

S

= {

A

,

B

}

n =

k

n

p

( )

A

= 1 -

p

(

B

)

Anzahl der Versuche

k

k = Anzahl der Treffer

Pascalsches Dreieck

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung

0

E

(

X

) =

n p

0

1 1

1

V

(

X

) =

n

p

q

0

1

1 1

>

2 2 2

1 2 1

=

n

p

q

X

0

1

2

1 3 3 1

3 3 3 3

(

q

= 1 -

p

)

0

1

2

3

Tschebyscheff

Gesetz der großen Zahlen für das Bernoulli-Experiment Ungleichung

2

P

(

x

-

p

<

c

)

1

1-

P

(

X

- µ

c

)

4

2

nc

2

c

µ = Erwartungswert

P

(

h

-

p

< )

p

q

1

1-

1-

2

n

4

2

n

= Standardabweichung

x

= Mittelwert

c

= Abweichung

h

=

Häufigkei

relative

t

x

= Wert

n

=

der

Anzahl

Versuche

Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, so

=

liegen von den Werten, welche x annimmt im

2 -

Abweichung

Intervall mindestens 75%, im

3 -Intervall mindestens

p

,

q

= Wahrscheinlichkeiten

89% der Ergebnisse.

Näherungsformel von De Moivre Laplace

1 2

1

-

x

µ

x

-

2

:

x

e

P

(

X

x

) =

P

(

X

<

x

) =

2

P

(

x

µ

X

>

x

)

-

= 1-

---