Förderung des mathematischen Argumentierens in der Grundschule. Eine Handreichung zur Schaffung von Substanziellen Lernumgebungen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Begriffsfundus
2.1 Begriffe rund um Substanzielle Lernumgebungen
2.2 Begriffe rund um das Argumentieren im Mathematikunterricht

3 Allgemeine Praxis an die Hand
3.1 Tipps zur Konstruktion von Substanziellen Aufgabenformaten zur Argumentationsförderung
3.2 Sprachförderung - Bedeutung und Umsetzungsideen
3.3 Vorgehen beim Einsatz von SLU zur Argumentationsförderung
3.4 Erwartbare Schülerargumentationsleistungen und deren -beurteilung

4 Konkrete Praxis an die Hand
Zahlengitter
Rechenquadrate mit Ohren
Mal-Plus-Haus

Literaturverzeichnis

Weiterführende Literatur

Exkurs: Werbung für das Konzept und die Handreichung

1 Einleitung

Wie kam es zu dieser Handreichung?

Sie sehen vor Sich eine Handreichung, die im Rahmen meiner ersten Staatsexamensprüfung 2020 entstanden ist. Ausgangspunkt war eine Online-Umfrage, mit der ich einen Einblick gewinnen wollte, inwieweit Lehrpersonen das bereits seit Ende des 20. Jahrhunderts aufkommende Konzept der Substanziellen Lernumgebungen im Mathematikunterricht, speziell zur Förderung von Argumentationskompetenzen, bekannt ist. Es stellte sich heraus, dass 11 von 12 Teilnehmenden keine Kenntnisse über dieses Thema verfügen. Doch aber wurde prinzipielle Offenheit gegenüber diesen und anderen neuartigen Konzepten kundgetan. Hauptgrund für die bisher ausgebliebene Auseinandersetzung waren fehlende Impulse. Mit dieser Handreichung möchte ich Ihnen diesen Impuls geben und darüber hinaus die Aufklärungsarbeit leisten, die notwendig ist, um ein fundiertes Verständnis für Substanzielle Lernumgebungen zu aufzubauen. Dafür habe ich für Sie zunächst all jene Begriffe bereitgestellt, die zentral innerhalb der Thematik sind. Anschließend gebe ich Ihnen eine Anleitung und Tipps, mit denen Sie a) selbst Substanzielle Lernumgebungen erstellen und b) bestehende kritisch hinterfragen können. Es folgen drei mögliche, sofort einsetzbare Substanzielle Lernumgebungen - inklusive von mir aufbereiteter Arbeitsblätter -, mit denen Sie gezielt die Argumentationskompetenzen der Kinder fördern können.

Mittlerweile existieren bereits vielerlei Empfehlungen und Praxismaterialien. Was hebt diese Ihnen vorliegende Handreichung von jenen ab? Sie zeichnet sich im besonderen Maß durch reflektierte theoretische Tiefe bei gleichzeitiger Vorlage von Praxismaterialien sowie der Kombination zweier Forschungsschwerpunkte - den Substanziellen Lernumgebungen allgemein sowie der Förderung mathematischen Argumentierens in der Grundschule - aus. Viel Spaß beim Erkunden und Erproben der Thematik.

Warum sind Substanzielle Lernumgebungen im Mathematikunterricht sinnvoll?

In unserem Beruf sehen wir es tagtäglich: „Die Voraussetzungen, die die Kinder zum Lernen mitbringen, sind sehr unterschiedlich. Während einige Kinder spielerisch mit Zahlen und Zahlbeziehungen jonglieren, Zusammenhänge blitzschnell erfassen und mühelos auf neue Sachverhalte übertragen können, scheint anderen die Welt der Zahlen ein Buch mit sieben Siegeln zu sein, zu der sie nur mit viel Anstrengung und Ausdauer Zugang finden. Mit dieser Vielfalt umzugehen und dabei alle Kinder bestmöglich zu fördern ist eine Herausforderung, die mit traditionellen, lehrerzentrierten Unterrichtsformen kaum zu bewältigen ist"1. Auch traditionelle Formen der Binnendifferenzierung gelangen hier an ihre Grenzen. Zum einen ist es sehr mühsam, für jedes Kind passende bis hin zu individualisierten Lernangebote zu erstellen, zum anderen verlegt sich die Lehrerzentrierung dadurch lediglich in das Aufgabenmaterial. Es braucht eine Lösung, mit der Lernende wieder Konstrukteure ihres eigenen mathematischen Wissens werden, die Schönheit der Mathematik als Wissenschaft der Muster und Strukturen für sich entdecken und ein authentisches Bild des Mathematiktreibens aufbauen. Gleiches gilt für Sie als Lehrperson. Auch Ihre Begeisterung und Ihr Forscherverhalten sollen geweckt und gestärkt werden, nicht nur, weil Sie ein Vorbild für die Schüler*innen sind. Forschendes Lernen ist eine natürliche Lernweise, die gerade bei Grundschulkindern offensichtlich ist - sie beobachten, vergleichen, hinterfragen und entwickeln dabei ihre Muster des Verstehens. „Beim forschenden Lernen in der Schule geht es darum, die eher zufallsbedingten Erkundungen in ein systematisch-probierendes Untersuchen zu überführen. Neben der Förderung einer durch Neugier und Interesse gekennzeichneten Forscher- und Entdeckerhaltung müssen von daher strukturierte, aber auch offene Lernarrangements geschaffen werden, die den Aufbau von Vorgehens-, Arbeits- und Darstellungsweisen (systematisch probieren, analysieren, sortieren, ordnen, vergleichen, verallgemeinern, übertragen, dokumentieren, beschreiben, ...) zielgerichtet unterstützen"2. Doch forschendes Lernen im Mathematikunterricht? Wie soll eine solche Herangehensweise insbesondere in der Arithmetik, in der es nicht um konkrete Objekte, sondern um abstrakte Zahlen und Gesetzmäßigkeiten geht, realisiert werden? Die Antworten auf diese Fragen sind Substanzielle Lernumgebungen im Rahmen Natürlicher Differenzierung. Mit Ihnen gelingt es, Unterricht so zu öffnen, dass sowohl leistungsstärkere als auch -schwächere Schüler*innen selbstgesteuert und eigenständig aktiv werden. Dabei wird einem zentralen Grundsatz des Mathematikunterrichts Rechnung getragen, dem operativen Prinzip. Demnach können mathematische Sachverhalte und Strukturen dann mit Einsicht erfasst werden, wenn erforscht wird, wie sie sich verhalten, wenn auf sie Operationen ausgeübt werden. Die operative Aufgabenvariation mit der zentralen Fragestellung: „Was passiert, wenn ...?“ ist ein wesentliches methodisches Mittel zur Initiierung eines solchen forschenden Mathematiktreibens. Gerade im Mathematikunterricht, in dem häufig die Differenzierung bei der Unterscheidung von Bearbeitungszeit und Umfang reproduktiver Aufgaben endet, bietet es sich an, natürlich zu differenzieren und den individuell-konstruktivistischen sowie sozial-kommunikativen LehrLernprozessen wieder mehr Beachtung zu schenken.

Warum wurde der Schwerpunkt auf die Argumentationsförderung gelegt?

Oft berichten Autoren davon, dass die Argumentationsförderung im Mathematikunterricht rar ausfällt. Gern wird auf die Frage „Warum ist das so?“ verzichtet, weil „die Kinder das eh nicht wissen“ oder es zu viel Zeit in Anspruch nimmt. Der Grund für das Vermeidungsverhalten liegt dabei nicht immer nur auf den niedrig eingeschätzten Leistungsvermögen der Schüler*innen: Auch die ein oder andere Lehrperson tut sich schwer damit, die Muster und Strukturen zu durchdringen und zu begründen.

Trauen Sie sich selbst und den Lernenden etwas zu! Das Argumentieren ist als eine allgemeine mathematische Kompetenz nicht unbedacht Bestandteil der Bildungsstandards und gilt auch bereits im Rahmen der Grundschulzeit zu fördern. Dieser Weg mag holprig verlaufen, lohnt sich aber wie mehrere empirische Untersuchungen und Unterrichtsversuche zeigen. Neben ihrem Selbstzweck trägt die Argumentationsförderung überdies auch zum Aufbau fachlicher, sozialer und persönlicher Kompetenzen bei.

Meinungen von Lehrpersonen zu Substanziellen Lernumgebungen

Wie reagieren die Schülerinnen und Schüler auf den Unterricht mit Lernumgebungen?3

„[Sie] sind bei den Kindern sehr beliebt. Sie bringen Abwechslung.“ Ruedi Roth, 5.-6. Klasse

„Wichtig ist, dass die Aufgaben klar umrissen und für die Kinder gut verständlich formuliert werden. Sie experimentieren mit Zahlen und Mustern, die für sie ganz klar und verständlich sind, für uns jedoch kompliziert und verwirrend scheinen. Erklärt das Kind seine Gedankengänge, erstaunt uns die Vielfalt der Überlegungen und ihre Klarheit.“ Sibylle Rich- ner, 3.-5. Klasse

„Meine Schülerinnen und Schüler schauten den meisten Lernumgebungen mit Spannung entgegen, nur schon deshalb, weil sie sich vom ,normalen‘ Mathematikunterricht abhoben.

Ganz besonders [...] das Suchen und Finden von Mustern oder versteckten Strukturen [...] motivierte die Kinder zu persönlichen Höchstleistungen.“ Christiane Griffin, 1.-3. Klasse

Inwiefern gingen vom Projekt Impulse für den Mathematikunterricht aus?4

„Das Arbeiten mit Lernumgebungen erforderte zum Teil ein Abgeben von Macht und Kontrolle über das Unterrichtsgeschehen. Ich musste mich gewissermaßen mit den Schülerinnen und Schülern auf ein Experiment einlassen [...]“ Christiane Griffin, 1. - 3. Klasse

Welche Chancen und Schwierigkeiten ergeben sich bei der Inszenierung von Lernum- gebungen?4

„... dass jedes Kind gemäß seinen Möglichkeiten arbeiten und weiterkommen kann [...] Schwierigkeiten können entstehen, wenn die Klasse noch gar nicht an Lernumgebungen gewöhnt ist, wenn die Lehrkraft sich zu wenig mit der Lernumgebung auseinandergesetzt hat oder wenn die Lernumgebung nicht dem aktuellen Entwicklungsstand der Kinder angepasst ist.“ Kurt Sommer, 4.-7. Schuljahr

„Lernumgebungen können aufzeigen, wie Kinder eine komplexe Aufgabe angehen und wie ausdauernd sie arbeiten können. Bei Kindern der 1. Und 2. Klasse finde ich das Darstellen der Ergebnisse recht schwierig. Die Kinder müssen begleitet und angeleitet werden, wenn die Schülerdokumente für weitere Arbeiten wie zur Beurteilung oder Besprechung mit Klassenkameraden verwendet werden sollen. Lernumgebungen benötigen z.T. viel Zeit. Vor allem bei Erstklässlern kann die Motivation oder das Leistungsvermögen nachlassen. Um den Kindern gerecht zu werden, führe ich Lernumgebungen nach Möglichkeit im Halbklassenunterricht durch.“ Andrea Frey, 1. -2. Klasse

Inwiefern kann die Arbeit an Lernumgebungen Einfluss auf die Beurteilung einzelner Kinder haben?4

„[...] Zeit, die verschiedenen Strategien der Kinder kennen zu lernen. Ich kann die Denkschritte der Schülerinnen und Schüler direkt miterleben und sie können mir ihr Vorgehen erklären. Ihr Vorstellungsvermögen, ihre Strategien und ihr Problemlöseverhalten kann ich so besser beurteilen. Defizite nehme ich direkter wahr.“ Ruedi Roth, 5.-6. Klasse

Inwiefern hat sich seit dem Einsatz von Lernumgebungen die Gestaltung Ihres (Mathe- matik-)Unterrichts verändert?5

„Lernumgebungen haben künftig einen festen Stellenwert in meinem Mathematikunterricht [...] Ich fühle mich in der Auswahl der Aufgaben sicherer und gewinne dadurch Zeit, eigene oder entwickelte Lernumgebungen vermehrt einzusetzen.“ Ruedi Roth, 5.-6. Klasse

„Das Arbeiten mit Lernumgebungen erforderte von den Kindern und mir viel Zeit und Geduld. Es war nicht das Ziel, möglichst viele Aufträge zu erledigen und rasch vorwärtszukommen, sondern dass alle Kinder ihre eigene Einsicht in mathematische Strukturen gewinnen konnten. Ich musste und durfte zulassen, dass nicht alle Kinder am Ende gleich weit waren.“ Christiane Griffin, 1. -3. Klasse

Welche Rolle spielen Lernumgebungen in Zukunft in ihrem Unterricht?“5

„Sicher werde ich pro Semester eine bis zwei Lernumgebungen in meinem Unterricht einfließen lassen.“ Sibylle Richner, 3. - 5. Klasse

„Für mich waren Lernumgebungen Neuland. Nun sind sie für mich jedoch nicht mehr wegzudenken.“ Andrea Frey, 1. - 2. Klasse

2 Begriffsfundus

2.1 Begriffe rund um Substanzielle Lernumgebungen

Konstruktivistisches Lernen

Das konstruktivistische Denken liegt in vielerlei Disziplinen - so auch in der Pädagogik - im Trend1. In der Konstruktivistischen Didaktik wird Lernen als eigenständige Konstruktionsleistung des Lernenden verstanden. Diese basiert auf der Wahrnehmung eines Gegenstandes, der Handlung mit ihm und seiner kommunikativen Aushandlung2. Der Einzelne konstruiert im Zuge dieses Lernverständnisses aktiv den Sinn des Lerngegenstandes selbst, anstatt diesen vom Experten gelehrt zu bekommen.

Damit das aktiv-konstruktive Lernen gelingt, bedarf es eines Unterrichtsrahmens, in dem selbstbestimmtes, aktiv-entdeckendes und soziales Tun gefördert werden3.

Heterogenität und Natürliche Differenzierung

Eine Lerngruppe ist stets heterogen. Auf diese Heterogenität - die Verschiedenartigkeit der Schüler - wird seit einigen Jahren mit der Differenzierung des Grundschulunterrichts reagiert. Eine besondere Form stellt die Natürliche Differenzierung - die Differenzierung vom Kind aus - dar4. Sie ergibt sich im Prozess der Lerntätigkeit der Kinder selbst, ohne Vorabzuweisungen zu Niveaustufen, Aufgabenstellungen, Hilfsmitteln oder Lösungswegen5. Alle Lernende arbeiten am gleichen Lerngegenstand und wählen ihren eigenen Weg6. Da diese Form des Differenzierens beim natürlichen Lernen‘ außerhalb der Schule selbstverständlich ist, spricht man von Natürlicher Differenzierung‘.

Substanzielle Lernumgebungen

Substanzielle Lernumgebungen vereinen Raumorganisation, Methodik und Inhalt miteinander. Sie fassen all jene Lernarrangements zusammen, die im Rahmen Natürlichen Differenzierens und Konstruktivistischen Lernens die Heterogenität einer Lerngruppe berücksichtigen und überdies zu Nutze machen. Kern einer Substanziellen Lernumgebung bildet ein Substanzielles Aufgabenformat. Dieses ist eingebettet in eine methodische, soziale und materielle Rahmung. Anhand einer vertiefenden Beschäftigung mit dem SAF sollen wesentliche Entdeckungen zu einem inhaltlich-mathematisch fundierten Schwerpunkt auf frei wählbaren, unterschiedlichen Verständnis- und Abstraktionsebenen individuell und kooperativ gemacht werden können. Im Fokus steht dabei insbesondere die Entwicklung eines Verständnisses für den inhaltlichen Gegenstand der SLU durch eigenständiges Mathematiktreiben¹ '² ’ 9.

Substanziell: das Wesentliche einer Sache betreffend (Mathematiktreiben an zentralen Entdeckungen zu einem mathematischen Schwerpunkt)10’ 11

Substanzielle Aufgabenformate

„,Wir sind eine Aufgaben-Wegweifgesellschaft! Muss man länger als 3 Minuten über den Lösungsweg nachdenken, ist die Aufgabe unlösbar. Das Verweilen bei einem Problem, das Nachdenken über verschiedene Lösungswege und das Ausschöpfen der Möglichkeiten scheint zu anstrengend(Gächter, 2004, zitiert nach Krauthausen & Scherer, 2014, S. 200).

Mit Substanziellen Aufgabenformaten wird versucht, dieser Kritik eine Reaktion entgegenzusetzen. Verstanden als flexible Aufgabenstellungen bzw. -serien beziehen sie sich auf ein Basislayout (Schöne Päckchen, Rechenmauer, Rechenhaus, ...) und eine dazugehörige Anwendungsregel, von denen aus mittels aussteuerbarer Elemente (Zahlenmaterial, Gegeben-Gesucht-Situationen, ...) Frage- und Problemstellungen unterschiedlicher Art und Schwierigkeit im Kontext Natürlicher Differenzierung erzeugt und bearbeitet werden können. Fokussiert wird dabei eine innermathematische oder sachbezogene Struktur, ein mathematisches Muster oder ein Problem, das im Rahmen mathematischer Tätigkeiten von den Schüler³ innen selbst auf frei wählbaren Schwierigkeitsniveau entdeckt werden12, 13.

Merkmale Substanzieller Aufgabenformate hier etwas ausführlicher14, 15, 16, 17, 18

In der Literatur lassen sich hierfür mehrere Kriterienkataloge wiederfinden. Vergleicht man diese, können folgende Merkmale festgehalten werden:

- Vom Kind aus gesteuerte flexible Niveaudifferenzierung durch Variation:
- Offenheit der Ausgangssituation: freie Wahl von Größe der Ausgangszahlen und Anzahl der Beispiele, Variation der Aufgabenformulierung
- Offenheit des Weges: Bearbeitung mit unterschiedlichen Ansätzen möglich; ausprobierendes Verhalten erwünscht; unterschiedliche Vertiefungen
- Offenheit des Ergebnisses: verschiedene Ergebnisse möglich, unterschiedliche Darstellungsform (schriftlicher) Erläuterungen

- Balance zwischen Anforderung und Voraussetzungen:
- Zugänglichkeit: leicht zugänglich durch niedrige Eingangsschwelle, Aufbau auf Vorerfahrungen oder in anschauliche Situation eingebettet
- Herausforderung & Barriere: Aufgabe mit Aufforderungscharakter - etwa herausfordernde Fragen durch Widersprüche; kein stupides Anwenden gelernter Verfahren - erst Methoden entwickeln; „Rampen" mit höherem Anspruchsniveau für Leistungsstärkere

- Bedeutsamkeit und Prozessbezug: Repräsentation eines allgemeinen mathematischen Konzepts, einer fundamentalen mathematischen Idee, von Beziehungen im Sinn des operativen Prinzips; Entdeckung im Rahmen mathematischer Tätigkeiten (Darstellen, Modellieren, Kommunizieren, Problemlösen, Argumentieren)
- Authentizität: Widerspiegelung eines realistischen Bildes von der Entwicklung und Anwendung von Mathematik; sachgerechte Arbeitshaltung: MA ist mehr als nur Rechnen oder Reproduzieren mathematischer Muster ^ selbst erforschen
- Bemerkung: lernökonomische Grenzen ^ nicht alle SuS können Mathematik nacherfinden ^ Authentizität „nur" als Richtungsorientierung
- Schaffung von Diskussionsbedarf: über Bearbeitungswege, Lösungen, Anzahl der Lösungen, Beschreibung und Begründung von Mustern und Strukturen, Gültigkeitsbereiche von Aussagen.

2.2 Begriffe rund um das Argumentieren im Mathematikunterricht

Argumentieren als Lerngegenstand

Lerngegenstände des Mathematikunterrichts stellen wie auch bei Substanziellen Lernumgebungen die in den Bildungsstandards festgehaltenen inhaltlichen sowie allgemeinen mathematischen Kompetenzen dar. Argumentieren gehört zu den Zweitgenannten. Im Verständnis der Bildungsstandards beinhaltet diese prozessbezogene Kompetenz folgende Tätigkeiten:

- „mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen,
- mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen entwickeln,
- Begründungen suchen und nachvollziehen“ (Kultusministerkonferenz, 2005, s. 8).

Zum Verhältnis von Begründen, Beweisen und Argumentieren

Im Kontext der konstruktivistischen Mathematikdidaktik kann das Begründen als Oberbegriff, der das Beweisen und Argumentieren subsumiert, verstanden werden1’ 2’ 3. Während dabei das Beweisen einem Vorgang gleicht, bei dem eine Behauptung formal deduktiv aus als bekannt vorausgesetzten Sätzen und Definitionen gefolgert wird, umfasst das Argumentieren auch experimentelle und inhaltlich-anschauliche Nachweise2. Entsprechend kann das Argumentieren als Vorform des strengen mathematischen Beweisens angesehen werden1. Analog stellt der Mathematikunterricht eine Vorform mit fachdidaktischen Abweichungen für die wissenschaftliche Disziplin Mathematik als Idealtypus dar. Argumentieren und Beweisen unterscheiden sich also in ihrer Kontextanwendung und damit in den Regeln ihrer Durchführung.

''Schwarzkopf, 2015, S. 31; 2Budke et al., 2015, S. 275; 3Götze, 2019, S. 97

Alltagsbezogenes Argumentieren und Argumentieren mit mathematischen Mitteln sind grundschulrelevant

Das alltagbezogene Argumentieren, das Argumentieren mit mathematischen Mitteln wie Operationen sowie das formal-deduktive Beweisen stellen dabei die immer wissenschaftlich anerkannteren Stationen des Begründens dar. Ebenso sind Zwischenstufen möglich.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1 Argumentieren und benachbarte Begriffe (erstellt auf Basis von Wittmann & Müller 1988, zitiert nach Knapstein, 2014, S. 23; Brunner, 2014, S. 17ff; Brunner, 2016, S. 1104)

Argumentationen

Unter einer Argumentation versteht man allgemein eine Rede für oder gegen die Wahrheit einer Aussage mit dem Ziel, die Zustimmung wirklicher oder fiktiver Gesprächspartner zu erlangen⁴. Bezogen auf das Argumentationsverständnis im Grundschulunterricht gilt folgende Definition anlog: Als Argumentation gelten jene interaktiven Methoden, mit denen ein Kind z.B. versucht, den Geltungsanspruch seiner Aussage zu sichern und anderen (aber auch sich selbst) gegenüber zu vertreten5.

Argumentationskompetenzen

Argumentationskompetenzen bestehen im Wesentlichen aus drei Teilbereichen:

- der Rezeptionskompetenz: Verstehen von Argumenten durch Entschlüsseln der Darstellungsformen,
- der Produktionskompetenz: selbstständiges Entwickeln hochwertiger Argumentationen
- und der Interaktionskompetenz: verbindet Rezipieren und Produzieren, umfasst Kommunikationskompetenz (Fähigkeit, Entdeckungen, Vorgehensweise und Argumente zu kommunizieren)6’ 7.

Argumentationsprozess

Um eine Argumentation zu erzeugen, müssen mehrere Teilschritte durchlaufen werden. Die Gesamtheit dieser wird als Argumentationsprozess bezeichnet. In Anlehnung an das Verständnis mathematischen Argumentierens in den Bildungsstandards lassen sich vier Teilschritte - die Bausteine des Argumentierens - festhalten8, 9:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2 Bausteine des Argumentierens (Bezold, 2010, S. 3)

Entdecken mathematischer Phänomene8 9

- Förderlich: Unterscheidung von Relevantem und Irrelevantem, Kenntnisse von spezifischen mathematischen Begriffen, gegebenenfalls Eigenschaften und Beziehungen
- Durch Herstellungen von Verbindungen zu bereits Gelernten
- Weitere Einflussfaktoren: Kreativität, Intuition, Fantasie und ein Gefühl für Ästhetik

Beschreiben von Entdeckungen8, 9 (Erklären-Wie10)

- Beginn der Argumentationskette: Versprachlichung oder Darstellung von Vermutungen über mathematische Auffälligkeiten
- Konfrontation mit Fragen wie „Wie ist das Muster aufgebaut? Wie ist das Muster fortzusetzen?“
- zur Beantwortung: Identifikation zugrunde liegender operativer Veränderungen der Objekte

Hinterfragen von Entdeckungen8, 9

- Aufbau einer Begründungsnotwendigkeit über „Warum stimmt das? Stimmt das wirklich immer?“

Begründen der Entdeckung8, 9 (Erklären-Warum10)

- Überprüfung der Vermutungen anhand von Beispielen, ansatzweise Verallgemeinerung der Überlegungen Weiter auf der nächsten Seite...
- Aktive Untersuchung des Wahrheitsgehalts der gewonnenen Vermutung aktiv untersucht
- Klärung von Zusammenhängen zwischen operativ veränderten Einzelsymbolen
- Antworten auf kontrastive Warum-Fragen und konditionale Was-wäre-wenn- Fragen
- Ziel: für sich selbst und andere verstehbar machen, warum ein bestimmter Zusammenhang gilt beziehungsweise eine Aussage wahr oder falsch ist.

Argumente

Innerhalb einer Argumentation und basierend auf den Ergebnissen aus den Teilaktivitäten des Argumentationsprozesses werden die sogenannten Argumente, die Inhalte der Argumentationen, entwickelt. Beschäftigt man sich mit der Struktur von Argumenten (im Mathematikunterricht) so ist das Toulminsche Schema eines der in der Literatur am häufigsten erwähnten Modellen. In Anlehnung dessen kann ein Argument auch als ein funktionales Gefüge von bis zu fünf Komponenten (Abb. 3) beschrieben werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3 Grundstruktur eines Arguments (Toulmin 1996, zitiert nach Budke & Meyer, 2015, S. 21; Krummheuer, 2010, S. 5), erweitert um die Bausteine des Argumentierens [J. S.]

Grundstruktur eines Arguments

Datum: unbestrittene Information, Was ist gegeben?1112

Beispiel: Gegeben sind die Zahlen 3, 7, 8, 10, die auf die Grundreihe einer Vierer-Rechenmauer verteilt werden sollen. Dabei gilt 3 < 7 < 8 < 10.

Konklusion: zu beweisende Aussage, hypothetisch, daher mit modalem Operator11’ 12

Beispiel: Wahrscheinlich (=modaler Operator) ist der Deckstein dann am größten, wenn die 8 und 10 (die beiden größten Zahlen) auf die mittleren Steine der Grundreihe verteilt werden.

Schlussregel (Argumentationsregel, Garant): allgemeine Aussagen (Hypothesen, Axiome, Definitionen), die den Schluss zwischen Gegebenem und Behauptetem legitimie- ren11, 12

Beispiel: 8 und 10 (die Zahlen der mittleren Steine) gehen dreifach in den Deckstein ein, die Zahlen der Randsteine nur einfach.

Zusätzliche Elemente

Stützung: unbezweifelte Grundüberzeugungen; notwendig im Fall, die Schlussregel wird von den zu Überzeugenden angezweifelt11, 12

Beispiel: 8 und 10 (größere Zahlen) mal drei genommen ergeben ein größeres Ergebnis (54) als 3 und 7 (kleinere Zahlen) mal drei genommen (24) (a+3c+3d+b > c+3a+3b+d).

Ausnahmebedingung: zeigen Umstände auf, unter denen die Schlussfolgerung nur begrenzt oder gar nicht gilt11, 12

3 Allgemeine Praxis an die Hand

3.1 Tipps zur Konstruktion von Substanziellen Aufgabenformaten zur Argumentationsförderung

Aufgabenkonstruktion und -beurteilung gehört zur zentralen Handwerkstätigkeit unseres Berufs. Abgesehen von den Kriterien als Orientierungsgrundlage für die Konstruktion und Beurteilung von Substanziellen Aufgabenformaten stehen in diesem Sinne weiter die folgenden Vorschläge zur Verfügung.

Wahl eines Basislayouts

Ausgangspunkt bildet die Auswahl eines Basislayouts und seiner dazugehörigen Anwendungsregel in Anlehnung an die zu fördernde inhaltsbezogene, mathematische Kompetenz. Zu den bekanntesten innerhalb von Substanziellen Aufgabenformaten gehören etwa Zahlenketten, Rechendreiecke oder Rechen-n-ecke, Mal-Plus-Häuser oder auch Zahlengitter.

Aufgabenstellungen formulieren - die Forscheraufgaben

In Abhängigkeit von der Wahl der zu fördernden allgemeinen mathematischen Kompetenz und der Anforderungsbereiche - insbesondere „Zusammenhänge herstellen“ sowie „Verallgemeinern und Reflektieren“ - sind die Aufgabenstellungen zu konstruieren1. Typische Fragestellungen, die auf inhaltsbezogene Kompetenzen anspielen, mathematische Prozesstätigkeiten in Gang setzen und den Schüler*innen gleichermaßen als Formulierungshilfen für ihre Entdeckungen dienen, werden auch als Forscheraufgaben bezeichnet2, 3, 4.

Forscheraufgaben zur Ingangsetzung von Argumentationsprozessen und damit zur Förderung der mathematischen Argumentationskompetenzen sollten dabei folgenden Kriterien genügen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Möchte man neben der Nutzung bereits fertiger Forscheraufgaben mit Argumentationspotenzial selbstständig jene unter Beachtung der Kriterien erstellen, auch etwa durch Umformulierung bislang reiner Ausrechenaufgaben, so bieten sich konkreter folgende Aufgabenstellungen an:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Wahl des Aufgabentyps ist neben anzustrebenden inhaltlichen und prozessbezogenen Aspekten auch der Erfahrungsgrad der Kinder mit Substanziellen Aufgabenformaten (unter dem Schwerpunkt Argumentieren) durchaus entscheidend. Als Reaktion darauf empfehlen sich verschiedene Techniken zum Design von Aufgabenstellungen mit Fokus auf deren Öffnungsgrad. Dieser bezieht sich etwa auf die Vorgabe beziehungsweise das Weglassen von Informationen über die Ausgangssituation, des Lösungsverfahrens oder des Ergebnisses. Für die Konstruktion und Analyse von Substanziellen Aufgabenformaten bieten sich spezieller folgende Design-Parameter an: 1. Vorgegebene Zahlen (Beispiele gegeben), 2. Teiloffen mit bestimmten Bedingungen (Beispiele selbst konstruierbar, Einschränkung hinsichtlich des Zahlenmaterials) und 3. Offen (freie Wahl der Beispiele)5.

Eigene Erfahrungen mit dem Format machen

Es wird im Zuge einer sorgfältigen Aufgabenanalyse empfohlen, selbst Erfahrungen mit den Substanziellen Aufgabenformaten und seinen Variationsformen zu sammeln6. Ziel dabei ist es einerseits, ein Gefühl für die Muster und strukturellen Beziehungen zu bekommen. Andererseits soll man eine Vorstellung davon erhalten, was Kinder für Erfahrungen bei ihrem Zugang zum Format machen könnten6. Folgend gilt es als Lehrperson entdeckte Phänomene zu al- gebraisieren und durch die Einführung von Variablen auf die Allgemeingültigkeit hin zu überprüfen. Dies ist notwendig für den höheren Blick auf die Sache und damit die Authentizität der Lehrenden. Mit Hinblick auf die gesetzten Inhalte und allgemeinen mathematischen Kompetenzen gilt es letztlich zu entscheiden, welche der Aufgabenstellungen in den Unterricht aufgenommen werden.

Ein Basislayout inklusive beispielhafter Variablenverteilung

Das folgende, aufgearbeitete Beispiel zu Vierer-Rechenmauern verdeutlicht die vorangegangen Empfehlungen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgabe (vorgegebene Zahlen, offen hinsichtlich des Vorgehens): „Finde möglichst viele verschiedene 4er-Mauern mit den Zahlen 3, 7, 8 und 10 für die Grundreihe. Was fällt dir auf?" (Hirt & Wälti, 2016, S. 177).

Inhaltsbezogene mathematische und allgemeine mathematische Kompetenz: Zahlen und Operationen & Muster und Strukturen, Problemlösen (& Kommunizieren & Argumentieren)

Verallgemeinerung des Zahlmaterials: 3, 7, 8, 10 -> a < b < c < d mit a, b, c, d e 11 := {0,1,2,3,4,...}

Mögliche Entdeckung: Der Deckstein ist dann am größten (kleinsten), wenn die beiden größten (kleinsten) Zahlen auf die mittleren Steine verteilt werden, weil diese dreifach in den Deckstein eingehen. Die Reihenfolge ist aufgrund der Kommutativität der Addition (a+3c+3d+b = b+3d+3c+a) egal.

Hilfestellung für die Schülerinnen: Wie bist du vorgegangen? // Vergleiche die Grundsteine (die Decksteine). Wann ist der Deckstein am größten/kleinsten?

Weiterführende Fragen: Warum ist in manchen Beispielen der Deckstein größer/kleiner? Versuche zu begründen. // Überprüfe deine Vermutung an weiteren Vierer-Mauern.

Tipp: Schreibe statt der Summen, die einzelnen Summanden auf.

Weitere Beispiele und Übungsaufgaben für Sie

Folgende Beispiele dienen vor allem dazu, Sie dabei zu unterstützen, den Blick vom höheren Standpunkt aus zu erlangen. Auch sollen sie Ihnen das Potenzial der oft eingesetzten, aber doch selten auf diese Weise ausgeschöpften Basislayouts und ihre Strukturen offenbaren. Viel Spaß beim Forschen und in diesem Sinn: „Das Gleiche lässt uns in Ruhe, aber der Widerspruch ist es, der uns produktiv macht" (Johann-Wolfgang von Goethe).

Beispiel 1: Mal-Plus-Haus auf Basis des Distributivgesetzes

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In Worte gefasst könnte eine Begründung etwa wie folgt lauten: Wenn beide äußeren Kellerzahlen um 1 erhöht werden (Datum), dann werden die Produkte (linke und rechte WZ) jeweils ein Mal um den konstanten Faktor (mittlere KZ) größer (Schlussregel). Dementsprechend wird die Summe der beiden Produkte (DZ) um das Doppelte des kontanten Faktors größer (Konklusion).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In Worte gefasst könnte eine Begründung etwa wie folgt lauten: Wenn man die beiden äußeren KZ vertauscht (Datum), bleiben die Produkte (WZ) gleich, sie tauschen nur ihre Plätze (Schlussregel). Dementsprechend bleibt auch ihre Summe (DZ) gleich (Konklusion).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In Worte gefasst könnte eine Begründung etwa wie folgt lauten: Beide äußeren konstanten Faktoren (KZ) werden mit der um 1 erhöhten mittleren KZ multipliziert (Datum). Das linke Produkt (linke WZ) erhöht sich dabei ein Mal um die linke Konstante (linke KZ), das rechte Produkt (rechte WZ) um die rechte Konstante (rechte KZ) (Schlussregel). Dementsprechend wird die Summe beider Produkte um die Summe der beiden Konstanten erhöht (Konklusion).

Auf Basis: Deutsches Zentrum für Lehrerbildung Mathematik, 2010, S. 14ff

Beispiel 2: Zahlenketten (Viererketten) auf Basis der Fibonacci-Folge

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auf Basis: Krauthausen & Scherer, 2016), S. 230; Hirt & Wälti, 2016, S. 122; Knapstein 2014, S. 73ff

Aufgabe für die Lehrpersonen:

Nummer 1: Versuchen Sie, nachdem sie selbst die Aufgaben auf höherem Niveau (formal) durchdrungen haben, eine Begründung in Worte zu fassen - zunächst für sich selbst, anschließend auf Kinderniveau. Bestimmen Sie, welche Äußerung als Datum, als Schlussregel und als Konklusion dient.

Nummer 2: Versetzen Sie sich in die Lage der Kinder und lösen sie folgende Aufgabe selbstständig: „Wann ist die Zielzahl gerade/ungerade? Erstelle hierfür geeignete Viererketten. Begründe deine Entdeckung.“

Inhaltliche Hilfestellung für Sie; Ist die Parität der Zielzahl von beiden Startzahlen abhängig? Begründen Sie. Mit welchen Kombinationen von gerader-ungerader Summanden erhält man bei der Addition eine (un-)gerade Summe? Begründen Sie. Welche kommen in unserem Beispiel in den Fall?

Eine Erklärungsmöglichkeit auf Kinderniveau (4 Fälle):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispiel 3: Zahlengitter

Auf Basis: Knapstein, 2014, S. 69ff

Aufgaben für die Lehrpersonen:

Nummer 1: Versuchen Sie selbst einen Beweis für die folgende Beispielentdeckung zu finden. Formulieren Sie eine geeignete Forscherfrage, überlegen Sie sich Hilfestellungen und übersetzen Sie ihren gefundenen Beweis in Worte.

„Wenn in einem 3x3-Zahlengitter mit der Startzahl 0 die waagerechte und senkrechte Pluszahl benachbarte Zahlen sind, dann ist die Zielzahl das Vierfache der kleineren Pluszahl plus 2."

Nummer 2: Versuchen Sie sich in die Lage der Kinder zu versetzen und bearbeiten Sie die folgende Forscherfrage selbstständig.

„Erstelle ein 3x3-Zahlengitter. Wähle die Startzahl und Pluszahlen selbst. Erstelle weitere Zahlengitter, lass dabei die Startzahl und die senkrechte Pluszahl gleich. Erhöhe aber jedes Mal die waagerechte Pluszahl um 1. Was entdeckst du? Beschreibe. Warum ist das so?"

HF: Vergleichen Sie die Zielzahlen miteinander.

Nachtrag zu Aufgaben mit Argumentationspotenzial

Die folgende Übersicht über Argumentationsanlässe und mögliche Fragen kann zudem über den Rahmen von SAF hinaus und mit Blick auf den konstanten/steten Aufbau einer Fragehaltung bei den Kindern für die Auswahl und Erstellung von Aufgaben mit Argumentationspotenzial als Orientierungsgrundlage dienen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tab. 1 Überblick über Argumentationsanlässe (Bezold, 2010, S. 22ff; gekürzt[J. S.])

[...]

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¹ Krauthausen & Scherer, 2014, S. 196; 8Reinmann und Mandl, 2006, S. 615; 9Senatsverwaltung für Bildung,

² Wissenschaft und Forschung, (2009, S. 6; 10Online-Duden, 2020; 11Hirt & Wälti, 2016, S. 19

³ Bedeutsamkeit und Prozessbezug: Repräsentation eines allgemeinen mathematischen Konzepts, einer fundamentalen mathematischen Idee, von Beziehungen im Sinn des operativen Prinzips; Entdeckung im Rahmen mathematischer Tätigkeiten (Darstellen, Modellieren, Kommunizieren, Problemlösen, Argumentieren) Weiter auf der nächsten Seite.

⁴ Hefendehl 2003, zitiert nach Büchter & Leuders, 2011, S. 145; 5Krauthausen & Scherer, 2014, S. 156