Die mathematischen Grundlagen der Statistik

Inhalt

1. EINLEITUNG

2. MENGEN
2.1. DER MENGENBEGRIFF
2.2. OPERATIONEN MIT MENGEN
2.2.1. Durchschnitt
2.2.2. Vereinigung
2.2.3. Differenz
2.2.4. Komplement
2.3. MENGENALGEBRA

3. RELATIONEN
3.1. KARTESISCHES PRODUKT
3.2. RELATIONEN

4. FUNKTIONEN

5. RELATIVE

6. LITERATURVERZEICHNIS

1. Einleitung

Die Mathematik und die Statistik sind beides Wissenschaften. Ihr Zusammenhang ergibt sich aus deren Gegenständen. Die Mathematik ist die Wissenschaft von den quantitativen Verhältnissen und den räumlichen Beziehungen der Wirklichkeit. Weil die Mathematik die quantitativen Bestimmtheiten der materiellen Dinge und Erscheinungen untersucht, ist ihre Anwendbarkeit nicht auf einzelne Bereiche beschränkt. Der Anwendungsbereich der Mathematik als Grundwissenschaft erstreckt sich auf die Naturwissenschaften, die technischen Wissenschaften, die Wirtschaftswissenschaften und nicht zuletzt auf die Statistik.

In welcher Weise durch Anwendung mathematischer Hilfsmittel das Wesen der Erscheinung erfaßt wird, muß die betreffende Einzelwissenschaft entscheiden, in deren Gegenstandsbereich die Erscheinung fällt. Erst durch die Analyse der Erscheinungen wird die Möglichkeit der Anwendbarkeit bestimmter mathematischer Methoden oder gar die Notwendigkeit der Entwicklung neuer mathematischer Begriffsbildungen herausgearbeitet. Wichtige selbständige Teilgebiete der Mathematik sind neben Analysis, Arithmetik, Ausgleichs- und Fehlerrechnung auch die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlentheorie und Mengenlehre.

Die Statistik erforscht die erfahrungsgemäßen Gesetze, die bei Massenerscheinungen auftreten. Sie findet im gesellschaftlichen und wirtschaftlichen Leben, aber auch in den Naturwissenschaften, wie zum Beispiel in der Biologie und Physik, ihre vielfache Anwendung. Aber auch bei wissenschaftlichen Untersuchungen in der Psychologie, Soziologie und Pädagogik haben die statistischen Methoden im zunehmenden Maße ihren festen Platz. Die Grundaufgabe der Statistik ist die Sammlung und Auswertung statistischer Daten. Statistische Daten sind zahlenmäßige Angaben über die zu untersuchende Menge gleichartiger Einzeldinge, der statistischen Massen. Die Frage nach der zweckmäßigsten Methode zur Gewinnung des statistischen Zahlenmaterials führt bereits auf vielfältige Probleme. Eindeutig jedoch ist, daß die statistischen Daten mit den Teilgebieten der Mathematik erfaßt, aufbereitet, dargestellt und ausgewertet werden. Die Gesamtheit der Methoden zum Verarbeiten und Auswerten der statistischen Daten ist die mathematische Statistik, ein Zweig der angewandten Mathematik.

Diese Arbeit behandelt ausgewählte mathematische Grundlagen der Statistik: Mengen - Relationen - Funktionen, welche durch eine Erläuterung der mathematischen Begriffe, deren statistische Verwertung und Anreicherungen durch Bespiele lehrhaft in der Folge dargestellt werden. Die mathematischen Inhalte sind so umfassend, daß sie nur eingegrenzt wiedergegeben werden können. Die Ausführungen setzen Grundkenntnisse der Mathematik voraus und erfordern ein hohes Abstraktionsvermögen.

2. Mengen

2.1. Der Mengenbegriff

Als Begründer der Mengenlehre gilt Georg Cantor (1845-1918). Die Bedeutung, der von ihm geprägten Begriffe wurde nicht sofort erkannt. Heute ist die Mengenlehre zu einem weit ausgebauten Zweig der Mathematik und deren Anwendungen geworden. Die Menge wurde damit zu einem Grundbegriff der Mathematik.

Die Menge ist: „jede Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente der Menge genannt werden) zu einem Ganzen“¹. „Wohlunterschieden“ heißt in diesem Fall, daß es im Prinzip möglich sein muß, die einzelnen Objekte zweifelsfrei einer bestimmten Menge zu zuordnen oder nicht. Beispiele für eine eindeutige Zuordnung sind: Menge der Schüler einer Klasse oder Menge der gegenwärtig auf der Erde lebenden Menschen. Beispiele einer kritischen Zuordnung, also unscharfe Mengen (Fuzzy-Mengen), sind: Menge der Schüler einer Klasse, die klug sind oder Menge aller Patienten, die unter starken Schmerzen leiden. In beiden letztgenannten Beispielen ist die Zuordnung durch subjektives Empfinden nicht zweifelsfrei.

Eine Menge ist endlich oder unendlich, je nach dem ob sie endlich viele oder unendlich viele Elemente enthält. Auch hierfür lassen sich einige Beispiele anführen. Die gegenwärtig auf der Erde lebenden Menschen oder die Anzahl der Schüler einer Klasse sind endliche Menge. Dagegen sind die Mengen der natürlichen Zahlen, der Primzahlen oder der Punkte eines Kreises unendliche Mengen.

Die Objekte einer Menge heißen Elemente dieser Menge. Die Bezeichnungen der Mengen erfolgen mit großen lateinischen oder griechischen Buchstaben, bzw. werden im Ausnahmefall Indizes verwandt. Die Menge der natürlichen Zahlen (ohne 0) werden standardmäßig mit N, die der ganzen Zahlen mit Z, die der reellen Zahlen mit R und die der rationalen Zahlen mit Q bezeichnet.

Mengen können anschaulich mittels ebenen und konvexen Gebilden, sogenannte Venn-Diagramme, dargestellt werden.

Elemente werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet.

- a ∈ A bedeutet „a ist Element der Menge A“

- a [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]A bedeutet „a ist kein Element der Menge A“

Eine Menge kann auf zwei Arten, unter Einschluß in geschweifte Klammern, beschrieben werden.

- durch Auflisten ihrer Elemente (Extension)

Bsp.: A = {1,2,3,4,5}; B = {Robert, Jürgen, Mirko, Joachim}

- durch Angabe einer Regel, nach der die Entscheidung der Zugehörigkeit eines Elementes zu einer Menge möglich ist (Intension). Diese Regel besteht aus einer festgelegten Eigenschaft, die auf alle Elemente der Menge und auf keine anderen Objekte zutrifft.

Bsp.: A = {a[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]a ist ganze Zahl und 1< a < 5}

B = {b[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]b sind männliche Mitglieder der Familie K.}

Wenn zwei Mengen A und B die gleichen Elemente enthalten, sind sie die Mengen A und B genau gleich. In diesem Fall spricht man vom Extensionalitätsprinzip für Mengen.

Bsp.(vgl. Bronstein et al., S. 288):

A = {3,1,3,7,2} und B {1,2,3,7}

Wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist, so bezeichnet man die Menge A als Teilmenge der Menge B, und kennzeichnet diese symbolisch durch den Ausdruck A ⊂ B.

Bsp.: Es seien A = {2,4,6,8,10} eine Menge gerade Zahlen und B = {1,2,3...10} eine Menge natürlicher Zahlen (N). A ist somit eine echte Teilmenge von B (A ⊂ B), da sie Menge A die ungeraden Zahlen nicht enthält.

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Eine leere Menge enthält keine Elemente. Sie ist Teilmenge jeder Menge M (∅ ∈ M). Sind die Teilmengen zweier Mengen A und B genau gleich, sind auch die Mengen gleich. Das heißt A ⊂ B und B ⊂ A.

Zusammenfassend gelten folgende Regeln:

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2.2. Operationen mit Mengen

Aus gegeben Mengen A und B können durch bestimmte Bildungsvorschriften, sogenannte Mengenoperationen, neue Mengen konstruiert werden.

Für die nachfolgend verwandten Beispiele (vgl. Böhm) werden folgende Mengen festgelegt:

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2.2.1. Durchschnitt

Die Schnittmenge, oder der Durchschnitt (Bezeichnung A ∩ B) ist definiert durch: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei „∧“ logische „und“. Man liest „A geschnitten mit B“. Die Schnittmenge zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören, und ist immer eine Teilmenge einer Vereinigungsmenge.

Bsp.: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Des weiteren gilt für Schnittmengen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zwei beliebige Mengen A und B, die kein gemeinsames Element besitzen, nennt man elementfremd oder disjunkt (A ∩ B = Ø) . Die Mengen schließen sich somit einander aus, d. h. ihr Durchschnitt ist eine leere Menge.

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Der Durchschnitt der Menge der ungeraden und der Menge der geraden Zahlen leer. Das heißt: {ungerade Zahl} ∩ {gerade Zahl}= Ø

2.2.2. Vereinigung

Bei den Mengen A und B ist die Vereinigungsmenge (A ∪ B), oder die Vereinigung definiert durch: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei „∨“ logisches „oder“ . Man liest „A vereinigt mit B“. Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die Element von A oder von B oder von beiden Mengen sind.

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Ebenso ist für Vereinigungsmengen zu beachten:

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2.2.3. Differenz

Die Menge der Elemente von A, die nicht zu B gehören, nennt man Differenzmenge (A \ B) oder Differenz von A und B. Diese wird wie folgt definiert: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Man liest „A minus B“. Die Differenz der Mengen A und B, ist die Menge aller Elemente von A, die nicht in B enthalten sind. Allgemein gilt: A \ B ≠ B \ A

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Die symmetrische Differenz (Diskrepanz) zweier Mengen A und B (A Δ B), ist die Menge aller Elemente, die zu genau einer der beiden Mengen A und B gehören. Die symmetrische Differenz wird folgendermaßen definiert: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Man liest „A Diskrepanz B“. Aus der Definition folgt, daß gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], das heißt, daß alle Elemente, entweder in A oder B liegen, aber nicht in beiden zugleich.

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2.2.4. Komplement

Speziell für die Belange der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird der Begriff der Negation (¬A = M\ A) einer Menge (Komplementärmenge) benötigt. Man geht davon aus, daß sämtliche betrachtete Mengen von einer Grundmenge G Teilmengen sind. Demnach wird die Negation bezüglich G einer jeden Menge A wie folgt definiert: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Man liest: „die Negation von A ist die Grundmenge minus A“.

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Die Schnittmenge einer Menge mit ihrer Komplementärmenge ist immer leer: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Ein abschließendes Beispiel (vgl. Clauß et al., S. 351) soll die Verknüpfung von Mengen nochmals verdeutlichen.

Bsp.: Betrachtet man die Bälle in einer Kiste eines Spielwarengeschäftes, so bilden alle Bälle dieser Kiste die Grundmenge G. Es seien A und B Bälle auf denen die Farbe Grün bzw. Blau vorhanden ist.

A ∩ B alle Bälle, die sowohl Grün als auch Blau enthalten

A ∪ B alle Bälle, die Grün oder Blau enthalten

A \ B alle Bälle, die Grün aber nicht Blau enthalten

A Δ B alle Bälle, die entweder Grün oder Blau enthalten

¬A alle Bälle, au denen keine grüne Farbe ist

Wie oben schon ausgeführt, benutzt man zur Veranschaulichung von Mengen und Mengenoperationen Venn-Diagramme. Die nachfolgende Tabelle (vgl. Clauß) enthält einen Überblick über mögliche Mengenoperationen, die entsprechende Definition, die Bezeichnung und Sprechweise und die Darstellung durch VENN-Diagramme. Im Diagramm (vgl. Clauß et al., S. 350) wird die jeweilige Ergebnismenge schraffiert wiedergegeben.

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2.3. Mengenalgebra

Die Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik und eine der ältesten mathematischen Disziplinen. Die Anfänger ihrer Entwicklung reichen bis ins Altertum zurück. Das Rechnen mit Mengenoperationen, zum Beispiel mit Vereinigung und Durchschnitt, erfolgt nach den Grundgesetzen der Mengenalgebra. Diese sind von den Regeln der Aussagelogik unmittelbar abgeleitet. Auf diesen Zusammenhang wird hier nicht näher eingegangen. Im Folgenden werden die für uns drei wichtigsten Grundgesetze der Mengenalgebra tabellarisch dargestellt. Das Absorptionsgesetz, Idempotenzgesetz, die DE MORGANsche Regeln und weitere Gesetze der Mengenalgebra werden hierbei vernachlässigt.

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3. Relationen

3.1. Kartesisches Produkt

Im vorangegangenen Kapitel wurden mittels der verschiedenen Mengenoperationen neue, logisch verknüpfte Mengen gebildet. Im Gegensatz dazu wird beim kartesischen Produkt aus zwei Mengen A und B eine neue Menge gebildet, welche die Bindung der Elemente der Menge A zu den Elementen der Menge B beschreibt. Die Elemente der beiden Mengen werden dabei gleichzeitig, also simultan betrachtet. Beim kartesischen Produkt bestehen die Mengen aus Paaren von Objekten (a,b), wobei a ∈ A und b ∈B sei. Das Paar wird geordnet dargestellt, was bedeutet, daß die Reihenfolge in der die beiden Objekte maßgebend ist: (a,b) ≠ (b,a). Das kartesische Produkt oder Kreuzprodukt von A und B wird A x B geschrieben und wie folgt definiert: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Das Kreuzprodukt findet seine Anwendung oft in psychologischen Untersuchungen, wo mehrere Parameter oder Meßwerte von einem Probanden gleichzeitig zu erfassen oder wenn mögliche Antwortkombinationen einer schriftlichen Erhebung auszuwerten sind.

Bsp.(vgl. Clauß et al., S. 354):

Es seien A = {ja, nein} die Menge der Antworten auf Frage 1 eines Fragebogens B = {a,b,c} die Menge der Antworten auf Frage 2 eines Fragebogens. Dann ist A x B = {(ja,a), (ja,b), (ja,c), (nein,a), (nein,b), (nein,c)} die Menge der Antwortmöglichkeiten der Fragen 1 und 2. Bei diesem Beispiel wird besonders der simultane Charakter der Elemente des kartesischen Produktes sichtbar. Da die Paare geordnet sind, ist zum Beispiel (b,ja) kein Element von A x B.

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Das kartesische Produkt einer Menge kann man auch mit sich selbst bilden (A x A). Wichtigstes Beispiel dafür ist die Menge aller Paare reeller Zahlen (R x R), die das kartesische Koordinatensystem erklärt.

Bsp.(vgl. Clauß et al., S. 354):

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Das Kreuzprodukt wird in Koordinatensystem folgendermaßen veranschaulicht. Jedes Paar (a,b) wird mit dem Punkt der Zahlenebene mit den Koordinaten a und b identifiziert. Dabei wird die Bedeutung der Reihenfolge nochmals verdeutlicht.

3.2. Relationen

Die Beziehungen zwischen den Elementen einer oder verschiedener Mengen beschreibt man als Relationen. Somit ist eine Relation die Teilmenge ihres kartesischen Produktes A x B. Will man eine ganz bestimmte Relation beschreiben, so ist dies allgemein und einfach dadurch zu erfüllen, daß man alle Paare angibt die in der zu beschreibenden Beziehung stehen. Man formuliert eine Eigenschaft, in dem man alle Elemente aufzählt, die diese Eigenschaft haben. Relationen sind Mengen, welche nicht nur durch Auflistung sondern auch durch Angabe einer Regel definiert werden, wie zum

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bsp.(vgl. Clauß et al., S. 354):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für X die Menge aller reellen Zahlen x gilt: 1 ≤ x ≤ 4, für Y die Menge aller reellen Zahlen y gilt: 2 ≤y ≤3.

Dann ist X x Y = {(x,y) : 1 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 3} X x Y = {(1,2), (1,3), (4,2), (4,3)}

Für eine gegebene Relation U ⊆ A x B gilt: Die Menge aller a ∈ A, die als erste Komponenten in den zur Relation U gehörenden Paaren auftreten, ist der sogenannte Definitionsbereich der Relation U und wird mit Du bezeichnet. Entsprechend bilden alle auftretenden b den Wertebereich WU. Nach dem vorangegangenen Relationsbeispiel F = {(4,2), (5,1)} ist der Definitionsbereich DF {4,5} und der Wertebereich WF {1,2}. Für die Begriffe Definitions- und Wertebereich sind auch die Begriffe Vor- und Nachbereich üblich.

Eine Relation U zwischen A und B (U ⊆ A x B) heißt linksvollständig oder linkstotal, wenn ihr Definitionsbereich gleich A ist; sie heißt rechtsvollständig oder rechtstotal, wenn ihr Wertebereich gleich B ist. Weiterhin wird unterschieden zwischen einer linkseindeutigen und einer rechtseindeutigen Relation U zwischen A und B.

- linkseindeutig: zu verschiedenen ersten Elementen eines Paares gehören auch verschiedene zweite Elemente, wenn aus (a₁, b) ∈ U und (a2,b) ∈ U stets a₁ = a₂ folgt
- rechtseindeutig: zu verschiedenen zweiten Elementen eines Paares gehören auch verschiedene erste Elemente, wenn aus (a,b₁) ∈ U und (a,b2) ∈ U stets b₁ = b₂ folgt

Wie schon oben ausgeführt, können Relationen auch die Beziehung zwischen den Elementen in einer Menge beschreiben, R ⊆ A x A. Relationen in einer Menge A können unter anderem folgende Eigenschaften haben:

- reflexiv, wenn (a,a) ∈ R für alle a ∈ A
- symmetrisch, wenn für alle (a,b) ∈ R gilt: (a,b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
- antisymmetrisch, wenn (a,b) ∈ R ∧ (b,a) ∈ R ⇒ a = b
- asymmetrisch, wenn für alle a, b ∈ A gilt: (a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∉ R
- transitiv, wenn für alle a, b, c ∈ A gilt: (a,b) ∈ R ∧ (b,c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R

Besondere Bedeutung haben zweistellige (binäre) Relationen in einer Menge. Das heißt, sie beziehen sich auf je zwei Elemente einer Menge. Zwei wichtige Beispiele dafür sind die Äquivalenzrelation und die schwache Ordnungsrelation.

Die Äquivalenzrelation (~:) kennzeichnet die Gleichheit von Objekten bezüglich eines Merkmals. Sie ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Bsp. (vgl. Böhm)

Schulklasse, ~: gleiches Geschlecht, die Schüler werden in männlich und weiblich eingeteilt Die schwache Ordnungsrelation (≤R) besagt, daß ein Merkmal bei einem Objekt mindestens so stark ausgeprägt sein muß, wie bei einem anderen Objekt. Sie ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv.

Bsp. (vgl. Böhm)

Schulklasse, ≤R: Mathematikkenntnisse, die Schüler werden bezüglich ihrer Mathematikkenntnisse geordnet (Rangfolge)

4. Funktionen

Der Begriff der Funktion geht auf den Mathematiker Leonard Euler (1707- 1783) zurück. Er erklärte die Funktion als „eine veränderliche Größe, die von einer anderen veränderlichen Größe abhängt“². Heute wissen wir, daß nicht nur die Abhängigkeit dieser Größen maßgebend für den Funktionsbegriff ist, sondern die Zuordnung eines bestimmten Objektes zu einem anderen bestimmten Objekt. Zum Beispiel gehört zu jedem Sitzplatz in einem Theater bei jeder Vorstellung eine bestimmte Eintrittskarte. Aber nicht immer gehört zu einem Sitzplatz ein bestimmter Besucher. Mengentheoretisch ausgedrückt bedeutet das, daß eine Funktion jedem Element einer Menge ein bestimmtes Element einer anderen Menge zuordnet. Eine Funktion ist in diesem Sinne eine Abbildung zweier Mengen. Das heißt, daß eine Abbildung eine bestimmte Menge von geordneten Paaren (x,y) ist, welche folgende Eigenschaft besitzt: jedem x ∈ X ist eindeutig ein y ∈ Y zugeordnet. Die Art der Zuordnung kann dabei verschiedene Formen haben: sie kann durch eine Tabelle statistischer Werte, durch ein Diagramm oder durch einen analytischen Ausdruck im Sinne einer Rechenvorschrift gegeben sein.

In den geordneten Paaren ist x die unabhängige Variable und y die unveränderliche dazugehörige Beobachtung. Man kann zu keinem x mehr als ein zugehöriges y finden. Somit ist es möglich dieses y als zu x zugeordnet zu betrachten. Man schreibt y = ƒ(x) oder auch x → ƒ(x) = y. Der Definitionsbereich der Funktion wird mit Dƒ und der Wertebereich mit Wƒ bezeichnet. Beim oben angeführten Theaterbeispiel besteht der Definitionsbereich aus Sitzplätzen und der Wertebereich aus Besuchern.

Ein weiteres Beispiel verdeutlicht diese Aussage. Der Flächeninhalt I eines Quadrates (I = a2) ist eine Funktion von einer unabhängigen Variablen, nämlich von der Seitenlänge a des Quadrates, I = ƒ(a). Der Flächeninhalt eines Rechtecks dagegen ist eine Funktion von zwei unabhängigen Variablen, von der Länge a der Grundlinie und der Länge b der Höhe, I = ƒ(a,b).

Die Funktion ist ein Sonderfall einer Relation, und ist linksvollständig und rechtseindeutig. Man schreibt: ϕ: A → B (das heißt: Abbildung ϕ [phi] aus dem Raum A in den Raum B) oder ϕ(a) = b. A ist in dem Fall die Ausgangsmenge (Definitionsbereich) und B die Zielmenge. Die Bildmenge ϕ(a) (Wertebereich) enthält genau die Elemente der Zielmenge B, die den Elementen aus A zugeordnet sind.

Man definiert: ϕ(a) = {b ∈ B | es gibt ein a ∈ A mit ϕ(a) = b}.

Wird a ∈ A bei einer Abbildung in das Element b ∈ B abgebildet (ϕ(a) = b), so heißt b das Bild von a und a das Urbild von b.

Funktionale Relationen (Funktion) treten beispielsweise stets bei Bewertungen auf. Wobei Zahlen in eindeutiger Weise zugeordnet werden. Nach bestimmten Regeln werden Punktsummen ermittelt und für die Auswertung von Testleistungen zugrunde gelegt. Auch in der Statistik erfolgt die funktionale Zuordnung bei der Bestimmung von Rangzahlen.

Bsp.: Es gibt eine Serie von n verschiedenen Meßergebnissen. Man ordnet jedem Meßwert seinen Rangplatz in der Größenordnung zu (kleinster Wert Rangplatz 1, größter Wert Rangplatz n).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei Abbildungen aus dem Raum A in den Raum B (ϕ: A → B) treten folgende Eigenschaften auf, für die gilt:

- injektiv (Injektion), wenn a1, a2 ∈ A, dann a1 ≠ a2 ⇒ ϕ(a1) ≠ ϕ(a2)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das heißt, daß jedes Element der Menge B höchstens einmal getroffen wird, also zwei verschiedene x-Werte haben immer verschiedene Funktionswerte.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Funktion R → R ist injektiv, aber nicht surjektiv. Ihr Wertebereich ist das (offene) Intervall (-3,3).

- surjektiv (Surjektion), wenn für jedes b ∈ B ein a ∈A existiert mit ϕ(a) = b Das heißt, daß jedes Element von B wird getroffen, also wenn der Wertebereich gleich der ganzen Menge B ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Funktion R → R ist surjektiv, aber nicht injektiv. Es gibt drei x-Werte, deren Funktionswert 1 ist.

- bijektiv (Bijektion), wenn die Abbildung injektiv und surjektiv ist, dann ist jedes b ∈ B Bild von genau einem Element Von A.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das heißt, die Funktion R → R ist injektiv und surjektiv. Es wird eine exakte Entsprechung („Eins-zu-eins-Zuordnung“) zwischen den Elementen der Menge A und den Elementen der Menge B definiert. Bijektive Funktionen werden auch als eineindeutig bezeichnet.

Eine injektive Funktion ƒ: A → B kann auch zu einer bijektiven Funktion modifiziert werden. Dabei wird die Menge B durch den Wertebereich von ƒ ersetzt. Zu beachten ist allerdings, daß die Wirkung von ƒ ansonsten nicht verändert wird. Zusammenfassend kann man sagen, daß in jeder injektiven Funktion auch eine bijektive Funktion steckt.

Funktionale Relationen können grafisch anschaulich mit Hilfe von ebenen Koordinatensystemen dargestellt werden. Man ordnet jedem Zahlenpaar (x,y) einen Punkt P der Ebene zu. Auf der horizontalen Achse eines rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems werden die unabhängigen (x) Variablen, auf der vertikalen Achse die abhängigen Variablen (y) aufgetragen. Die Gesamtheit der so entstandenen Bildpunkte P bezeichnet man als Bild der Funktion. Auf diese Weise, abhängig von der Beschaffenheit des Definitionsbereiches und der Funktionsgleichung, erhält man eine Reihe einzelner Punkte und Kurvenstücke oder ganze Funktionskurven.

Bsp.: Als Beispiel für die grafische Darstellung einer Funktion dient oft die standardisierte Gaußsche Glockenkurve ϕ(x). Wobei beachtet werden sollte, daß ϕ(-x) = ϕ(x) ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5. Relative

Eine Menge von Elementen (A) und eine oder mehrere Relationen (R1 Rn), mit denen die Art der Beziehung der Objekte untereinander charakterisiert wird, nennt man Relativ [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] oder Relationensystem. Die Relation(en) ist oder sind Teilmenge(n) aus A x A.

Besteht die Menge aus empirischen Objekten, wie zum Beispiel Kindern einer Schulklasse oder Mitglieder eines Gesangvereins, so nennt man dieses Relationensystem empirisches Relativ. Das empirische Relativ teilt in diesem Fall die Mitglieder des Gesangvereins in männliche und weibliche Sänger.

Wenn A (Objektmenge) die Menge aller reellen Zahlen R ist, wird ein numerisches Relativ definiert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Das heißt S1... Sn stehen für unterschiedliche Typen von Relationen, wie zum Beispiel die Ordnungsrelationen.

Bsp.: Die Plätze bei einem Weitsprungwettbewerb in einer

Schulklasse werden nach den erreichten Ergebnissen der

Schüler vergeben. Das numerische Relativ legt in diesem Fall

die Rangfolge des Weitsprungwettbewerbes fest.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wird jedem Objekt aus der Menge A eine Zahl aus R zugeordnet (Zuordnungsfunktion: ϕ: A →R) und existiert für jedes Element aus A eine Zahl ϕ(a) in R, so sprechen wir von einer homomorphen Abbildung. Für zwei Objekte a und b aus A gilt: a ≥ b ⇔ ϕ(a) ≥ ϕ(b), wenn das empirische Relativ (A, ≥) in das numerische Relativ (R, ≥) homomorph abgebildet wird.

Die Zuordnung einer homomorphen Abbildung eines empirischen Relativs in ein numerisches Relativ finden wir als Bedingung in der Definition des Messens (nach Orth, 1983) wieder. Diese Definition besagt: „das Messen ist eine Zuordnung von Zahlen zu Objekten oder Ereignissen, sofern diese Zuordnung eine homomorphe Abbildung eines empirischen Relativs in ein numerisches Relativ ist. Das Messen aus dem Alltagsverständnis ist die Zuordnung von Zahlen und Beobachtungen durch den Vergleich mit einer Maßeinheit. Zum Beispiel gibt es in der Psychologie, Soziologie und Pädagogik für viele Untersuchungsgegenstände (Objekte) keine klar festgelegten Bedingungen. Aus diesem Grund ist die Erweiterung des Meßbegriffs erforderlich, da die Voraussetzung für den Einsatz statistischer Methoden quantifizierbare Merkmale sind. Und dies zur gesicherten Wissensgewinnung eine gegenstandsangemessene Quantifizierung erfordert. Die Definition von Orth heißt vereinfacht, daß Messen der Zuordnung von Zahlen zu Beobachtungen nach bestimmten Regeln entspricht („der Zuordnung einer homomorphen Abbildung eines empirischen Relativs in ein numerisches Relativ“).

6. Literaturverzeichnis

Böhm, G.: Skript: Einführung in die Statistik. WS 99/00

Bronstein, I.N. et al. (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 4. überarb. u. erw. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Thun u. Frankfurt (a. Main), 1995

Clauß, G. et al.: Statistik. Für Soziologen, Pädagogen, Psychologen und Mediziner. Grundlagen.(Band 1), 2. überarb. u. erw. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Thun u. Frankfurt (a. Main), 1999

Gellert, W. et al. (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Pfalz Verlag Basel, 1967

Meyers Neues Lexikon in acht Bänden. Band 5, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1963, S. 733

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¹ Meyers Neues Lexikon in acht Bänden. Band 5, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1963, S. 733

² Kleine Enzyklopädie Mathematik. Pfalz Verlag Basel, 1967, S. 125