Flächenberechnung in der Grundschulmathematik. Lernvoraussetzungen, Lernziele, Sach- und Didaktische Analyse und Strukturskizze

Inhaltsverzeichnis

1 Sachanalyse

2 Analyse der Lernvoraussetzungen
2.1 Aktuelle Situation in der Klasse:
2.2 Lernstand
2.3 Innerschulische Bedingungen

3 Didaktische Analyse
3.1 Gegenwartsbedeutung
3.2 Zukunftsbedeutung
3.3 Exemplarität
3.4 Struktur des Inhalts
3.5 Lehrplanbezug

4 Lernziele
4.1 Thema der Stunde
4.2 Stundenziel
4.3 Teilziele

5 Verlaufsplanung und Methodische Analyse
5.1 Vorbereitung
5.2 Hinführung
5.3 Erarbeitung
5.4 Ergebnissicherung

6 Strukturskizze

7 Literaturverzeichnis

9 Anlage

1 Sachanalyse

Die Geometrie ist ein sehr alter und wesentlicher Bestandteil der Mathematik. Der Begriff stammt aus dem Griechischen und bedeutet „Erdmessung“. Das Thema Flächeninhalt ist innerhalb der Geometrie dem Bereich Planimetrie zuzuordnen. Dieses Teilgebiet befasst sich mit der Geometrie in der Ebene, das heißt, die Eigenschaften zweidimensionaler Gebilde (Punkte, Geraden, Flächen) werden untersucht. Gegenstände in der objektiven Realität erscheinen dreidimensional, jedoch beschäftiget sich die Planimetrie mit den zweidimensionalen Oberflächen der Raumformen (vgl. Gellert, Küstner, Hellwich, Kästner, 1972).

Unter ebenen Figuren versteht man eine Teilmenge der Ebene, die aus einer zusammenhängenden, endlichen von einer geschlossenen Linie (Umfang) begrenzten Punktmenge besteht (vgl. learnattack.de). Die Größe einer Fläche wird durch den Flächeninhalt bestimmt. Dieser wird mit dem Großbuchstaben A (von Area) bezeichnet und gibt an, wie oft ein bestimmtes Einheitsquadrat darin enthalten ist (vgl. Bibliografisches Institut GmbH und Duden, 2010).

Die Ermittlung des Flächeninhaltes kann auf verschiedene Weise vorgenommen werden.

Um ihn formal auf rechnerischer Ebene zu ermitteln, existieren für viele ebene Figuren, die durch Kantenlängen, Radien und Höhenabgaben beschrieben werden, entsprechende Formeln (vgl. Lexikon der Mathematik, 2001). Die einfachste Formel ist die zur Berechnung der Flächeninhalte von Quadraten: A=a∙a=a2.

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Aus der Seitenlänge a=1m ergibt sich das sogenannte Meterquadrat (A=1m2) als Standardrepräsentant für eine Flächeneinheit.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts bei Rechtecken lautet: A=a b. Die Herleitung dieser ergibt sich aus der Quadratur des Rechtecks mit Hilfe des Höhensatzes: h2=q∙p, wobei p der Länge und q der Breite des Rechtecks entsprechen (vgl. Scheid, Schwarz, 2017). Dazu wird ein Rechteck ABCD konstruiert. Die Seite AB wird verlängert und darauf mit dem Zirkel die Seite BC abgetragen. Die Senkrechte BC wird verlängert. Nun konstruiert man mit dem Zirkel aus M einen Halbkreis mit d=p+q. Der Schnittpunkt E, an dem der Halbkreis die Senkrechte schneidet, markiert die Höhe h (BE) des zu ABCD flächengleichen Quadrates.

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Die Fläche eines Dreiecks mit der Länge g und der Höhe h berechnet man mit der Formel A= g∙h. Die Formel gewinnt man, in dem parallel zur Länge g auf der Hälfte der Höhe h eine Line gezogen wird. Schneidet man die Beiden oberen Dreiecke ab und legt sie seitlich unten an, entsteht ein Rechteck mit den Seitenlängen g und .

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Die Formeln für andere Vierecke beruhen auf ähnlichen Zerlegungs- und Umlegungsmaßnahmen.

Die Quadratur des Kreises ist nicht möglich. Der Flächeninhalt kann daher nur näherungsweise bestimmt werden. Dazu benötigt man die von Lindemann entdeckte Kreiszahl π. (vgl. Scheid, Schwarz, 2017). Die Formel lautet: A=π∙r2.

Polygone kann man zur Berechnung des Flächeninhalts in ebene Figuren zerlegen, deren Formeln zur Berechnung bekannt sind.

Es besteht auch die Möglichkeit, den Flächeninhalt ebener Figuren unter Zuhilfenahme von Winkeln mit entsprechenden Formeln zu berechnen.

Im Unterricht der Grundschule steht der geometrische Aspekt des Flächeninhalts im Vordergrund, weshalb dieser auch dem Kompetenzbereich Raum und Form statt Größen und Messen zugeordnet ist (vgl. Schipper, W., Ebeling, A. Dröge, R., 2020). Die Ermittlung des Flächeninhalts erfolgt dabei mittels der Anzahl der Einheitsquadrate (z.B. Meterquadrat), mit denen sich die fragliche Fläche komplett und ohne Überlappungen auslegen lässt. Im Falle eines Quadrats oder Rechtecks wird der Flächeninhalt also durch die Anzahl der Einheitsquadrate in einer Reihe multipliziert mit der Anzahl der Reihen berechnet. Es ist auch möglich, die Menge der gelegten Einheitsquadrate abzuzählen. Um andere Formen auszulegen, kann das Einheitsquadrat zerlegt (z. B. halbiert, geviertelt) werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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Neben dem direkten Vergleich der Flächengrößen (z.B. durch aufeinanderlegen) und dem Vergleichen von Flächen durch Zerlegen und Zusammensetzen ermöglicht die Methode des Auslegens einen indirekten, quantitativen Vergleich (vgl. Franke, Reinhold, 2016). Dabei werden verschiedene Flächen mit einem Einheitsmaß (z. B. Meterquadrat) ausgelegt, die Anzahl repräsentiert den Flächeninhalt. So kann ermittelt werden, ob Flächen größer oder kleiner sind als andere. Wird festgestellt, dass gleichgroße Flächen unterschiedlich begrenzt sind und unterschiedliche Ausdehnung aufweisen, spricht man vom Prinzip der Flächeninvarianz. Bei Franke und Reinhold (2016) heißt es dazu: „… das die Unabhängigkeit der Flächengröße von Figuren gegenüber bestimmten Formveränderungen und gegenüber von Veränderungen durch eine Zerlegung beinhaltet“ (S. 309).

Die handlungsgestützte Vorgehensweise, bei der Flächen mit Einheitsquadraten und ihren Unterteilungen ausgelegt werden, kann mit verschieden großen Repräsentanten (1m2, 1cm2, 1mm2) durchgeführt werden. Die Bestimmung des Flächeninhalts kann auch in eine ikonische Form überführt werden, bei der die Lösungen mittels Kästchen- oder Millimeterpapier ermittelt werden.

2 Analyse der Lernvoraussetzungen

2.1 Aktuelle Situation in der Klasse:

In der Klasse 4a lernen neun Mädchen und dreizehn Jungen im Alter zwischen neun und elf Jahren.

Die Klasse ist in ihrer Zusammensetzung sehr heterogen, sowohl in der Lernleistung als auch in der Herkunft der Schülerinnen und Schüler¹. Die sozio-ökonomische Situation, in der die Kinder aufwachsen variiert stark, die Bandbreite reicht dabei von „gut bürgerlich“ bis „Hartz4“-Bezieher, von bildungsaffin bis bildungsfern. Einige Eltern sind alleinerziehend, wobei zwei Kinder gerade die Trennung ihrer Eltern miterleben. Die SuS stammen aus vier Nationen und haben unterschiedliche Religionen.

Die Gruppenzusammensetzung und -struktur in der 4a ist einer gewissen Fluktuation unterworfen. Immer wieder verlassen Kinder die Klasse bzw. es kommen neue SuS hinzu. Zum Ende der Klasse drei verließen ein Mädchen und zwei Jungen die Gruppe, zu Beginn des vierten Schuljahres kamen zwei neue Schüler hinzu. Außerdem wurden im Laufe des ersten Halbjahres der vierten Klasse zwei weitere Jungen in den Klassenverband aufgenommen. Den Kindern verlangen diese Veränderungen eine erhebliche Integrationsleistung ab. Aus gruppendynamischer Sicht muss die Klasse die Gruppenphasen immer wieder neu durchlaufen. Die hinzugekommenen Schüler müssen in der Klasse ankommen und einen eigenen Platz im sozialen Gefüge finden. Auch für die „alten“ SuS ist es eine Herausforderung, sich unter den veränderten Umständen zu behaupten und die neuen Kinder in ihre bestehende Gruppe zu integrieren. Positiv zu bemerken ist, dass einige der Kinder sehr sozial eingestellt sind und viel Bereitschaft zeigen, neue SuS in diesem Prozess zu unterstützen.

Die Atmosphäre in der Klasse ist nicht unproblematisch und es kommt immer wieder zu teils heftigen Auseinandersetzungen. Dies ist einerseits durch die oben geschilderte Situation bedingt, andererseits auch dadurch, dass einzelne Schüler persönlich stark belastet sind und Verhaltensbesonderheiten zeigen. In Zusammenarbeit mit der Schulsozialpädagogin werden die Probleme regelmäßig thematisiert und Maßnahmen zur Verbesserung durchgeführt.

Vier Kinder der Klasse fallen durch Verhaltensprobleme besonders auf. Bei Johann² wurde ADHS diagnostiziert und er benötigt medikamentöse Unterstützung. Er hat im Unterricht häufig Schwierigkeiten, bei der Sache zu bleiben und konzentriert zu arbeiten. Johann leidet sehr an der Trennung seiner Mutter vom Stiefvater, zusätzlich belastet ihn der Umzug in eine neue Wohnung. Im Unterricht braucht er viel Zuwendung durch die Lehrperson.

Das Verfahren zur Feststellung eines sozial-emotionalen Förderbedarfs wurde bei einer Schülerin durchgeführt, wobei ein erhöhter Förderbedarf festgestellt wurde, der aber in der Regelschule abgedeckt werden muss. Im Frontalunterricht ist Cordula meist unauffällig. Dem Mädchen fällt es schwer, ihre eigenen Gefühle wahrzunehmen und angemessen zu reagieren. Sie verfügt über eine geringe Frustrationstoleranz und reagiert besonders in Gruppensituationen und in den Pausen aggressiv auf andere Kinder, wenn deren Bedürfnisse nicht mit ihren eigenen konform gehen. Im Rahmen der Untersuchungen in der Tagesklinik wurde bei Cordula zusätzlich eine Rechenschwäche diagnostiziert. Seit diesem Befund ist sie noch deutlich schwerer zur Mitarbeit im Unterricht zu bewegen und sie benötigt sehr viel Ermutigung, um Aufgaben anzugehen. Cordula ist körperlich sehr weit entwickelt und die beginnende Pubertät erschwert die Situation zusätzlich.

Der Vater eines Jungen verstarb im letzten Jahr. Obwohl die Beziehung zwischen Karl und seinem Vater nicht unproblematisch war, vermisst er ihn sehr und ist emotional momentan noch sehr instabil. Sachliche Kritik durch die Lehrpersonen und Ablehnung von Spiel- sowie Hilfsangeboten durch andere Kinder kann er nur schwer aushalten und wird in manchen Situationen schnell aggressiv. Karl reagiert sehr positiv auf liebevolle Zuwendung durch die Lehrperson und kann in Gesprächen sein Verhalten gut reflektieren.

Ein weiterer Junge zeigt altersunangemessenes Verhalten. Wenn Lukas sich einer Situation nicht gewachsen fühlt oder keine Lust auf bestimmte Aufgaben hat, wirft er sich auf den Boden oder verfällt in ein kleinkindhaftes Sprachmuster. Ihm hilft in der Regel eine kurze Auszeit, um sich wieder zu beruhigen.

Bei diesen vier Kindern hatte die häusliche Lernzeit im Zuge der Corona-Maßnahmen negative Auswirkungen auf das Sozialverhalten. Es fällt ihnen sehr schwer, sich wieder auf die Arbeit in der Klasse zu konzentrieren und die notwendigen Regeln für das Zusammenleben in der Gruppe zu akzeptieren und einzuhalten.

Bei Gruppen- oder Partnerarbeit im (Mathematik-)Unterricht ist es notwendig, darauf zu achten, dass Cordula, Johann, Karl und Lukas nicht als Partner in einer Gruppe zusammenkommen, da sie sich gegenseitig negativ beeinflussen.

In der Klasse 4a lernen sieben Kinder mit Migrationshintergrund. Die Kenntnis der deutschen Sprache ist dabei unterschiedlich stark ausgeprägt. Drei Mädchen sind in Etappe drei des DAZ-Unterrichts eingestuft und können dem Unterrichtsgeschehen in allen Fächern ohne Probleme folgen. Eine von ihnen zählt zu den leistungsstärksten Kindern der Klasse. Zwei SuS besuchen DAZ-2. Sie haben noch Schwierigkeiten, fachsprachliche Inhalte zu verstehen und sich verständlich auszudrücken. Zwei Jungen sprechen kaum bzw. kein Deutsch und sind in DAZ-1 eingestuft. Im Regelbetrieb wären die vier Kinder (DAZ1/2) während der Mathe-Stunden in ihren jeweiligen Sprachgruppen. Coronabedingt nehmen derzeit alle Schüler am Unterricht in der Klasse teil. Dadurch wird das Vermitteln relevanter fachlicher Inhalte erschwert und verlangsamt. Für die DAZ-2-Kinder reicht meist eine bildgestützte und umfangreichere Erklärung mit einfachen Worten aus, um die Aufgabenstellungen zu vermitteln. Boguslaw (DAZ-1) spricht sehr gut Englisch, was eine sinnvolle Verständigung ermöglicht. Guido hingegen spricht fast nur Italienisch. In der Unterrichtsvorbereitung übersetze ich Aufgabenstellungen und Erklärungen mit Hilfe eines Computerprogramms. Im Unterricht dient das Handy als Verständigungshilfe zwischen mir und Guido bzw. zwischen ihm und seinem Banknachbar bei Partnerarbeiten.

In der Klasse gibt es einige SuS mit diagnostizierten Lernstörungen. Zwei Jungen haben eine Lese-Rechtschreib-Schwäche, wobei eines dieser Kinder eine spezielle Klasse besuchte und dadurch jetzt gut mit schriftlichen Aufgaben zurechtkommt. Bei dem anderen Schüler, Lukas, wurde diese Störung erst im Verlauf der dritten Klasse festgestellt und es erfolgte keine besondere Beschulung. Ihm hilft es, wenn er Problemstellungen vorgelesen bekommt. Cordula leidet an einer Rechenschwäche und eine weitere Schülerin, Claudia, an einer generellen Lernschwäche. Beide benötigen viel Unterstützung bei der Erfassung von Aufgabenstellungen und Zuspruch bei der Umsetzung. Claudia hilft es, wenn sie mehr Zeit zum Lösen der Aufgaben bekommt und Anschauungsmaterialen verwenden kann.

Bei Katharina wurde im ersten Schulhalbjahr Diabetes Typ 1 diagnostiziert. Sie geht mit ihrer Krankheit sehr verantwortungsbewusst um. Beim Verlassen des Klassenzimmers muss Katharina ihren Notfallrucksack mitnehmen.

2.2 Lernstand

Auch hier zeigt sich eine große Heterogenität. Vier SuS zeigen im Mathematikunterricht sehr gute Leistungen. Leistungsmäßig im Mittelfeld befinden sich zehn Kinder. Den Übrigen acht fällt der Mathematikunterricht teilweise sehr schwer, was unter anderem auf sprachliche Probleme (DAZ) und Teilleistungsstörungen zurückzuführen ist. Die aktive Beteiligung am Unterrichtsgeschehen ist dennoch recht groß und viele SuS lösen gern Aufgaben und Problemstellungen.

Die leistungsstarken SuS zeigen eine große Hilfsbereitschaft und erklären leistungsschwächeren Kindern Aufgabenstellungen oder mögliche Lösungsrichtungen.

Die SuS arbeiten häufig im Frontalunterricht und Einzelarbeit. Sind aber auch mit Formen der Gruppen- bzw. Partnerarbeit vertraut. Regelmäßig wird an Stationen gelernt.

2.3 Innerschulische Bedingungen

Die Schule befindet sich in einem Wohngebiet bestehend aus Mehr- und Einfamilienhäusern. Die Anbindung an den öffentlichen Nahverkehr ist gut.

Es handelt sich bei unserer Einrichtung um einen denkmalgeschützten fünfgeschossigen Altbau (inkl. Keller). Die Räume und Flure sind sehr hoch und es gibt keine Schalldämmung, was zu einem hohen Lärmpegel besonders bei Gruppenarbeiten und in den Pausen führt. Auf den Gängen gibt es auch Arbeitstische, diese eignen sich aber nur bedingt als Vergrößerung des Klassenraums bei Gruppenarbeiten.

Toiletten gibt es nur im Übergang zur Turnhalle (Erdgeschoss).

Das Gebäude ist zweigeteilt. Neben der Grundschule befindet sich noch eine Oberschule in dem Haus, wobei Turnhalle, Speiseraum und Pausenhof gemeinsam genutzt werden. Ein Hortgebäude befindet sich ebenfalls auf dem Gelände. Da die Räume dort nicht ausreichen, werden einige Klassenzimmer am Nachmittag vom Hort genutzt.

Im Regelbetrieb beginnt der Unterricht 7.45 Uhr. Es gibt eine Frühstückspause á 15 Minuten und zwei Hofpausen á 20 Minuten. Die anderen Pausen sind 10 Minuten lang. Zu Beginn des Schuljahres wurde die Möglichkeit eingeführt, die 1. und 2. Stunde als Blockunterricht zu nutzen. Durch die neuen Hygienevorschriften nach der häuslichen Lernzeit sind veränderte Pausen- und Unterrichtszeiten (je nach Klassenstufe) eingeführt worden, was die Arbeitsruhe erheblich beeinträchtigt, da die ersten und zweiten Klassen Hofpause haben, während für die älteren Kinder Unterricht durchgeführt wird und umgekehrt.

Derzeit lernen zehn Klassen mit je 23-27 Kindern in unserer Schule.

Die Schule verfügt über einen Computerraum mit 30 Arbeitsplätzen, der nach Anmeldung von allen Klassen genutzt werden kann.

Der Klassenraum der 4a ist für Frontalunterricht ausreichend groß und hell. Die SuS sitzen in drei Bankreihen hintereinander. Für Gruppen- und Stationsarbeiten muss umgeräumt werden und es wird dann etwas eng.

Der Lehrertisch befindet sich vor der rechten Bankreihe am Fenster.

Das Klassenzimmer verfügt über eine interaktive Tafel sowie zwei Magnettafeln im vorderen Bereich. Diese werden genutzt um Lernplakate zu den aktuellen Themen auszuhängen. An der Seitenwand des Raumes gibt es eine lange Magnettafel, die der Ausstellung von Schülerarbeiten dient.

Im hinteren Bereich befindet sich ein Vierertisch, auf dem oft zusätzliche Materialen für den Unterricht zur Differenzierung ausliegen. Diese können durch die SuS eigenständig genutzt werden.

Regale dienen den Kindern als Aufbewahrungsmöglichkeit für Schulsachen, wobei jeder/m SuS ein eigenes Fach zur Verfügung steht. Außerdem liegen im Regal Bücher und Spiele zur Pausengestaltung aus.

Zwei große Schränke dienen den Lehrpersonen als Aufbewahrungsort für Unterrichtsmaterial und Arbeitsmittel.

3 Didaktische Analyse

3.1 Gegenwartsbedeutung

Aus den ersten Grundschuljahren kennen die SuS bereits ebene Figuren wie Kreis, Dreieck und Vierecke. Wichtige Merkmale und Eigenschaften dieser geometrischen Formen sowie die korrekte fachsprachliche Bezeichnung haben die Jungen und Mädchen kennengelernt.

Mit dem Begriff „Flächeninhalt“ und seiner Bedeutung kamen die Schüler bisher im Mathematikunterricht noch nicht in Berührung und die Vorstellungen dazu dürften eher diffus sein (vgl. Schipper, Ebeling, Dröge, 2017) Allerdings ist den SuS aus dem Sachunterricht (Landkreis und Sachsen) bekannt, dass die Größe bestimmter Gebiete mit einem Flächenmaß angegeben werden kann. In ihrem Alltagsleben könnten einzelne Jungen und Mädchen schon mit Größenangaben für Flächen in Berührung gekommen sein, beispielsweise bei Grundrissen für Wohnungen und Häuser, bei der Diskussion um Zimmergrößen oder beim Errichten von Behausungen für Heimtiere. Durch den Kunstunterricht wissen die Kinder, dass ein A3-blatt doppelt so groß ist wie eins in A4.

[...]

¹ Nachfolgend SuS

² Namen der Kinder geändert