Anreizkompatible Risikoteilung

Inhaltsverzeichnis

Einführung

1. Problemstellung

2. Die betrachtete Entscheidungssituation

3. Ermittlung pareto-effizienter Teilungsregeln
a) Zustandsunabhängige Risikoteilung
b) Zustandsabhängige Risikoteilung

4. Die Bedingung der Anreizkompatibilität

5. Ermittlung anreizkompatibler Teilungsregeln

6. Gestalt anreizkompatibler Teilungsregeln
a) Risikoneutralität beider Parteien
b) Risikoneutralität eines Entscheiders und Risikoaversion des anderen.
c) Risikoaversion beider Entscheider

7. Vertiefung: Heterogene Erwartungen mit zustandsabhängigen Nutzenfunktionen

8. Zusammenfassung von Ergebnissen

Einführung:

Erklärung der Anreizkompatibilität anhand von Belohnungssystemen:

Delegiert eine Instanz die Entscheidungskompetenz an einen Entscheidungsträger, so möchte die Instanz bzw. das Unternehmen sicher sein, daß der Entscheidungsträger nicht in eigenem Interesse, sondern im Interesse des Unternehmens handelt. Es soll sozusagen ein "Anreiz" durch ein bestimmtes Belohnungssystem geschafft werden, durch welchen der Entscheidungsträger die gewünschten Entscheidungen trifft.

Die hinreichende Bedingung der Anreizkompatibilität ist es also, daß der Entscheider nur einen Vorteil aus seiner Entscheidung erzielen kann, wenn das Unternehmen insgesamt einen Vorteil erzielt. Wird eine anreizkompatible Belohnungsfunktion vereinbart, entsteht für den Entscheidungsträger ein finanzieller Anreiz, die Alternative mit dem höchstmöglichen Nutzenerwartungswert zu wählen.

(Laux; Liermann: Grundlagen der Organisation, 4. Auflage, Springer, Berlin 1997)

1. Problemstellung:

Auch bei einer pareto-effizienten Teilungsregel kann es zwischen zwei Entscheidungsträgern zu Konflikten kommen. Dies entsteht bei Beeinflussung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg, bei der einige Entscheider einen Vorteil, andere jedoch einen Nachteil ziehen können, was bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht der Fall ist. Diesen Konflikt kann man mit anreizkompatiblen Teilungsregeln umgehen; sie teilt jeden möglichen Erfolg zwischen den Parteien so auf, daß der Erwartungsnutzen des Erfolgsanteils für die eine Partei eine monoton steigende Funktion des Erwartungsnutzen des Erfolgsanteils für die andere Partei ist.

Wie können anreizkompatible Teilungsregeln ermittelt werden und welche Gestalt können sie aufweisen?

Zur Beantwortung dieser Fragen wird in folgenden Schritten vorgegangen: (Folie1)

2. Die betrachtete Entscheidungsituation:

Grundannahmen:

a) Alternativen werden nach dem Erwartungswert des Nutzens des jeweiligen Erfolgsanteils bewertet ( Bernouilli-Prinzip)
b) Es werden keine weiteren Einkünfte der beiden Parteien bezogen, die sich auf den gemeinsamen Erfolg G auswirken.
c) Der Erfolg G ist zustandsabhängig und resultiert aus den getroffenen Maßnahmen.
d) Jede beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist möglich aus der Sicht der Parteien.
e) Die jeweiligen Zustände und Wahrscheinlichkeiten werden a priori als gegeben angenommen.

3. Ermittlung pareto-effizienter Teilungsregeln

a) Zustandsunabhängige Risikoteilung:

Wenn Erfolge von noch unbekannten Aktionen abhängen, sollten deren Aufteilung zumindest innerhalb eines Intervalls mit Hilfe einer stetigen Funktion angegeben werden. Die Grundbedingung pareto-effizienter Risikoteilung lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um nun pareto-effiziente Teilungsregeln zu ermitteln, muß die Gleichung ( II.6) für

verschiedene -Werte erfüllt sein, oder die Nutzenfunktion von mindestens einem Entscheider muß positiv linear transformiert werden.

Folgendes Beispiel zeigt eine positive Transformation der Nutzenfunktion von X:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den Grenznutzen gilt daher:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Einsetzten in ( II.6) erhält man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man sieht daran, daß bei positiv linearer Transformation der Umverteilungseffekt derselbe bleibt, da die Aufteilung anstatt anhand des -Wertes nun anhand von erfolgt. Eine weitere Teilungsregel kann durch Gleichsetzung = 1 erfolgen. Wenn die Bedingung ( III.1) erfüllt ist, so gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Gleichung zeigt, daß beide Parteien den gleichen Grenznutzenwert haben.

Die folgende graphische Ermittlung verbessert das Verständnis pareto-effizienter Teilungsregeln:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. UX*' und UY' sind die Grenznutzenkurven zu den jeweiligen Nutzenfunktionen von X und Y.
2. Die gestrichelte Linie stellt die horizontale Addition beider Grenznutzenkurven dar. Den Punkt P* ist der Schnittpunkt der aggregierten Kurve und der Parallelen zur Abszisse mit Höhe H*. Dieser Punkt ist gleich der Summe aus den Abszissenwerten der Punkte S1 und S2, welche die Schnittpunkte der Grenznutzenkurven mit der Parallelen darstellen.
3.Der Punkt P* zeigt den Erfolg an, bei dem beide Parteien einen Grenznutzen von H* erhalten. Die Aufteilung dieses Erfolges G* erfolgt folgendermaßen: X erhält den Anteil B(G) in Höhe von S1, Y erhält den restlichen Anteil G*-B(G), welcher aufgrund der Addition beider Grenznutzenkurven gleich G*-S2P* ist. Bei beliebigen anderen Parallelen zur Abszisse wird man dieselbe Erfolgsaufteilung beobachten wie bei diesem Beispiel. Es wird immer UY' = UX*' gelten, daher ist die Bedingung ( III.3) erfüllt!

Nachdem nun die pareto-effiziente Teilungsregel ermittelt wurde, wird diese in folgender Graphik dargestellt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Erfolsanteil von X ist der Ordinatenwert der Kurve B(G), der Erfolgsanteil des Entscheiders Y ist der vertikale Abstand zwischen der 45°-Achse und der Kurve B(G). Wie man der Graphik entnehmen kann, erzielen beide Parteien einen positiven Erfolgsanteil, wenn G > GK. Am Schnittpunkt der B(G)-Kurve mit der 45°-Achse (G=GK) ist erhält X den gesamten Erfolg G, Y erzielt daher G-B(G) = 0. Für G < GK erhält X den gesamten Erfolg zuzüglich dem negativen Erfolg von Y; es gilt also B(G) > G.

Bisher ist man von homogenen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen sowie von zustandsunabhängigen Nutzenfunktionen ausgegangen, im folgenden Teil wird gezeigt, daß bei heterogenen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen und/oder zustandsunabhängigen Nutzenfunktionen eine pareto-effiziente Teilungregel ebenfalls zustandsunabhängig ist.

b) Zustandsabhängige Risikoteilung:

Symbolbezeichnung:

SS(s=1,2,...,S) mögliche Zustände

BS(G) Teilungsregel für den Zustand S

Die Anzahl der möglichen Zustände ist endlich; die Erfolge werden je nach dem entsprechenden eintretenden Zustand verteilt, d.h. für jeden Zustand kann es zu unterschiedlichen Teilungsregeln kommen. Welcher Erfolg in einem bestimmtem Zustand erzielt wird , ist zum Zeitpunkt der Entscheidung noch nicht verifizierbar. Die Ermittlung der zustandsabhängigen Teilungsregel erfolgt wie bei homogenen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen und zustandsunabhängigen Nutzenfunktionen .

Wie bereits erläutert wurde, kann bei pareto-effizienter Risikoverteilung "beigegebener

Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg durch Umverteilung der zustandsabhängigen Erfolge der Erwartungsnutzen keines Entscheiders erhöht werden, ohne daß der eines anderen sinkt"( Laux,1998,S.67).

Was passiert aber im Falle vonveränderlicherWahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg?

Hier ist es möglich, daß durch die entsprechende Teilungsregel der eine Entscheider einen Vorteil erzielt, während der andere einen Nachteil mit sich trägt; der zu Beginn angesprochene Konflikt zwischen zwei Parteien kommt zustande. Eine Lösung dieses Konflikts, bei der keine der Parteien benachteiligt ist, also entweder beide einen Vorteil oder einen Nachteil erzielen, stellt die anreizkompatible Teilungregel dar.

4. Die Bedingung der Anreizkompatibilität

Unter der Annahme homogener Wahrscheinlichkeitsvorstellungen kann es zwischen zwei Parteien zur Informationsasymmetrie kommen. Diese entsteht dann, wenn eine Partei als Instanz die Entscheidungskompetenz an die andere Partei überträgt und dabei die Wahrscheinlichkeiten, welche in die Entscheidung des Entscheidungsträgers fließen, nicht kennt. Auch wenn die Instanz von gleicher Information und weiter von identen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen ausgeht, so sollen mit Hilfe von anreizkompatiblen Teilungsregeln Entscheidungen zugunsten beider Parteien gefunden werden. Wenn folgende Bedingung erfüllt ist, so ist eine Teilungsregel B(G) anreizkompatibel: " Der Erwartungswert des Nutzens von B(G), E(UX[(G)]), ist eine streng monoton steigende Funktion des Erwartungswertes des Nutzens des Nettoerfolges, E(UY[G-B(G)])" (Bed. III.1, Laux, 1998, S.74).

Bei Vereinbarung einer anreizkompatiblen Teilungsregel, so kann auch bei Veränderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg keine der Parteien einen Vorteil bzw. einen Nachteil erzielen, wenn die andere Partei nicht ebenfalls einen Vorteil bzw. Nachteil erzielt. Da die Veränderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Zeitpunkt der Vereinbarung einer Teilungsregel noch nicht bekannt ist, wird die vorhergegangen Bedingung soweit konkretisiert, daß die Teilungsregel für jede mögliche Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt. Daher gilt die zusätzliche Bedingung:

" Der Nutzen des Nettoerfolges G-B(G) ist eine linear steigende Funktion des Nutzens von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

An dieser Gleichung sieht man, daß bei steigendem Erfolg G der Nutzen von Y, konkret G- B(G), linear mit dem Nutzen von X, also mit B(G) wächst. Die Nutzenfunktion UX[B(G)] + ist eine positiv lineare Transformation von UX[B(G)].

Folgernd aus dieser Gleichung ist auch der Erwartungswert der Nutzenfunktion von Y gleich dem Erwartungswert der Nutzenfunktion von X:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es ist also nicht nur der Nutzen des Nettoerfolges eine steigende Funktion, sondern auch der dazugehörige Erwartungsnutzen von G-B(G) eine linear steigende Funktion des Erwartungsnutzen von B(G). Die Grundbedingung III.1 ist also nur erfüllt, wenn die hinreichende Bedingung III.2 erfüllt ist. Es existiert für ein > o und ein beliebiges genau eine Teilungsregel, die beide Bedingungen erfüllt. Der Beweis erfolgt mit Hilfe folgender Graphik und anhand eines Belohnungssystems (Laux, 1995, Erfolgssteuerung und Organisation 1, S.574):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Beziehung zwischen dem Nutzen V des Entscheidungsträgers und dem Nutzen U der Instanz ist nichtlinear, daher ist V(U) konkav.

Bei einer Wahlmöglichkeit des Entscheidungsträgers zwischen einer riskanten und einer sicheren Alternative, wäre der Nutzen der Instanz bei der riskanten Alternative mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 U[G*-B(G*)]=U* bzw. U[0-B(0)]=0, der Nutzen des Entscheidungsträgers V[B(G*)]=V* bzw. V[B(0)]=0. Die Erwartungsnutzenwerte betragen 0,5U* bzw. 0,5V*.

Bei der sicheren Alternative mit Gewinn G** beträgt der Nutzenwert der Instanz analog U**, der des Entscheiders beträgt V**.

Wie man deutlich der Graphik entnehmen kann, ist V** > o,5V* und U** < 0,5U*; der Entscheidungsträger würde also im Gegensatz zur Instanz die sichere Alternative vorziehen; es existiert keine Anreizkompatibilität.

Wie werden entsprechende Teilungsregeln ermittelt und welche Gestalten gibt es?

5. Ermittlung anreizkompatibler Teilungsregeln:

Anreizkompatible Teilungsregeln werden wie die pareto-effizienten Teilunsregeln ermittelt, mit dem einzigen Unterschied, daß nun die Nutzenfunktionen anstelle der Grenznutzenfunktionen verwendet werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Schrittweise Erklärung der Abbildung:

1. UX*(B) ist die graphische Darstellung der Nutzenfunktion von X, UY(G-B) diejenige von Y.
2. Die gestrichelte Kurve ist die horizontale Addition der beiden Nutzenfunktionen. Eine Parallele zur Abszisse in Höhe H* schneidet die drei Kurven und es ergeben sich die Schnittpunkte S1, S2 und P*, wobei letzterer sich durch Addition der Punkte S1 und S2 ergibt.
3. Bei einem Erfolg von G*, welcher der Abszissenwert P* ist, erhalten X und Y einen Nutzenwert in Höhe von H*, konkret erhält X den absoluten Anteil B(G*), Y erhält den restlichen Anteil von G*- S2P* = G*-B(G*), also den Gesamterfolg abzüglich dem Anteil von X.
4. Bei jeder beliebigen Aufteilung des Erfolges zwischen den zwei Parteien gilt stets, daß UY= UX*; d.h. die eine Partei erzielt nur einen Vorteil bzw. Nachteil, wenn die andere ebenfalls einen Vorteil bzw. Nachteil erzielt. Die Bedingung für Anreizkompatibilität ist demnach erfüllt.

Die entsprechende Teilungsregel kann graphisch wie folgt dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie auch bei der pareto-effizienten Teilungsregel gezeigt wurde, gibt der Ordinatenwert der Kurve B(G) für ein beliebiges G den Erfolgsanteil von X an, während der Abstand zwischen der 45°-Achse und dieser Kurve den Erfolgsanteil G-B(G) von Y angibt. Durch unterschiedliche Werte von und gibt es unendlich viele anreizkompatible Teilungsregeln. Wird die Nutzenfunktion UX*(B) positiv linear transformiert, so können je nachdem ein höherer oder niedrigerer Erfolgsanteil B(G) erzielt werden. Es existieren auch Teilungsregeln, bei denen der Erfolgsanteil unterschiedlich stark vom Erfolg G abhängt. Betrachtet man die Gleichung (III:4):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und erhöht man oder , so muß UY[.] steigen und UX[.] sinken damit die Gleichung wieder erfüllt ist. UY[.] kann nur steigen, wenn B(G) sinkt, woraus folgt , daß UX[.] also ebenfalls sinkt. Umgekehrt gilt demnach, daß je mehr die Parameter oder sinken, um so mehr muß B(G) steigen.

Ermittlung anreizkompatibler Belohnungsfunktionen bei Beteiligung mehrerer Entscheidungsträger am Gesamterfolg:

(Laux, H.; Erfolgssteuerung und Organisation 1, Berlin, 1995)

Fall: Instanz ist risikoneutral, Entscheidungsträger sind risikoavers.

Soll der Erfolg auf N (N 2) Entscheidungsträger mit Hilfe von Anreizkompatibilität aufgeteilt werden, so gilt:

" Für jeden Entscheidungsträger n (n=1,2,...N) ist der Erwartungswert des Nutzens der Belohnung eine streng monoton steigende Funktion des Erwartungswertes des Nettoerfolges." Diese Bedingung ist erfüllt, wenn gilt :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur Bestimmung der Teilungsregel wird hier von N=2 ausgegangen; wobei analoges auch für N>2 gilt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Graphische Darstellung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es kann nach gleichem Umsetzungsverfahren vorgegangen werden, wie bei dem Fall miteinemEntscheidungsträger.

Addiert man B*1 und B*2 zu dem Abszissenwert S3, erhält man den Bruttoerfolg G(B*1+B*2).

6. Gestalt anreizkompatibler Teilungsregeln:

Da die Nutzenwerte UY[.] und UX[.] bei alternativen G-Werten gleich sein müssen, so muß auch gelten, daß die jeweiligen Ableitungen nach G identisch sind:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Erfolgsanteile B(G) und G-B(G) sind monoton steigende Funktionen von G. Da UX'>0, UY'>0 und >0 ist, gilt 0<B'(G)<1, wobei B'(G) um so größer ist, je größer UY' und je kleiner UX' ist.

Betrachtet man nun (III.10), sieht man, daß eine Erhöhung von zu einer Senkung des gesamten Terms führt, was impliziert, daß B'(G), die Steigung von B(G) also, ebenfalls sinken muß.

Die Steigung der Funktion B(G) ist eine monoton fallende Funktion von .

Eine anreizkompatible Teilungsregel ist linear, wenn das Verhältnis der Grenznutzenwerte von X und Y für jeden möglichen Erfolg identisch ist; B'(G) hängt nicht von G ab. Sinkt das Verhältnis jedoch mit steigendem G, so steigt auch B'(G) und die Teilungsregel verläuft konvex.

Umgekehrt verläuft die Teilungsregel konkav, wenn der Quotient der Grenznutzenwerte mit steigendem G ebenfalls steigt.

Die Gestalt anreizkompatibler Teilungsregeln hängt von folgenden unterschiedlichen Verhalten der beiden Parteien ab:

a) Risikoneutralität beider Parteien:

Sind beide Parteien risikoneutral, so sind deren Grenznutzenwerte unabhängig vom erzielten Gewinn G, woraus auch die Unabhängigkeit der Steigung B'(G) von G folgt. Die Teilungsregel ist demnach linear und die Nutzenfunktionen können wie folgt dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anreizkompatible Teilungsregeln sind bei Risikoneutralität beider Parteien immer linear.

b) Risikoneutralität eines Entscheiders und Risikoaversion des anderen:

Nimmt man an, daß der Entscheider Y risikoneutral ist, so ist sein Nutzen UY(G-B) = G-B und sein Grenznutzen UY' = 1(konstant!). Die Ableitung lautet daher: B'(G) = 1/ UX' +1 .

Nimmt man weiter an, daß der Entscheider X risikoavers ist, so ist sein Grenznutzen UX' eine fallende Funktion von B(G), was bedeutet, daß B'(G) mit steigendem G ebenfalls steigt und die Teilungsregel verläuft daher konvex. Allerdings steigt B(G) in geringerem Maße als G. Im folgenden wird untersucht, welche der zwei Aternativen;riskantodersicher; von den Entscheidern bevorzugt werden und weshalb.

Sichere Alternative:

Der Erfolg G= E*, der Erwartungswert von B(G) wird minimiert um den Nettoerfolg zu maximieren.

Der Erfolgsanteil von X beträgt B(G)=B(E*).

Riskante Alternative:

Es kann mit o,5 Wahrscheinlichkeit entweder ein Erfolg von Null oder von 2E* erzielt werden, der Erwartungswert ist demnach:

(0,5*0 + 0,5*2E*) = E*

Der erwartete Erfolgsanteil von X entspricht :

o,5B(0) + o,5B(2E*) = 0,5B(2E*), dieser ist aufgrund der Konvexität der Teilungsregel höher als B(E*) von der sicheren Alternative.

Da Y B(G) minimieren möchte, wählt er also die sichere Variante, da X risikoavers ist, wählt auch er die sichere Alternative.

Allgemein:

Sichere Alternativen, solche mit geringer Erfolgsstreuung, erzielen den höchsten erwarteten Nettoerfolg G-B(G) sowie den Höchsten Erfolgsanteil B(G).

Der Interessenkonflikt bei linearer Teilungsregel: (Abb.III.5, unten)

Im Falle einer quadratischen Nutzenfunktion des risikoaversen Entscheiders X ist der Erwartungsnutzen des Erfolgsanteils B(G) eine steigende Funktion von E[B] und eine fallende Funktion der Standardabweichung [B].

Auf den daraus folgenden Indifferenzkurven ist jede beliebige Kombination von E[B] und [B] gleichwertig. Der Entscheider Y bevorzugt die Alternative mit dem höchsten Erwartungswert von B(G), da diese den Erwartungswert des Nettoerfolges maximiert. Für den Entscheider X ist jedoch der Erwartungsnutzenseines Erfolgsanteils relevant, welcher sein Maximum auf der Indifferenzkurve annimmt, die möglichst weit rechts im Koordinatensystem verläuft; diese maximiert jedoch nicht den Erwartungswert E(B)! Die beiden Parteien haben hier nicht dasselbe Ziel; die Bedingung der Anreizkompatibilität ist verletzt. Dasselbe gilt bei konkaven Teilungsregeln; wenn sich der Entscheidungsträger X risikoneutral und Y sich risikoavers verhalten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

c) Risikoaversion beider Parteien:

Die Grenznutzenwerte sind hier von der Höhe ihres Erfolgsanteils abhängig.

Ändern sich also die Grenznutzenwerte aufgrund einer Änderung des Erfolges G, ändert sich auch die Steigung B'(G).

Veranschaulicht wird dies mit folgender Abbildung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Grenznutzenwerte sind gleich den Steigungen der Nutzenkurven in den Punkten S1 und S2, was sich durch (III.10) verdeutlichen läßt: B'(G) = 1/ (UX*'/UY' +1).

Verschiebt man nun die Parallele nach oben oder nach unten, so wandern S1 und S2 mit ihr entlang den Nutzenkurven, womit auch der Erfolg G steigt bzw. sinkt. Verändert sich dabei weiters das Verhältnis der Grenznutzen, so steigt bzw. sinkt B'(G), je nachdem ob das Verhältnis sinkt bzw. steigt und man erhält eine konvexe bzw. konkave Teilungsregel. Bleibt das Grenznutzenverhältnis bei jeder Verschiebung der Parallelen jedoch konstant, so ist auch B'(G) für jeden Erfolg identisch und die Teilungsregel ist linear mit der Form: (III.16) B = f G + F

Dieser Fall von identischen Grenznutzenverhältnis tritt ein, wenn die Inverse der Nutzenfunktion UX*(B) positiv linear von der Inversen der Nutzenfunktion UY(G-B) abhängt. Ein Beispiel ist der Spezialfall, bei dem beide Nutzenfunktionen identisch sind, graphisch liegen sie sozusagen übereinander, die Punkte S1 und S2 sind daher identisch und der Erfolg wird genau halbiert .

Der andere Fall sind Parallelverschiebungen der Nutzenkurven ( die Steigungen bzw. Grenznutzen müssen ja gleich sein!).

Wie Abbildung (III.8) zeigt, ergibt sich zum Beispiel die Nutzenfunktion UY(G-B) aus einer Parallelverschiebung der Nutzenfunktion UX*(B) nach rechts, so ist das Fixum F < 0. Verschiebt man die Funktion um , so ergibt sich der Gesamterfolg aus dem Abszissenabschnittt S2 zuzüglich dem Abszissenabschnitt S1(=B(G*)). Der Abszissenabschnitt S2 wiederum ist der Abschnitt S1 zuzüglich dem Betrag der Verschiebung

; daraus folgt: G= B(G)+ + B(G)= + 2B(G)

daraus folgt wiederum die Teilungsregel: B(G) = 0,5 G -/2 mit f= 0,5 und F = -/2 !

Bei einer Parallelverschiebung nach links ergibt sich daher ein positives Fixum.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

7. Vertiefung: Heterogene Erwartungen mit zustandsabhängigen Nutzenfunktionen:

Sind die Nutzenfunktionen der Entscheider zustandsabhängig, so ist Anreizkompatibilität gegeben, wenn gilt:

Bedingung III.4: " Für jeden Zustand SS(s=1,2,...,S) und jeden möglichen Erfolg in diesem Zustand gilt:

( III.21) wy(SS) UyS[GS-BS(GS)]= wx(SS)( Uxs[BS(GS)]+ ) = wx(SS) U*xs[BS(GS)] mit > 0 und beliebig.

Uys; Uxs : Nutzenfunktionen für den Zustand S wy; wx : gewichteter Nutzen

Aus (III.21) folgt (III.22):

UyS[GS-BS(GS)]=wx(SS)/wy(SS)* U*xs[BS(GS)]

Zustandsabhängige anreizkompatible Teilungsregel können nun durch positiv linearer Transformation der Nutzenfunktion Uxs für den Zustand SS ermittelt werden. Allerdings müssen alle Uxs mit denselben Faktoren und transformiert werden. Sinnvoll ist solch eine Teilungsregel, wenn der eintretende Zustand ex post kontrolliert werden kann.

8. Zusammenfassung von Ergebnissen:

Eine anreizkompatible Teilungsregel verteilt den Erfolg derart, daß der Erwartungsnutzen des Erfolganteils B(G) für X eine monoton steigende Funktion des Erwartungsnutzen des Erfolganteils G-B(G) für Y ist. Sind die Entscheider beide risikoneutral, ist jede anreizkompatible Teilungsregel linear. Eine anreizkompatible Teilungsregel ist streng konvex, wenn der Entscheider X risikoavers und Y risikoneutral ist. Zielkonflikte treten bei linearen und konkaven Teilungsregeln auf.

Sind die Entscheider beide risikoavers, so ist die anreizkompatible Teilungsregel linear, wenn die Inversen der Nutzenfunktionen voneinander positiv linear abhängen. Bei heterogenen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände sowie zustandsabhängigen Nutzenfunktionen sind anreizkompatible Teilungsregeln immer zustandsabhängig, vorrausgesetzt der eintretende Zustand ist vorhersehbar.

Eine zustandsabhängige Teilungsregel kann nicht gleichzeitig pareto-effizient und anreizkompatibel sein.

Eine zustandsunabhängige Teilungregel, die linear und anreizkompatibel ist, teilt das Risiko auch pareto-effizient. Ist sie umgekehrt linear und pareto-effizient, so ist sie auch anreizkompatibel. Ist eine Teilungsregel zustandsunabhängig, aber nicht linear, so kann sie jedoch nicht pareto-effizient als auch anreizkompatibel sein.Eine anreizkompatible Teilungsregel kann nur linear und pareto-effizient sein, wenn beide Entscheider risikoneutral sind.