Regressionsanalyse

Page 1

Statistik A - Internationales Management 1

4. Regressions- und Korrelationsanalyse

Betrachtung von Zusammenhängen, also von Ursache

Regression: Besteht überhaupt ein Zusammenhang (positiv oder negativ)? Korrelation: Wie stark ist der Zusammenhang?

Problem: Quantifizierung des kausalen Zusammenhangs (Differenzierung von Variablen)

Bsp. 1:

Bsp. 2:

Modell: I = f(x) = f(Z, G, N)

Problem der Multikolliniarität, d.h. keine Abhängigkeit unter den unabhängigen Variablen sollte gegeben sein

a) einfache Regression: y = f(x)

b) multiple Regression: y = f(x 1 , x 2 , x 3 , … x n )

c) partielle Regression: y = f(x 1 | x 2 , x 3 , x 4 )

Einfaches lineares Regressionsmodell

y i = a + bx i

U1

U0

Page 2

Statistik A - Internationales Management 2

Empirische Regressionsfunktion 15.11.00

Beispiel: Einkommen = y, Alter = x

a

Die Summe der Abweichungen (von der Geraden) muß gleich 0 sein d i = Abweichung; a = absolutes Glied; b = Steigung

Verteilung über jedem Alter = interne Streuung gesamte Verteilung = externe Streuung

Berechnung der Regressionsgeraden

Page 3

Statistik A - Internationales Management 3

Regressionsgerade:

Bsp.: 6 Personen werden zu ihrem Alter und ihrem Einkommen befragt:

4500

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Arbeitstabelle zur Berechnung der Regressionskoeffizienten

− = 〈 − = − =

a 4) a bestimmen

Int.: Nimmt das Alter um 1 Jahr zu, steigt das ∅-liche Nettoeinkommen um ∅-lich 107,10 Bei einem Alter von 0 Jahren hat man Schulden von 1.606 DM !?, also gibt der a-Wert keinen Sinn

Page 4

Statistik A - Internationales Management 4

Die Regressionsfunktion lautet: y = -1.606 + 107,1x

für die Zeichnung:

P (29 | 1500) als ( x y - Punkt)

2. Beispiel: Eine Firma hat ein neues Reinigungsmittel entwickelt. Bevor es auf

Zielgröße: Absatzquote in % = y

Instrumentvariable: Verkaufspreis / Packung = x

Absatzquote = f (Verkaufspreis)

Gesucht ist, wie stark der Verkaufspreis die Absatzquote beeinflusst!

Arbeitstabelle zur Berechnung der Regressionskoeffizienten

5) Die Regressionsgerade/-funktion lautet: y = 117,38 - 0,34264x

Page 5

Statistik A - Internationales Management 5

4.2 Der Korrelationskoeffizient

Frage: Wie "stark" ist der Zusammenhang zwischen den beobachteten Variablen ausgeprägt? Also die Intensität des Zusammenhangs?

Diesen Zusammenhang drückt der Korrelationskoeffizient r aus

0 ≤ r ≤ +1 bzw. -1 ≤ r ≤ 0 mit den verschiedenen Möglichkeiten:

Page 6

Statistik A - Internationales Management 6

Zwei Streuungen (Abweichungen) sind zu betrachten:

1) interne Streuung (in der vertikalen Richtung), sollte möglichst klein sein 2) externe Streuung (in der horizontalen Richtung), möglichst groß

Page 7

Statistik A - Internationales Management 7

4.2.1 Bravair - Pearson´scher Korrelationskoeffizient

Bsp.: Arbeitstabelle zur Berechnung der Regressions-/Korrelationskoeffizienten

Bestimmungsmaß: ist ein relatives Maß für die Güte der Analyse. Es mißt die

2. Beispiel: vergl. Tabelle "Reinigungsmittel"

Frage:

Page 8

Statistik A - Internationales Management 8

Arbeitstabelle

n

=

r

Interpretation: 82% der Absatzquote sind durch den Preis erklärt. Zwischen der

Rangkorrelation:

Page 9

Statistik A - Internationales Management 9

Gegeben sind die Rangzahlen R (x i ) = x i * und R (y i ) = x i *

der Beobachtungen und die Rangdifferenzen d i = x i * - y i *, so gilt:

Page 10

Statistik A - Internationales Management 10

Arbeitstabelle zur Berechnung der Rangkorrelationskoeffizienten

Page 11

Statistik A - Internationales Management 11

5 Analyse von Zeitreihen

Zeitreihenanalyse a) Querschnittsanalyse b) Längsschnittanalyse

zu a)

zu b)

Modell:

Definition Zeitreihen: Unter einer Zeitreihe versteht man die Entwicklung eines bestimmten Merkmals, dessen Werte im Zeitablauf zu bestimmten Zeitpunkten erfaßt und dargestellt werden.

Komponenten einer Zeitreihe: y = f (T, Z, S, R)

1) Trend (T), langfristig

2) Konjunktur (Z), mittelfristig 3) saisonale Einflüsse (S), kurzfristig 4) Restkomponente (R), zufällig

Für bestimmte Zwecke werden nur die Trendkomponente und die Saisonkomponente erfaßt und berechnet. S(t) und R(t) werden aus dem Vergleich der Daten ermittelt.

Page 1

Statistik A - Internationales Management 12

Die additive Verknüpfung der Komponenten

y = T(t) + Z(t) + S(t) + R(t)

Die multiplikative Verknüpfung der Komponenten

y = T(t) • Z(t) • S(t) • R(t)

5.2 Berechnung der Trendgeraden

1) Die Methode der gleitenden Durchschnitte

mathematisches Ausgleichsverfahren, das alle Schwankungen der Zeitreihe ausschaltet

Berechnung nach Formel:

+ + + + + +

T

Page 2

Statistik A - Internationales Management 13

Beispiel: Der Umsatz entwickelte sich in den letzten 9 Jahren wie folgt:

Graphische Darstellung

7

6

5

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

Nachteile:

1) Die ersten und letzten beiden Jahre der Zeitreihe werden in der Trendkomponente nicht berücksichtigt (= Informationsverlust) 2) eine völlige Ausschaltung der Schwankungen ist nicht möglich 3) Da die Trendwerte schon vor dem Ende der Zeitreihe abbrechen ist die Methode für Prognosezwecke ungünstig

Page 3

Statistik A - Internationales Management 14

2) Die Methode der kleinsten Quadrate (vergl. Seite 2, Regressionsgerade)

Beispiel: Umsatzzahlen, quartalsweise

1) Berechnung der Trendfunktion T = a + bt T = y, t = x

T 1 = 1. Quartal des 1. Jahres, T 2 = 2. Quartal des 1. Jahres,…

〈 〈 − 〈

=

b

Arbeitstabelle

Page 4

Statistik A - Internationales Management 15

Berechnung der Umsatztrendwerte (vergl. Tabelle S. 14 in rot)

mit I / 1996

II / 1996

II / 2000 x = 18 Trendwert = 201,4836 +(18 * 3,2941) = 260,77

Erstellen von Trendprognosen

III / 2000 x = 19

IV / 2000 x = 20

IV / 2001 x = 24 Trendwert = 201,4836 +(24 * 3,2941) = 280,542

(ist nur der Trend ohne Saisonkomponente)

Page 5

Statistik A - Internationales Management 16

Die Ermittlung des Saisoneinfluß

Der Saisonindex (Saisonquotient, ist die prozentuale Abweichung der ursprünglichen,

saisonbeeinflussten Werte einer Reihe von der saisonal unbeeinflussten Reihe)

Berechnungsschritte: 1) Ermittlung einer Vergleichsreihe

Reihe der Ursprungswerte

2) Vergleich von saisonbeeinflusster Zeitreihe (Ursprungszeitreihe) und saisonfreier Zeitreihe (Trendwerte)

=

S

ij

vergl. Arbeitstabelle (in blau)

Saisonindex (S 1,1 ) = 168 / 204,77

Saisonindex (S 2,1 ) = 210 / 208,07

Saisonindex (S 3,1 ) = 190 / 211,366 = 0,8989

Saisonindex (S 4,1 ) = 298 / 214,66

Interpretation (S 1 ):Der tatsächlich eingetretene Wert (Ursprungswert) ist

gegenüber dem saisonfreien Trendwert um 18% (1-0,82) abgeschwächt, d.h. im 1. Quartal 1996 liegt ein saison-schwächender Einfluß mit einer Wirkung von 18% vor.

oder: Wenn es keine saisonalen Schwankungen gegeben hätte, wäre der Umsatz in diesem Quartal um 21,89% höher gewesen (verminderte Basis von 0,82 !)

Interpretation (S 4 ):Im 4. Quartal 1996 liegt ein saisonverstärkender Einfluß von

ca. 39% vor

oder: Wenn keine saisonalen Einflüsse zur Wirkung gekommen wären, hätte der Umsatz im 4 Quartal 1996 um ____ % niedriger gelegen

Page 6

Statistik A - Internationales Management 17

3) Ermittlung des Saisoneinfluß

+ + + +

=

S I

bedeutet: im Durchschnitt wurde der Umsatz in den ersten Quartalen saisonbedingt jeweils um 20% gemindert + + + +

=

S II

+ + +

=

S III

=

S IV

1,5

1,4 1,3

1,2

1,1 1

0,9 0,8

0,7

Page 7

Statistik A - Internationales Management 18

Prognose über die Entwicklung des Umsatzes

Der erwartete Umsatz y ˆ (y Dach = Schätzwerte) setzt sich aus den beiden

Komponenten "Trend" und "Saisoneinfluß" zusammen.

= Trendwert (Trendfunktion) • Saisoneinfluß (im Durchschnitt) y ˆ

6) Bsp.: Quartalsumsätze