Häufigkeitsverteilung

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Statistik A - Internationales Management 1

Das statistische Material wird nur für Das statistische Material wurde

eine statistische Untersuchung erhoben. Nachteil: hoher Kosten/Zeitaufwand

Vorteil: entspricht der Zielsetzung

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Statistik A - Internationales Management 2

2. Eindimensionale empirische Häufigkeitsverteilung

Die Zuordnung von Häufigkeiten zu den Merkmalsausprägungen

2.1 ... qualitative Merkmale

Beispiel: Private Haushalte im Landkreis Fulda, strukturiert nach ihrer sozialen Stellung (in Tsd)

a) Häufigkeitstabelle

b) Häufigkeitsverteilung

c) graphische Darstellung

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Statistik A - Internationales Management 3

2.2 ... diskrete Merkmale

Beispiel: Größe der untersuchten Haushalte im Landkreis Fulda,

gemessen an der Personenanzahl (in Tsd)

a) Häufigkeitstabelle

c) Verteilungsfunktion = akkumulierte relative Häufigkeiten

d) graphische Darstellung

hi 0,4

0,3

0,2

0,1

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Statistik A - Internationales Management 4

2.3 ... stetige Merkmale 16.10.00

Voraussetzung: Klassenbildung

Kriterien:

a) möglichst gleich große Klassen bilden

b) Anzahl der Klassen unter 15, K <= 15

c) Der häufigste Wert sollte in der Klassenmitte liegen

d) Die Klassen müssen disjunkt sein (genau zuzuordnen)

z.B.: K1 = 800 bis 1000 (800 < x < 1000) und K2 = (1000 < x < 1200) ist nicht disjunkt, da der Wert 1000 nicht zuzuordnen ist (nur wenn <=)

Probleme: Die Verteilung der Merkmale innerhalb einer Klasse ist unbekannt (= Annahme: Gleichverteilung) oder die Klassen sind evtl. vorgegeben.

Häufigkeitstabelle:

z.B.: Monate, Nettoeinkommen der Ehefrauen

x u x o i ♦ i ♦ ergrenze Klassenunt rgrenze Klassenobe

Interpretation:

zur Häufigkeitsverteilung: 10,2% aller befragten Ehefrauen hatten zum Zeitpunkt der Erhebung ein monatliches Nettoeinkommen zwischen 600 DM und 800 DM. (Wert 0,102 bei h i in der 2. Klassen)

zur Verteilungsfunktion: 49% aller befragten Ehefrauen hatten ein monatliches Nettoeinkommen von unter 1200 DM.

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Statistik A - Internationales Management 5

Graphische Darstellung 16.10.00

Die Häufigkeitsverteilung quantitativ-stetiger Merkmale sind als Histogramm dargestellt.

^f(x i ⁾ n

Histogramm eine offene Klasse muß

^f(x i )

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Statistik A - Internationales Management 6

Berechnung von Anteilen für Werte innerhalb einer Klasse 16.10.00

z.B.: Berechnen Sie den Anteil der Ehefrauen mit einem monatlichen Nettoeinkommen zwischen 880 DM und 1300 DM. h i (880 <= x <= 1300) = ?

F(x)

F(x ui)

Wert 880; 1. Klasse zwischen 800 und 1.000

Wert 1.300; 2. Klasse zwischen 1.200 und 1.500

Rechenweg: Einfallsklasse suchen (1.300 fällt in "1.200 bis 1.500 DM") ⁱ = 1.200 ist der untere Wert der Einfallsklasse x u

Klassenbreite ist 300 (1.500 ./. 1.200) h i aus der Einfallsklasse übernehmen

2) F

3) Differenz = 0,2512 h (880 <= x < 1300) = 0,545 ./. 0,2938 = 0,2512

d.h. 25,12% aller untersuchten Ehefrauen haben ein Nettoeinkommen unter 1.300 DM, aber über 880 DM.

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Statistik A - Internationales Management 7

3 Berechnung statistischer Merkmale 17.10.00

3.1 Mittelwerte

3.1.1 Der Modus

Der Modus (Mo, D) ist der häufigste, bzw. dichteste Wert einer Häufigkeitsverteilung.

a) bei quantitativ diskreten Merkmalen

b) bei quantitativ stetigen Merkmalen

Modus durch Dichtefunktion bestimmen

Der Modus ist die Klassenmitte der Klasse mit der Klassenmitte.

Bei den Ehefrauen: 1.100 ist der Modus, da dichtester Wert in der Klasse von 1.000 bis 1.200. Mittelwert ist 1.100.

Frage nach dem Modus z.B.: Wieviel verdienen die meisten Frauen?

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Statistik A - Internationales Management 8

3.1.2 Der Median (Me, Z)

Der Median ist der Merkmalswert, der in einer der Größe nach geordneten Reihe genau in der Mitte liegt.

Der Median bezeichnet man auch als den 50%-Punkt (Zentralwert)

z.B.: Vorgabezeiten für einen Akkordlohn

d.h. 50% der Arbeiter haben unter 3,4 min benötigt und 50% der Arbeiter

haben über 3,4 min benötigt. Nach der Ordnungsformel:

ist der 6. Wert (nach Ordnung) der Median-Wert

bei klassierten Merkmalswerten

z.B.: Nettoeinkommen der Ehefrauen

Z = Berechnung über die lineare Interpolation

(x = Z)

Bestimmung von x: Hier:

0,50 = fester Wert für 50%, 0,49 = Wert aus der darunterliegenden Klasse 0,165 = Wert aus der Einfallsklasse (hier zw. 0,49 und 0,655), 1.200 = Klassenuntergrenze, 300 = Klassenbreite (1.500 ./. 1.200)

Interpretation: 50% der befragten Ehefrauen haben ein monatliches Nettoeinkommen über bzw. unter 1.218,18 DM

Übung: 67% = ?

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Statistik A - Internationales Management 9

3.1.3 Das arithmetische Mittel ( x )

a) ungewogener Fall:

b) Gewogener Fall:

Bei der monatlichen Abrechnung der im Akkordlöhner einer Baustelle wurden folgende DM-Beträge in 10 Klassen an die Mitarbeiter ausbezahlt:

^* kann mit Hilfe der relativen Der mutmaßliche Fehler durch x i

Fehlerspanne ermittelt werden. = 7,76% fehlen in %

Berechnung der absoluten Fehlerspanne:

Berechnung der relativen Fehlerspanne:

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Statistik A - Internationales Management 10

Die Relation zwischen den Mittelwerten ergibt Aufschluß über die

a) linkssteile Verteilung

b) rechtssteile Verteilung

c) Symmetrische

3.1.4 Das geometrische Mittel (G)

Das geometrische Mittel wird benutzt, um steigende oder fallende Entwicklungstendenzen zu charakterisieren, d.h. es geht um die Ermittlung der durchschnittlichen relativen Veränderung der Merkmale im Zeitablauf

G

z.B.: Die Montageleistung eines Maschinenbaubetriebes beträgt:

1996: 1800 Stück

1997: 1854 Stück 1998: 1947 Stück

a) Wie groß ist die durchschnittliche jährliche Zuwachsrate?

Die jährliche Zuwachsrate beträgt 4,505%, die Wachstumsrate ist 1,045 Die 1,xxx zeigt eine steigende Entwicklung (im Gegensatz zu 0,xxx)

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Aufgabe: Welche Montageleistung kann im Jahre 2001 und im Jahre 2002

Interpretation: Unter der Annahme gleicher Arbeitsbedingungen ist im Jahr 2001 eine Montageleistung von 2.244 Stück zu erwarten. Im Jahr 2002 ist unter gleicher Annahme eine Montageleistung von 2.345 Stück zu erwarten.

Nachteile: Ist ein Wert negativ oder 0 ist eine Rechnung nicht mehr möglich.

Man muß ein arithmetisches Mittel berechnen.

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Statistik A - Internationales Management 12

3.2 Streuungsparameter

Abweichungen von einem Mittelwert

3 Verteilungskurven mit (scheinbar) gleichem Mittelwert ( x )

z.B.: 1. Klausur-Auswertung: 1

Lösung: Streuungsmaß errechnen!

Spannweite (R): Die Spannweite einer Verteilung ist die Differenz zwischen dem größten (x n ) und dem kleinsten (x 1 ) vorhandenen Merkmalswert in der Grundgesamtheit.

R = x n - x 1

z.B.: Preislagen von T-Shirts:

R = 49,80 ./. 16,50 = 33,30 DM

Interpretation: Die Preisspanne bei T-Shirts beträgt 33,30 DM.

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Statistik A - Internationales Management 13

3.2.1 Der Quartilsdispersionskoeffizient (4-teilige Streuung)

Der Quartilsabstand (Quartilsabweichung) mißt den halben Abstand

Die ersten und die letzen 25% fallen aus der Berechnung heraus (um z.B. Extremwerte zu vermeiden). Der Zentralwert (Median, Z) ist vorab zu ermitteln.

Vorgehensweise bei z.B. Preislagen der T-Shirts

1.) Berechnung der Maßzahlen Z, Q 1 und Q 3

= Z

= Q

1

= Q

3

2.) Berechnung des mittleren Quartilsabstandes

Q A

3.) Berechnung des Quartilsdispersionskoeffizienten

V

Q

Interpretation: Die durchschnittliche Abweichung der Preise für T-Shirts im mittleren Bereich beträgt 28,07%

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Statistik A - Internationales Management 14

Quartilsdispersionskoeffizient bei klassierten Merkmalen

z.B. monatliches Nettoeinkommen der Ehefrauen

1.) Median (Z) ermitteln (hier: 1.218,18 DM)

Ermittlung von Q 1 und Q 3

Q

1

Q

3

2.) mittleren Quartalsabstand ermitteln:

3.) Quartilsdispersionskoeffizient ermitteln:

Interpretation: Die durchschnittliche Abweichung der Monatsnetto-

einkommen der Ehefrauen vom Median beträgt im mittleren Bereich 38,52%, d.h. die monatlichen Nettoeinkommen weichen um durchschnittlich 469,23 DM vom Median (1.218,18 DM) ab.

Schiefe der Verteilung:

Q Z > 1 = rechtssteile Verteilung

Q Z < 1 = linkssteile Verteilung

Q Z = 1 = Symmetrische Verteilung

hier: 0,786, d.h. linkssteile Verteilung.

Die meisten Einkommen liegen im unteren Bereich

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Statistik A - Internationales Management 15

3.2.2 Die Varianz und die Standardabweichung

Bedingungen: Die Varianz bezieht sich auf alle Merkmalswerte

Bemessungsgrundlage für die Berechnung der prozentualen Abweichung

ist das arithmetische Mittel ( x ).

Die Varianz ist ein sehr empfindliches Streuungsmaß (anzuwenden bei nicht zu extremen Abweichungen)

1) ungewogener Fall:

2) gewogener Fall:

(gewichtet mit den Häufigkeiten)

3) klassierter Fall:

(es liegen Klassen vor; die Klassenmitte muß ermittelt werden)

Tabelle 7 30.10.00

Arbeitstabelle zur Berechnung der Streuung der durchschnittlichen Leistungen

der Arbeiter einer Firma.

Frage: Wie groß ist die durchschnittliche Abweichung der Arbeitsleistungen der Beschäftigten (AN) der Firma?

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Statistik A - Internationales Management 16

Beispiel:

In einer Erhebung wurde der Durchschnittspreis für 1 kg Butter mit 7,90 DM, bzw. für 1 kg Margarine mit 2,70 DM festgestellt. Die Standardabweichung wurde mit 0,3 für Butter und mit 0,25 für Margarine errechnet.

Vergleichen Sie die beiden Verteilungen der Merkmale!

= v

B

Bei Vergleichen werden die Variationskoeffizienten herangezogen.

s

=

=

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Statistik A - Internationales Management 17

Die Konzentrationskurve 31.10.00

Abweichung in der Gleichverteilung für jede Klasse

z.B. 10% der Ehefrauen liegen in der 1. Klasse. Diese haben 2% Anteil am Gesamteinkommen (= ungleichmäßige Konzentration)

Man betrachtet für jede Klasse die Differenz d i zwischen der beobachteten

Merkmalssumme einer Klasse und der Merkmalssumme der Gleichverteilung.

: 0 d untere Einkommensklassen sind unterrepräsentiert

i

obere Einkommenklassen sind stärker in der Verteilung begünstigt d : 0

i

~ =

: 0 d Gleichverteilung liegt vor

i

Beispiel: Einkommen der Ehefrauen

14,5% der Ehefrauen haben einen Anteil am gesamten Einkommen (aller Klassen) von nur 3,6%. Es liegt eine ungleichmäßige Verteilung vor.

Interpretation 5. Spalte:

Der Anteil der Netto-EK der 1. Klasse gemessen am Gesamt-EK aller Klassen beträgt 3,6% Interpretation 6. Spalte: Die 1. Klasse bekommt 10,9% (monatl. Netto-EK) zuwenig gemessen

an der Gleichverteilung ( x )

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Statistik A - Internationales Management 18

Graphische Darstellung (Lorenzkurve)

Interpretation: auf 49% aller Ehefrauen, die ein monatl. Einkommen unter 1.200

DM haben, entfallen nur 23% des Gesamteinkommens aller Ehefrauen.

Gini´sches Konzentrationsverhältnis

α =

α α ≤ ≤ ? − Satz ozent 1 0 Pr α α ? = ? = ion Konzentrat ge vollständi eilung Gleichvert ge vollständi 1 0

Anmerkung: Alpha ist dann nicht aussagefähig, wenn sich zwei Lorenzkurven schneiden

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Statistik A - Internationales Management 19

3.3 Indexzahlen

Meßzahl: Beschreibung der Entwicklung eines einzigen Merkmals

Indexzahl: Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung der durchschnittlichen

Typische Fragestellungen lauten:

- Wie hat sich das Lohnniveau in Osthessen seit 1990 entwickelt?

- Wie stark haben sich die Preise der Lebenshaltung seit 1990 entwickelt?

Mit der Indizierung sind folgende Probleme verbunden: 13.11.00

1) Vereinfachung der komplexen Fragestellung, z.B. Index der landwirtschaftslichen Produktion.

2) Gewichtungsproblem, d.h. beim Mengenproblem sind die Preise die Gewichte, beim Preisproblem sind die Mengen die Gewichte. 3) Wahl des Basisjahres, z.B. Entwicklung der Produktionsergebnisse zweier Maschinenfabriken:

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3.3.1 Indexe nach Laspeyres

Allgemeine Erläuterung: Beim Laspeyres-Index sind die Umsatzwerte der Basisperiode die Gewichte. Symbolschreibweise:

p oi = Preis des Gutes i in der Basisperiode 0

p ni = Preis des Gutes i in der Berichtsperiode n

q oi = Menge des Gutes i in der Basisperiode 0

q ni = Menge des Gutes i in der Berichtsperiode n

p oi * q oi = Umsatz des Gutes i in der Basisperiode 0

p ni * q ni = Umsatz des Gutes i in der Berichtsperiode n

1) Mengenindex

Q

0 L

2) Preisindex

P

0 L

Beispiel: Ein Händler, der 4 Warengattungen führt, möchte wissen, wie sich das Preisniveau (PN) und die Mengen im Laufe der letzten 3 Jahre verändert haben.

a) Mengenindex für den Zeitraum 1997 bis 1999 (1997 = 100)

Interpretation:

Die abgesetzte Menge stieg im Zeitraum von 1997 bis 1999 um 12,5%

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Statistik A - Internationales Management 21

b) Preisindex für den Zeitraum 1997 bis 1999 (1997 = 100)

P

99 , 97 L

Interpretation:

Das Preisniveau (PN) stieg im Zeitraum von 1997 bis 1999 um 7,6%

Indexreihen nach Laspeyres:

Vorteil: Gewichte müssen nur einmal bestimmt werden, es ist eine direkte Vergleichbarkeit aller Zahen der Indexreihe möglich

Nachteil: Es wird angenommen, dass sich die Umsätze gegenüber dem Basisjahr nicht geändert haben, was unrealistisch ist.

Index nach Paasche

Die Gewichte bilden die Preise bzw. Mengen des Berichtsjahres (dadurch reale, aktuelle Werte). Der Index berücksichtigt somit die veränderten Konsumgewohnheiten.

a) Mengenindex

Q

, 0 n P

b) Preisindex

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Statistik A - Internationales Management 22

Beispiel: Ein Händler, der 4 Warengattungen führt, möchte wissen, wie sich das

Preisniveau (PN) und die Mengen im Laufe der letzten 3 Jahre verändert haben.

Beispiel: Paasche-Index 1997 bis 1999, Basis 1999 = 100

P Q a) , 0 n

⁼ b) P

, 0 n P

Eigenschaften des Paasche-Index:

Vorteil: Der Index gibt die Situation wieder, die zum gegenwärtigen Zeitpunkt besteht (ist damit realitätsnah und aktuell)

Nachteil: in jedem Jahr müssen die Preise und Mengen neu ermittelt werden (damit hoher Arbeits- und Kostenaufwand). Die Indexzahlen können nicht als durchlaufende Reihe dargestellt werden - ein direkter Vergleich ist nicht möglich.

3.3.3 Umsatzindex

U

, 0

Umsatzindex = + 21,3%

ergibt sich ungefähr aus: P Q 97/99 = + 12,7% + P P 97/99 = + 7,8%

3.3.4 Index der industriellen Nettoproduktion

Die Berechnung beruht auf dem Index nach Laspeyres

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Beispiel: Berechnung des Nettoproduktionsindex für die Stahlindustrie anhand

repräsentativ ausgewählter Erzeugnisse (in 1000 t)

3.3.5 Besondere Indexprobleme

1) Umbasierung von Indexzahlen

Index per Dreisatz gleichsetzen (beim Gleichsetzten von Indexreihen)

2) Verknüpfung von Indexzahlen Beispiel: Verkaufspreise

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3) Verkettung von Indexzahlen Beispiel: Basisjahränderung alle 5 Jahre

4) Preisbereinigung

Ziel ist die Berechnung von Realgrößen, z.B. Reallohn, Realeinkommen, reales BIP, reales Wachstum,...

Feststellung des Kaufkraftverlustes: Kaufkraft = 1/P * 100, P = L P 0,n

Wie stark war der Kaufkraftverlust gegenüber 1995 bei einer PNsteigerung in diesem Zeitraum von 12%?

100 / 112 = 0,893 = Verlust von ca. 11 Pfennigen auf 1 DM

Interpretation: Die Mark ist nur noch 89,3 Pfennig wert!

Preisbereinigter Umsatz

=

Interpretation:

Der Absatz (mengenmäßiger Umsatzanstieg) ist um 12,7% gestiegen.