Mittelwerte: Statistische und geometrische Betrachtung

I. Bedeutung der Mittelwerte in der Mathematik

II. Statistische Betrachtung und Vergleich der einzelnen Mittelwerte
1.Arithmetisches Mittel
2.Geometrisches Mittel
3.Median
4.Modus
5.Harmonisches Mittel
6.Vergleich der Mittelwerte

III. Geometrische Betrachtung einzelner Mittelwerte

IV. Bewertung der Mittelwerte

I. Bedeutung der Mittelwerte in der Mathematik

Mittelwerte sind dem mathematischen Gebiet der Statistik untergeordnet. Die statistische Mittelwerte sind Maßzahlen, die eine Massenerscheinung in einer mittleren Größe charakterisieren. Sie stellen das Allgemeine, Typische, Durchschnittliche dar. Mittelwert ist die Bezeichnung für einen Wert x, den man n vorgegebenen Werten x1, x2, ..., xn nach einer bestimmten Vorschrift zuordnet und der zwischen dem größten und dem kleinsten dieser Werte liegt. Dabei kann man zwischen den verschiedenen Mittelwerten je nach Gebrauch unterscheiden.

II. Statistische Betrachtung der Mittelwerte

1.Arithmetisches Mittel

a)Einfaches arithmetisches Mittel

Auch wenn man sich nie mit Statistik beschäftigt hat kennt man doch den sogenannten „Durchschnittswert“ und meint damit das arithmetisches Mittel. Diesen Wert erhält man, indem man die Summe der Merkmalswerte berechnet und diesen Wert durch die Anzahl der Werte dividiert. Es balanciert die Merkmalswerte gerade aus.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gesamtheit der Ausprägung einer mindestens intervallskalierten Variablen wird am „besten" durch den Wert repräsentiert, bei dem sich die Summe der gerichteten Abweichungen (mit Vorzeichen) nach oben und nach unten in der Gesamtheit gegenseitig ausgleichen. Das liegt daran, dass jeder andere Wert die Ausprägungen der Variable in der Gesamtheit entweder systematisch über- oder unterschätzen würde. Das arithmetische Mittel ist der Wert, der „den Wert der Person A ungefähr richtig wiedergibt" und große Schätzfehler vermeidet. Dieser Mittelwert hat den Nachteil, dass der jeweilige ermittelte Wert nie tatsächlich zu tragen kommen muß. Dieses Verfahren verwendet man zum Beispiel zur Ermittlung der Schulnoten:

Angenommen man will seine Gesamtnote, die man ins Zeugnis bekommt, errechnen, wobei alle Punkte gleich zu Gewichten sind.

Dabei liegen folgende Punktzahlen vor:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Arithmetisches Mittel =(5+7+6+6+3+9+4+5+6+4)/10=5,5

Demnach würde der Schüler auf 5,5 stehen und deshalb sechs Punkte ins Zeugnis bekommen.

b)Gewogenes arithmetisches Mittel

Immer wenn eine Häufigkeitstabelle vorliegt kann man das arithmetische Mittel direkt aus der Tabelle ermitteln.

Man ermittelt die Summe der Merkmalswerte dadurch, dass man von den zehn Werten die sechs verschiedenen Ausprägungen mit ihren jeweiligen Häufigkeiten multipliziert und dann addiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man ermittelte die Summe der Merkmalswerte dadurch, dass man von den zehn Werten die sechs verschiedenen Ausprägungen mit ihren jeweiligen Häufigkeiten multipliziert und dann miteinander addiert hat.

Daraus erkennt man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Allgemein gilt entsprechend, wenn man die Anzahl der in dem Beispiel

vorkommenden verschiedenen Ausprägungen mit m bezeichnet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dann ist natürlich auch für das arithmetische Mittel folgende Gleichung erfüllt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man nennt den auf der rechten Seite der Gleichung stehenden Ausdruck gewogenes arithmetisches Mittel, weil die m Ausprägung x1, x2,..., xm mit den relativen Häufigkeiten nj/n gewogen, wie man auch aus der Formel ablesen kann:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn man ohnehin schon die Häufigkeiten ermittelt hat, braucht man sie zur Berechnung des arithmetischen Mittels lediglich mit den Ausprägungen zu multiplizieren und diese Produkte zu addieren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Die Vorteile des arithmetischen Mittels sind, dass es einfach zu ermitteln ist, alle Werte beteiligt sind, es vielseitig anzuwenden ist und man kann von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen. Die Nachteile dagegen sind, dass es bei einem großen n einen großen Rechenaufwand gibt und jede Änderung eines Einzelwertes zu einer Änderung des Mittelwertes führt.

An dem "Notenbeispiel" erkennt man gut, wann man das arithmetische Mittel anwenden kann und muss. Doch nicht alle Situationen in der Mathematik sind so einfach mit dem arithmetischen Mittel zu lösen:

Beispiel:

Ein Kapital von 1000 DM ist in Wertpapieren angelegt. Im ersten Jahr erhöht sich das Kapital überhaupt nicht, im zweiten Jahr erhöht es sich um 10% und im dritten Jahr um 20%. Der Wert der Wertpapiere entwickelte sich wie folgt:

Wert am Ende des 1.Jahres: 1000 DM

Wert am Ende des 2.Jahres: 1000 DM+10%*1000 DM=1100 DM

Wert am Ende des 3.Jahres: 1000 DM+20%*1100 DM=1320 DM

Wenn man diese Beispiel mit der Formel des arithmetischen Mittels nachrechnet erhält man jedoch X=0%+10%+20%/3=10%

Wert am Ende des 1.Jahres: 1000 DM+10%*1000 DM=1100 DM

Wert am Ende des 2.Jahres: 1000 DM+10%*1100 DM=1210 DM

Wert am Ende des 3.Jahres: 1000 DM+10%*1210 DM=1331 DM

ein anderes Ergebnis.

Fazit: Immer dann, wenn es um die Berechnung durchschnittlicher Wachstumsraten geht versagt das arithmetische Mittel.

2.Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel wird verwendet, wenn Beobachtungswerte einer Statistik durch Multiplikation verknüpft werden können, zum Beispiel bei der Berechnung von durchschnittlichen Wachstumsraten:

In dem oben genannten Beispiel wächst das Kapital von 1000 DM in drei Jahren auf 1320 DM so an:

1000*(1+0%)(1+10%)(1+20%)=1320 DM

Wenn man jetzt die durchschnittliche Wachstumsrate mit w bezeichnet und die Summe ein wenig umformt ergibt sich folgendes:

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Betrachtet man sich den Quotienten 1320/1000=1,32 (I) genauer, so erkennt man den Wachstumsfaktor, den man mit dem Anfangsbetrag multiplizieren muß, um das Endkapital zu erreichen. Diesen Wert erhält man auch, indem man die einzelnen Wachstumsfaktoren miteinander multipliziert:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Wenn man die Wachstumsraten mit w1, w2,...,wn bezeichnet ergibt sich aus diesem Gleichungskomplex die allgemeine Formel für die durchschnittliche Wachstumsrate: w= nà(1+w1)+(1+w2)+...+(1+wn) -1

Man bezeichnet 1+w auch als geometrisches Mittel der n Wachstumsfaktoren (1+w1), (1+w2),..., (1+wn), denn für n beliebige Beobachtungswerte x1, x2,...,xn ist das geometrische Mittel definiert als nàx1*x2*...*xi...*xn (für xS0). Nun kann man die für das Beispiel durchschnittliche Wachstumsrate errechnen: w=³á(1,00*1,10*1,20)-1=1,0914-1=0,0914

Das heißt die durchschnittliche Wachstumsrate ist 9,14%, also etwas kleiner, als die mit dem arithmetischen errechneten 10%.

3. Median

Der Zentralwert, auch Median genannt, wird so bestimmt: Man ordnet die Beobachtungswerte der Größe nach (das Merkmal muß also mindestens eine Ordinalskala besitzen) und ermittelt dann den „mittleren Wert“. Ist die Anzahl der Beobachtungswerte ungerade, steht der mittlere Wert an der Stelle (n+1)/2. Bei gerader Anzahl gibt es zwei mittlere Werte, nämlich an den Stellen n/2 und n/2+1. Aus diesen beiden Beobachtungswerten ist dann das arithmetische Mittel zu bilden. Der Median ist der Wert, oberhalb und unterhalb dessen jeweils die gleiche Anzahl von Werten liegt. Er halbiert die Stichprobe.

Mindestens 50% der Merkmalswerte sind damit kleiner gleich und mindestens 50% größer als der Zentralwert.

Für die Zahlenreihe aus dem letzten Abschnitt sieht das so aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Median: 5,5 Punkte

Die beiden mittleren Werte sind „5“ und „6“, das arithmetische Mittel daraus und damit der Zentralwert ist also die Punktzahl „5,5“.

Den Vorteil des Median erkennt man bei betracht eines anderen Beispiels, eine Reihe von 11 Einkommens werten:

450, 500, 500, 600, 600, 650, 700, 720, 750, 750, 2250

Obwohl das Merkmal „Einkommen“ eine metrische Skala besitzt, charakterisiert das arithmetische Mittel dieser Reihe sehr schlecht. Aufgrund des extremen Wertes 2250 erhält man nämlich : X=770.

Zehn der elf Beobachtungswerte sind aber kleiner als 770. Dagegen wird der Zentralwert Z durch den extrem hohen Einkommenswert nicht beeinflusst: Z=650.

Immer dann, wenn bei Merkmalen metrischer Skala Extremwerte eine statistische Beobachtungsreihe beeinflussen, ist der Zentralwert dem arithmetischen Mittel vorzuziehen.

„Wird der Median als Schätzung des Wertes einer Person A verwendet, können große Fehler mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten wie kleine Fehler." (Bortz 1993 S. 37)

Beim Vergleich des Medians mit dem arithmetischen Mittels erkennt man einige Vorteile auf Seiten des Median. Zum einen verläßt der Median fast niemals seine Ausgangsmenge (nur wenn n ungerade ist und die zur Berechnung benötigten Werte unterschiedlich sind). Ein anderer Vorteil des Medians ist, dass er robust gegen Ausreißer ist. Der dritte und für Schüler wohl überzeugendste Vorteil ist die sehr einfache Ermittelbarkeit des Zentralwertes. Der Nachteil des Medians ist, dass man keinen Schluß der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen kann.

Anwendung im praktischen Leben findet der Zentralwert bei einer kleiner Anzahl von Werten oder bei stark asymmetrischen Verteilungen

4.Modus

Der Modus ist der Wert, der in einer Verteilung am häufigsten vorkommt. Man ermittelt über die Häufigkeitstabelle den Wert, der am häufigsten aufgetreten ist, der also am häufigsten gemessen wurde. Falls bei so einer Tabelle jedoch mehr als ein Wert der Häufigste ist gibt es keinen Modus.

„Üblicherweise spricht man von einem Modalwert nur bei solchen Verteilungen, die tatsächlich einen Gipfel im Sinne eines Maximums besitzen (links und rechts von diesem Maximum muß der Verlauf wieder abfallen). Handelt es sich eindeutig um ansteigende oder abfallende Verteilungen, bei denen eine der beiden Randkategorien maximale Häufigkeiten aufweist, ist die Angabe eines Modalwertes nicht üblich." (Bortz 1993 S. 37)

Als Beispiel kann man wieder das schon beim arithmetischen Mittel verwendeten Notenbeispiel benutzen:

Dort hatten ein Schüler die Notenpunkte 5,7,6,6,3,9,4,5,6,4

Man erkennt dabei schnell und einfach, dass die sechs dreimal, und damit am häufigsten, vorkommt.

Also wäre der Modalwert = 6

Man kann sagen, am besten repräsentiert ist die Gesamtheit der Werte durch den Wert, der am häufigsten vorkommt. Denn wenn man den Modus als Schätzung verwendet, würde man sich am seltensten irren. Deshalb verwendet man den Modus immer dann, wenn "mehrgipflige" Verteilungen vorliegen oder zur Charakterisierung der Symmetrieeigenschaften einer Verteilung.

5.Harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel findet Anwendung, wenn Mittelwerte von Quotienten gebildet werden müssen. Ein typisches Beispiel ist die Mittelung von Geschwindigkeiten, das heißt von Quotienten der Formel Weg/Zeit, wenn die Wegstrecke bekannt ist. Das harmonische Mittel wird mit der Formel X= n/(1/x1+1/x2+...+1/xn) definiert.

Am folgenden Beispiel erkennt man die Notwendigkeit des harmonischen Mittels im Bezug auf die anderen Mittelwerte:

"Ein LKW fährt eine vier Kilometer lange Strecke. Die Strecke wird in vier Teilstrecken aufgeteilt, in denen man jeweils die Geschwindigkeiten des Wagens

mißt. Nun will man aus den vier Teildurchschnittsgeschwindigkeiten die

Gesamtdurchschnittsgeschwindigkeit errechnen."

Zur Verdeutlichung stellt man eine Tabelle auf :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nun stellt man sich die Frage, mit welcher konstanten Geschwindigkeit der LKW- Fahrer die Strecke in der gleichen Zeit schaffen würde. Probeweise wendet man hier an dieser Stelle die bis jetzt bekannten Mittelwerte an und vergleicht die Ergebnisse:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vergleicht man das tatsächliche Ergebnis mit den oben errechneten Ergebnisse der verschiedenen Mittelwerte so erkennt man, dass in diesem Beispiel das harmonische Mittel am besten zu gebrauchen ist.

6.Vergleich der Mittelwerte

Doch aus der oben erstellten Ergebnistabelle erkennt man eine weitere Eigenschaft der Mittelwerte zueinander. Insbesondere das Verhältnis zwischen arithmetischen-, geometrischen- und harmonischen Mittel ist genauer definiert:

harmonisches MittelRgeometrisches MittelRarithmetisches Mittel Also:

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Um die Formel übersichtlich zu beweisen gilt ab sofort n=2.

Zuerst schauen wir uns das Verhältnis zwischen dem arithmetischen- und geometrischen Mittel an:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jetzt betrachtet man das Verhältnis zwischen geometrischen- und harmonischen Mittel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

IV. Bewertung der Mittelwerte

In dieser Facharbeit wurden zwar nicht alle (zum Beispiel das quadratische Mittel), aber doch wohl die wichtigsten Mittelwerte beschrieben, analysiert und gegeneinander abgewogen. Man kann sagen jeder dieser Mittelwerte hat seine Vorteile, aber auch damit verbundene Nachteile. Es gibt einfach keinen perfekten Mittelwert, der in jeder Situation, in der Mathematik oder im reellen Leben, anwendbar und richtig ist. Doch aufgrund dieser Fülle von verschiedenen Mittelwertkonstruktionen wird man nie in Probleme kommen den Mittelwert einer Aufgabe zu errechnen, dafür haben die "großen" Männer der Mathematik schon gesorgt.

Literaturverzeichnis:

- Bortz, Jürgen: Statistik. Für Sozialwissenschaftler; 4.,vollst. überarb. Auflage; Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Budapest: Springer 1993.

- Barth, Friedrich; Krumbacher, Gert; Matschiner, Elisabeth; Ossiander, Konrad: Anschauliche Geometrie 3, Ehrenwirth Verlag 1988.

"Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe" ..., den