Systematisierung der quadratischen Funktionen

Systematisierung der quadratischen Funktionen

1 . Definition der quadratischen Funktion:

Jede Funktion mit der Funktionsgleichung :

y = f(x) = ax² + bx +c (a, b, c R ; a 0) heißt quadratische Funktion.

( ax ist quadratisches Glied ; bx ist lineares Glied ; c ist absolutes Glied)

Das linear Glied und das absolute Glied können 0 betragen, also heißt eine Funktion quadratische Funktion wenn mindestens das quadratische Glied in der Funktionsgleichung vorkommt.

2. Der Graph der quadratischen Funktion:

Er heißt Parabel und ist immer eine Kurve mit :

-1. Scheitelpunkt

( er ist stets der höchste oder tiefste Punkt der Parabel; Schreibweise: S ( x-Wert ; y-Wert ) )

-2. Achse der Parabel

-3. Parabelast

2.1 Allgemeine Eigenschaften der Parabel :

Das quadratische Glied ( ax²) in der Funktionsgleichung ist entscheidend für den Kurvenverlauf der Parabel.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, wenn das a im quadratischen Glied größer als Null ist. Die Parabel ist nach unten geöffnet, wenn das a im quadratischen Glied kleiner als Null ist.

a) |a| = 1 , dann ist der Graph eine Normalparabel. ( wie er auf der Parabelschablone ist)
b) |a| > 1 , dann ist der Graph eine gestreckte Parabel.
c) |a| < 1 , dann ist der Graph eine gestauchte Parabel.

3. Die Normalform

Die Funktionsgleichung y = x² + px + q ist die Normalform der quadratischen Funktionen. Durch umformen dieser Funktionsgleichung kann man sie in die Scheitelpunktsform bringen. Die Formel zur Berechnung der Scheitelpunkskoordinaten aus der Normalform lautet:

s (- (p / 2) (ist x - Wert) , - (p² / 4 ) + q (ist y - Wert )

3.1 Die Diskriminante

Sie unterscheidet die Parabeln in die mit zwei Nullstellen, die mit einer Nullstelle und die mit keiner Nullstelle.

Der umgekehrte Wer t der Diskriminant e ist auch der y - Wert von dem Scheitelpunkt der Parabel. Die Formel lautet:

D= (p² / 4) - q

Ist D>0, so hat die Par abel zwei Nullstellen.

Ist D=0, so hat die Parabel eine Nullstelle.

Ist D< 0, so hat die Parabel keine Nullstelle.

3.2 Die allgemeinen Eigenschaften von y = x² + px + q (Normalform)

a) Bezüglich des Definitionsbereiches (Db) und des Wertebereiches (Wb) :

Db: x Element von R ( immer, denn bei allen Funktionen wird grundsätzlich jedem x ein y zugeordnet) Wb: y Element von R, y [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] -D ( also ist y [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] dem y - Wert des Scheitelpunktes derb Parabel)

b) Bezüglich des Graphs:

Er ist immer eine Normalparabel da immer x² in der Funktionsgleichung vorkommt. ( Die Formel zur Berechnung der Scheitelpunktskoordinaten steht bei 3. )

c) Bezüglich der Monotonie des Graphen:

Der Graph fällt bis zum x -Wert des Scheitelpunktes.

( also x < -(p/2), dann ist der Monoton fallend)

Der Graph steigt nach dem x - Wert des Scheitelpunktes wieder an.

( also x > - (p/2), dann ist der Monoton steigend)

d) Bezüglich der Symmetrie des Graphen:

Die Achse der Parabel ist immer parallel zur y - Achse und sie verläuft immer durch den x - Wert des Scheitelpunktes.

Also verläuft die Achse der Parabel immer durch x = - (p/2)

3.3 Beispiel

Die allgemeinen Eigenschaften der Normalform angewendet auf die Gleichung: y = x² + 2x - 4

Db: x R

Wb: y R, y [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] -5 Scheitelpunkt: S ( -1 , -5 )

Monotonie des Graphen: monoton fallend bis x < -1

monoton steigend bis x > -1 Symmetrie des Graphen: Achse der Parabel parallel zur y-Achse

Achse der Parabel verläuft durch x = -1

4. Sonderfälle:

a) Die Form der quadratischen Funktion y = x² :

Diese Form ist die einfachste denn der Scheitelpunkt der Parabel ist stets der Koordinatenursprung, also S ( 0 ; 0 )

b) Die Form der quadratischen Funktion y = x² + e:

e verschiebt den Scheitelpunkt der Parabel dieser Funktion auf der y-Achse, d. h. S ( 0 ; e )

c) Die Form der quadratischen Funktion y = ( x + d )²:

d verschiebt den Scheitelpunkt der Parabel dieser Funktion auf der x-Achse d. h. S ( -d ; 0 )

d) Die Form der quadratischen Funktion y = ( x + d)² + e (Scheitelpunktsform) :

die Scheitelpunktskoordinaten setzten sich aus dem umgekehrten Wert von d, für den x-Wert , und dem Wert e, für den y-Wert, zusammen, d. h. S ( -d ; e )