Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

W1 Wahrscheinlichkeitsrechnung – Grundlagen

Zufallsversuche

Experimente oder Vorgänge, deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist, nennt man Zufallsversuche. Die möglichen Ergebnisse eines solchen Experiments werden in der Mathematik auch Ausfälle genannt. Alle Ausfälle zusammen bilden die Grundmenge des Zufallsversuches.

Beispiel: Ein Würfel wird geworfen. Es können die Ausfälle 1, 2, 3, 4, 5

oder 6 vorkommen.

Also ist die Grundmenge G={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Teilmengen von der Grundmenge heißen Ereignisse.

Beispiel: Beim Spielbeginn von „Mensch ärgere dich nicht“ interessiert man sich dafür, ob eine 6 fällt oder nicht.

Man will also wissen , ob die gewürfelte Zahl zur Menge

E 1 ={1, 2, 3, 4, 5} oder zur Menge E 2 ={6} gehört.

Häufigkeiten

Bei einem Zufallsversuch weiß man in der Regel nicht, wie oft ein bestimmter Ausfall vorkommt. Um darüber Aufschluss zu bekommen, bestimmt man in vielen Versuchen die relative Häufigkeit des Ausfalls.

Beispiel: Jemand überquert jeden Morgen auf dem Schulweg eine Kreuzung mit Ampel und will wissen, wie oft diese Rot zeigt, wenn er sie passiert. Er führt eine Liste, in der er 60 Tage lang einträgt, ob die Ampel auf Rot oder auf Grün steht.

Sein Ergebnis: 37mal Rot und 23mal Grün.

Er werte die Liste aus indem er die Anzahl der Tage, an denen die Ampel Rot war (=absolute Häufigkeit), durch die Anzahl der gemachten Versuche teilt. So erhält er die relative Häufigkeit.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das entspricht in diesem Fall

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Und nun kann man sagen: An etwa 62% aller Tage steht die Ampel auf Rot.

Wahrscheinlichkeit

- eines Ausfalls

Die relative Häufigkeit eines Ausfalls bei einem Zufallsversuch nähert sich immer an einen bestimmten Wert an, wenn das Experiment oft genug durchgeführt wird. Also liegt es nahe, diesen Wert als die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls zu bezeichnen.

Beispiel: Beim 200maligen werfen einer Reißzwecke stellt man fest,

dass sie 70mal in der Lage „ „ liegen bleibt. Nach 500 Wür- fen ist sie 162mal so liegengeblieben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Reißzwecke in der Lage „ „ liegen bleibt, ist ½.

Man meint damit, dass die Reißzwecke auch in Zukunft bei

z.B. 30 Würfen in ca. ½ ´ 30 = 10 Fällen so liegt.

- eines Ereignisses

Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten, da entweder alle Ausfälle eines Zufallsversuches gleichwahrscheinlich sein können oder auch nicht.

Beim Würfeln mit einem Würfel trifft jeder mögliche Ausfall, also 1, 2, 3, 4, 5 oder 6, mit einer Wahrscheinlichkeit von ¼ ein, also sind alle Ausfälle gleichwahrscheinlich.

Es wird nun mit einem roten und einem weißen Würfel gewürfelt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man eine Augenzahl von 5?

Es gibt insgesamt 36 gleichwahrscheinliche Möglichkeiten, wie zwei verschiedenfarbige Würfel fallen können. Die Fälle, bei denen die Augensumme 5 ist, sind

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