Die Entwicklung kombinatorischer Fähigkeiten in der Grundschule (Mathematik Klasse 3)

Thema der Unterrichtseinheit

So viele Möglichkeiten – Aber wie viele verschiedene?

Eine Unterrichtseinheit zur Entwicklung kombinatorischer Fähigkeiten anhand alltagsbezogener Aufgabenstellungen und deren enaktiven, ikonischen und symbolischen Erschließung.

Schwerpunktziele der Unterrichtseinheit

Am Ende der Unterrichtseinheit sollen die Schülerinnen und Schüler¹ die Anzahl der Möglichkeiten sowohl ein- als auch mehrstufiger kombinatorischer Aufgaben bestimmen und ihre Denkprozesse und Vorgehensweisen dem individuellen Leistungsvermögen entsprechend darlegen können (vgl. Lehrplan 2008: 66), indem sie auf das in der Einheit aufgebaute Repertoire an Werkzeugen zurückgreifen und zwischen einem handelnden, zeichnerischen und symbolischen Zugang zu dem kombinatorischen Sachverhalt der Aufgabe wechseln.

Aufbau der Unterrichtseinheit

1. Sequenz: Welche Möglichkeiten gibt es? (3 Stunden)

Verschiedene Möglichkeiten ein- und zweistufiger kombinatorischer Aufgaben durch zunehmend systematisches Ausprobieren bestimmen und diese zeichnerisch festhalten (Stufe 1 und 2).²

2. Sequenz: Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es? (2 Stunden)

Sammeln von Vermutungen hinsichtlich der möglichen Anzahl an Kombinationen und deren Überprüfung. Aufgreifen und Anbahnen einer symbolischen Auseinandersetzung durch das Erarbeiten und Erstellen eines Baumdiagramms zu verschiedenen ein- bis zweistufigen kombinatorischen Aufgaben (Stufe 3 und 4).

3. Sequenz: Have it your way! – Unsere Pizzastation (3 Stunden)

Selbständige Bearbeitung einer mehrstufigen, individualisierten und fächerübergreifenden Abschlussaufgabe zum Thema Pizzabelag und der anschließenden Präsentation der gewählten Vorgehensweisen (Stufe 3, 4 und 5).

Thema der Unterrichtsstunde

Have it your way! – Unsere Pizzastation

Bearbeitung einer mehrstufigen kombinatorischen Aufgabe zum Thema Pizzabelag hervorgehend aus einer von den Schüler:innen im Englischunterricht geplanten und im Kunstunterricht aufgegriffenen Geburtstagsfeier mithilfe geeigneter, die Darstellungsebenen ansprechenden, Hilfsmittel.

Ziel der Unterrichtsstunde

Die Schüler:innen sollen ihre, in der Unterrichteinheit aufgebauten, kombinatorischen Fähigkeiten festigen, indem sie die Kombinationsmöglichkeiten ihrer ausgewählten Pizzabeläge herausfinden und deren Anzahl bestimmen (vgl. Lehrplan 2008: 66), wofür sie, auf Grundlage der in den vorangegangenen Stunden gewonnenen Einsichten und Erfahrungen, eigenständig die für sie relevanten Hilfsmittel heranziehen und sich damit handelnd, zeichnerisch und symbolisch mit der Aufgabe auseinandersetzen.

Didaktisch-methodischer Schwerpunkt und Begründungszusammenhang

Ein Kombinatorikunterricht ist zugleich auch ein Problemlöseunterricht, bei welchem es darum geht, alltagsbezogene Situationen exemplarisch zu bearbeiten und für deren mathematisches Problem geeignete Lösungsstrategien zu entwickeln (vgl. Kipman 2019: 124). Als Teilbereich der Stochastik befasst sich die Kombinatorik mit Situationen, denen die Probleme: „Welche Möglichkeiten gibt es, Elemente einer endlichen Menge nach bestimmten Bedingungen anzuordnen oder auszuwählen?“ und „Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür insgesamt?“ zugrunde liegen (ebd.). Zur Lösung dieser Probleme werden ökonomische Zählstrategien herangezogen, mit welchen eine bereits vorhandene Struktur genutzt oder eine andere adäquate Strukturierung vorgenommen werden kann (vgl. Aigner 2006: 12). Als besonders zielführend erweist sich hierbei ein systematisches Vorgehen, welches durch das Erkennen von Mustern und dem Erschließen von Zusammenhängen begünstigt wird (vgl. Ulm 2010: 6). Diese auch im Lehrplan für die Grundschule verankerten Kompetenzen gelten wiederum als fundamental für die Erschließung weiterer Teilbereiche der Stochastik, bei denen u. a. funktionales Denken erforderlich ist, das nicht, wie zumeist angenommen, erst mit der Einführung des Funktionsterms an den weiterführenden Schulen beginnt, sondern schon in der Grundschule (vgl. Bicker & Maitzer 2019: 21). Kombinatorische Fragestellungen bieten, thematisiert in der Grundschule, sogar eine ganze Reihe von Möglichkeiten, über spielerische Handlungen Lösungsstrategien und mathematische Beziehungen herzuleiten und damit eine tragfähige Basis für die Entwicklung des Funktionsbegriffs zu schaffen (vgl. ebd.). Die Thematisierung kombinatorischer Problemstellungen leistet demnach einen wertvollen Beitrag, Kinder frühzeitig für Zusammenhänge zu sensibilisieren, mit dessen Hilfe zentrale Grundideen angeeignet und die Einsicht in mathematische Strukturen begünstigt werden können (vgl. ebd.).

Um dieses Potential kombinatorischer Aufgaben allen Kindern zugänglich zu machen, ist in der Einheit So viele Möglichkeiten – Aber wie viele verschiedene? Wert daraufgelegt worden, Situationen aufzugreifen, die allen Schüler:innen in irgendeiner Weise, ob passiv beobachtet oder aktiv miterlebt, aus ihrer Erfahrungswelt bekannt sind. Alltagssituationen eröffnen, auch wenn sie nicht intendiert sind, mathematische Lerngelegenheiten, an welche das schulische Lernen anknüpfen sollte, um aus den informellen und kontextgebundenen Vorkenntnissen der Kinder Lösungsstrategien entwickeln zu können, die sich sukzessive von der Kontextgebundenheit lösen und dadurch zunehmend abstrakter sowie generalisierbarer werden (vgl. Schipper & Merschmeyer-Brüwer 2014: 484). Das Aufgreifen der kindlichen Vorerfahrungen ermöglicht somit einen natürlichen wie auch fließenden Übergang zwischen den verschiedenen Ebenen, auf denen, Bruners (1974) sog. EIS-Prinzip zufolge, Wissen angeeignet wird. Mathematische Sachverhalte sollten möglichst auf allen drei Ebenen des Prinzips erfasst werden können bzw. sollte im Hinblick auf die Schule das zu verwendende Unterrichtsmaterial so aufbereitet werden, dass der Sachverhalt enaktiv, ikonisch und symbolisch ergründet werden kann (vgl. Köhnlein 2014: 512). Das bedeutet, dass mathematische Zusammenhänge durch das Handeln mit verschiedenen Gegenständen veranschaulicht, anhand von Abbildungen bzw. Zeichnungen der Gegenstände verbildlicht und mithilfe von Symbolen errechnet bzw. begründet werden sollen, wobei Symbole gleichermaßen Zeichen, Schrift und Sprache umfassen (vgl. ebd.). Die Ebenen stellen dabei zwar eine Entwicklungshierarchie der allgemeinen Wissensaneignung dar, jedoch handelt es sich dabei nicht um voneinander isolierte und in sich abgeschlossene Entwicklungsstufen, welche die jeweils vorangegangenen ablösen (vgl. Berger 2017: 17f). Die Wissensverarbeitung auf der jeweiligen Ebene verweist vielmehr auf ein fortschreitendes Abstraktionsniveau, wobei „die abstrakteren Niveaus nur dann sicher beherrscht werden, wenn sie zu jeder Zeit vom Individuum in ein elementares Niveau rekodiert werden können“ (ebd.). Für den Unterricht ergibt sich hieraus die Konsequenz, den Kindern zunächst verschiedene Vorgehensweisen zeigen und ihnen zu einem Repertoire an Werkzeugen verhelfen zu müssen, aus welchem sie, je nach mathematischem Sachverhalt und individuellem Leistungsvermögen, beliebig wählen und wechseln können. Aus diesem Grund sind die Problemstellungen der ersten zwei Unterrichtssequenzen schrittweise und unter Anleitung auf allen Darstellungsebenen bearbeitet worden, um in der abschließenden dritten Sequenz der Einheit zwar weiterhin Impulse und Bearbeitungshilfen für die Wissensverarbeitung auf allen Ebenen anzubieten, den Schüler:innen aber die Möglichkeit zu gewähren, sich für eine für sie relevante und zielführende Darstellungsebene bzw. eine Kombination aus mehreren Darstellungsebenen entscheiden zu können.

Den Einstieg in die Einheit bildete das die Erfahrungswelt aufgreifende Färben von Ostereiern und die von der LAA geschilderte Problemstellung, mit den gefärbten Eiern möglichst viele unterschiedliche Nester zusammenstellen zu wollen. Es folgten Aufgaben zum Verzieren von Hasenplätzchen und das Bestellen von Eiskugeln, bei denen immer das Ausprobieren und Finden von verschiedenen Möglichkeiten im Vordergrund standen, das von der LAA angeleitet auch zunehmend systematisch erfolgte. Daraufhin wurde anhand des derzeitigen Regenwetters die zweite Unterrichtssequenz eingeleitet und die für das Wetter passenden Kleidungsmöglichkeiten thematisiert. Die von den Kindern gefundenen Möglichkeiten wurden miteinander verglichen, um auf die richtige Anzahl an verschiedenen Möglichkeiten zu schließen. Nachdem erkannt worden war, dass dies ein sehr langwieriges und fehleranfälliges Unterfangen ist, wurde das Baumdiagramm als weitere Überprüfungsmöglichkeit aufgezeigt und erläutert. Nachdem gemeinsam ein Baumdiagramm erstellt worden ist, durften die Kinder die einzelnen Kleidungsstücke in einem mit den Pfaden vorgegebenen Baumdiagramm entsprechend der Kombinationsmöglichkeiten anmalen. Dieses Vorgehen wurde bei der nächsten Problemstellung Belegen eines Burgers vertieft und um den Aspekt des Beachtens der Reihenfolge erweitert. Die Wahl fiel dabei auf speziell diese Problemstellung, weil sie bei einer im Rahmen des Englischunterrichts stattgefundenen Planung der individuellen Geburtstagsfeier auftauchte, bei der das Essen und damit auch Lebensmittel wie Burger und Pizza eine Rolle spielten. Wie anfangs geschildert wurde, soll in der vorliegenden Einheit die Lebenswirklichkeit der Kinder im Vordergrund stehen und so sinnstiftendes Lernen ermöglicht werden (vgl. Krepf 2019: 23). Die Schwierigkeit des sinnstiftenden Lernens besteht allerdings darin, dass die zu Beginn noch authentisch wirkende Problemstellung „häufig zu Gunsten des Stoffes aus den Augen verloren wird“ (Herbst 2000: 4). Das Anknüpfen an die im Englischunterricht von den Kindern vorgebrachten Inhalte soll dies nicht nur verhindern, sondern auch dazu führen, dass das Fachwissen der Kombinatorik fortdauernd mit den persönlichen und lebensbezüglichen Kontexten der Schüler:innen verwoben ist, denn „Fachwissen allein macht noch keine Bildung aus. Erst die Fähigkeit, fachliche Denkweisen zu problematisieren und generalisieren, bringt Bildung mit sich“ (Herbst 2000: 6). Ausgangspunkt für die letzte Unterrichtssequenz bildet daher das von den Kindern ebenfalls häufig gewählte Geburtstagsessen, Pizza, welches in die Idee eingebettet wurde, den Geburtstagsgästen unter dem Motto Have it your way! das Zusammenstellen einer Pizza nach eigenem Belieben an einer sog. Pizzastation zu ermöglichen. Hierzu wurde im Englischunterricht eine Einkaufsliste mit selbstgewählten Belagmöglichkeiten verfasst, welche dann mit der eines Partners bzw. der einer Partnerin abgeglichen wurde, um gemeinsam im Kunstunterricht ein Plakat, die Menükarte, als attraktive Veranschaulichung der bei der Pizzastation erhältlichen Pizzasorten herzustellen. Die Partnerarbeit wurde dadurch hergeleitet, dass eine zweite Meinung eine Ideenbereicherung für die Auswahl der Beläge darstellen kann, da es beim Geburtstagsessen schließlich nicht nur darum ginge, den eigenen Geschmack zu treffen. In erster Linie bietet die Partnerarbeit allerdings Unterstützung bei der im Mathematikunterricht angesiedelten Erweiterung der Menükarte. Die Aufgabe der Kinder ist es nämlich, die verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten der ausgewählten Pizzabeläge herauszufinden und als Anzahl und/oder veranschaulichende Bilder der Zusammenstellungen auf dem Plakat anzuführen und wurde den Kindern an Beispielen aus bekannten Geschäften sowie anhand eines von der LAA erstellten Plakats verdeutlicht (Anhang 2). Die dritte Unterrichtssequenz, in die auch die heutige Unterrichtsstunde gebettet ist, beinhaltet demnach sowohl fächerübergreifendes als auch projektorientiertes Lernen, welches zwar als besonders nachhaltiges und wirksames Lernen gilt (vgl. Gudjons 2014: 394f), coronabedingt jedoch seit über einem Jahr nur in geringem Maße bis gar nicht angeboten werden konnte. Auch, wenn die sonst fächerübergreifendes Lernen initiierenden schulischen Veranstaltungen wie die Projektwochen, Zahngesundheit oder aber auch das Schwimm- und Radfahrtraining nicht mehr stattfinden konnten, bleibt es dennoch die Aufgabe der Grundschule, die Fähigkeiten, Interessen und Neigungen der Kinder in fächerübergreifenden Projekten zu fördern, worauf an mehreren Stellen des Lehrplans hingewiesen wird (s. Lehrplan 2008: 13, 19, 66, 75). Vor diesem Hintergrund soll Have it your way! – Unsere Pizzastation eine für die aktuelle Zeit angemessene Alternative darstellen, bei welcher unterschiedliche Fächer ihren Beitrag zur Bewältigung der Aufgabe leisten können (vgl. Lehrplan 2008: 13). Die Rahmung der Geburtstagsfeier soll dabei nicht nur einen plausiblen und greifbaren Grund für die Auseinandersetzung mit dem kombinatorischen Sachverhalt des Pizzabelegens liefern, sondern auch die Motivation der Kinder anregen und ihnen, besonders im Hinblick auf den vorherigen Distanzunterricht, wieder das gemeinsame Arbeiten und die Freude am Unterricht in Präsenz näherbringen.

Die zu zeigende Unterrichtsstunde stellt die zweite Stunde dieser Sequenz dar und wird in der Klasse 3 der Grundschule durchgeführt, welche aufgrund der coronabedingten Umstände zuletzt im Dezember in voller Klassenstärke unterrichtet werden konnte. Danach folgten zunächst einmal wöchentliche Zoomzeiten, Wechselunterricht mit einer von der LAA erteilten Mathestunde in der Woche, dann wieder Zoomzeiten im Distanzunterricht und seit einer Woche wieder Wechselunterricht. Die Klasse setzt sich aus 14 Mädchen und 10 Jun­gen zusammen und zeichnet sich durch ihr positives Sozialverhalten und die überwiegend vor­handene Leistungsbereitschaft aus. Das Leistungsniveau kann bezogen auf das Fach Mathematik als sehr heterogen beschrieben werden und zeigt sich vor allem bei dem Lösen von Sachsituationen. Während die meisten Schüler:innen noch große Unsicherheiten aufweisen und viele Hilfestel­lungen benötigen³, können andere Schüler:innen mühelos wesentliche Informationen abstra­hieren und diese mit adäquaten Rechenoperationen verknüpfen.⁴ Zudem können sich einige Schüler:innen bisher nur im Zahlenraum bis 100 sicher orientieren⁵, wodurch ihnen die Bearbeitung von Sachaufgaben zusätzlich erschwert wird. Diese Leistungsschere steht in einem unmittelbaren Zusammenhang mit einem unterschiedlichen Arbeitstempo der Schüler:innen, sodass bei der Bearbeitung von ein und derselben Aufgabe große Zeitunterschiede zu erwarten sind. Hinsichtlich der Teilnahme der Schüler:innen am Unterrichtsgeschehen ist zu vermerken, dass die meisten Schüler:innen sich regelmäßig und aktiv beteiligen. In der 3b ist jedoch auf Schüler:innen zu achten, die u. a. aufgrund von Förderschwerpunkten und sozial auffälligem Verhalten je nach Gefühlslage das Bearbeiten bestimmter Aufgabenformate oder die Zusam­menarbeit mit bestimmten Personen ablehnen, und danach schwer für das Weiterarbeiten zu motivieren sind.⁶ In besonderem Maße muss auch auf Schüler:innen geachtet werden, die schnell das Interesse bzw. den Fokus verlieren und sich stumm dem Unterrichtsgeschehen ent­ziehen.⁷ Anhand der Beschreibung der Schüler:innen wird deutlich, dass bereits die Themenwahl Kombinatorik die unterschiedlichen Leistungsvermögen auffangen und hochgradig motivierend auf die Kinder wirken kann, da weder das Verstehen einer Sachsituation noch das Rechnen mit Rechenoperationen, mit denen sie eventuell schon negative Erfahrungen verbinden, zwingend notwendig ist, um die kombinatorischen Fragestellungen zu beantworten. Schwierigkeiten bei Sachaufgaben liegen nämlich häufig darin begründet, dass den Kindern die Fähigkeit zur Übersetzung der einzelnen Repräsentationsformen fehlt und somit kein Repräsentationswechsel stattfinden kann, durch welchen eine Rechnung und ein Sachverhalt miteinander vernetzt werden könnten (vgl. Lorenz 2014: 503). Das handelnde Lernen in und an lebensnahen Problemen, wie in der vorliegenden Unterrichtseinheit, vermag es jedoch, den Aufbau genau solcher Netzwerke im Gehirn zu fördern, indem vielfältige Bezüge des mathematischen Sachverhalts herausgestellt werden (vgl. Gudjons 2014: 395). Auch den unterschiedlichen Lernvoraussetzungen können durch die adäquate Umsetzung des Kombinatorikunterrichts angemessen begegnet werden, wie im Folgenden anhand der einzelnen Unterrichtsphasen ver­deutlicht werden soll.

[...]

¹ Im Folgenden wird für eine geschlechterneutrale Schreibweise der Genderdoppelpunkt verwendet.

² Zur Einordnung der Aufgabenanforderungen wird das Kompetenzstufenmodell nach Meyer et al. (2003) genutzt, welches in Anhang 1 kurz erläutert ist.

³ Hierzu gehören vor allem Si., Al., Ar., Nik., Ra., M-J, L-M, Ya., aber auch Mi., Rr., Fa., An., Zu.

⁴ Hierzu gehören vor allem Jo., So., Th., Ou., Ko., Ma.

⁵ Hierzu gehören Ra., Nik., Ar.

⁶ Hierzu gehören Ou., Ra., So. und Nik.

⁷ Hierzu gehören Al., Ko., Si., Le. und So.