Nichtparametrische Dichteschätzung

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung
1.1 Inhalt und Struktur der Seminararbeit
1.2 Nichtparametrische Methoden in der Statistik
1.3 Die Bedeutung der nichtparametrischen Dichteschätzung

2. Histogramme
2.1 Konstruktion und Herleitung
2.2 Eigenschaften von Histogrammen
2.3 WARPing
2.4 Vom Histogramm zum Kerndichteschätzer

3. Kerndichteschätzer
3.1 Konstruktion
3.2 Arten von Kernfunktionen
3.3 Einfluss der Bandbreite
3.4 Verfahren zur Bandbreitenwahl
3.4.1 Fehlermaße für die Dichteschätzung
3.4.2 Einfache Verfahren
3.4.3 Kreuzvalidierung
3.4.4 Andere Methoden
3.4.5 Beurteilung der Verfahren
3.5 Variable Kerndichteschätzer

4. Andere Verfahren zur Dichteschätzung

5. Anwendungen und Ausblick

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1. Einleitung

1.1 Inhalt und Struktur dieser Arbeit

Diese Arbeit hat zum Ziel einem Leser mit Grundkenntnissen der Statistik einen Überblick über die wichtigsten Methoden der nichtparametrischen Dichteschätzung zu geben. Es werden verschiedene Glättungsverfahren für die Schätzung von Dichtefunktionen erläutert. Dabei wird vor allem auf eine klare, übersichtliche und verständnisfördernde Darstellung Wert gelegt. Es wird versucht die Verwendung von mathematischen Formeln auf das Nötigste zu begrenzen. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf Histogrammschätzern und Kerndichteschätzern und die damit verbundene Problematik der Bandbreitenwahl. Andere Verfahren der Dichteschätzung sowie Anwendungen werden nur am Rande behandelt. Es wird nicht auf die Dichteschätzung im mehrdimensionalen Bereich eingegangen.

In der Einleitung wird zuerst eine Abgrenzung von parametrischen und nichtparametrischen Methoden in der Statistik vorgenommen und deren Vorund Nachteile diskutiert. Dann wird auf die Bedeutung der nichtparametrischen Dichteschätzung im Speziellen eingegangen. Im zweiten Kapitel wird das Histogramm als einfachste Form der Dichteschätzung behandelt. Es wird die Herleitung und Konstruktion des Histogramms beschrieben sowie der Einfluss der zwei Parameter Ursprung und Klassenbreite erläutert. Anschließend wird über eine Erweiterung des Histogramms zu den Kerndichteschätzern im dritten Kapitel übergeleitet. Dieses befasst sich neben der Konstruktion von Kerndichteschätzern mit den Einflüssen der Kernfunktion sowie der Bandbreite. Das Hauptaugenmerk wird dann auf die Wahl der Bandbreite gelegt. Dazu werden geeignete Optimalitätskriterien diskutiert und im Anschluss gängige Verfahren der Bandbreitenwahl erläutert. Es wird auch noch kurz auf Kerndichteschätzer mit variabler Bandbreite eingegangen. Im vierten Kapitel werden andere Verfahren der Kerndichteschätzung angeschnitten, die aber nicht ausführlich behandelt werden. Kapitel fünf gibt noch einmal einen Überblick und Ausblick über mögliche Anwendungen der Dichteschätzung.

1.2 Nichtparametrische Methoden in der Statistik

Eines der Grundprobleme der inferentiellen Statistik ist die Bestimmung der Verteilung einer gegebenen Zufallsvariable. Empirisch werden zu diesem Zweck in der Regel parametrische Modelle benutzt, in welchen die Verteilung der Zufallsvariable durch eine endlich-dimensionale Menge numerischer Parameter ausgedrückt wird. Dabei wird gefordert, dass diese Parametrisierung stetig und differenzierbar sei. Die Unterstellung einer Zufallsverteilung auf diese Weise hat den Vorteil der einfachen Berechnung und Interpretierbarkeit der Parameter.

Problematisch ist allerdings, dass auch schon geringe Verletzungen der Annahme der Verteilung die Aussagekräftigkeit der Modelle einschränken können. Dies kann insbesondere bei Anwendungen zu großen Problemen führen.

Nichtparametrische Modelle hingegen treffen keine Annahmen über die Verteilungen von Daten. Sie gehen von den Daten an sich aus und lassen diese für sich selbst sprechen. Dadurch werden die Modelle flexibler und eine Misspezifikation des Modells wird vermieden. Der nichtparametrische Ansatz eignet sich deshalb auch besonders für Ökonomische Modelle, in denen Verteilungen normalerweise nicht zwingend festgelegt sind.

1.3 Die Bedeutung der nichtparametrischen Dichteschätzung

Im folgenden wird davon ausgegangen, dass eine Zufallsstichprobe X 1, ..., X n aus einer stetigen Verteilung X gegeben sei, deren unbekannte Dichte ¦ geschätzt werden soll. Das Ziel der Dichteschätzung ist es hierbei die Struktur der Daten wie Modalität, Symmetrie oder Schiefe zu beurteilen, als Grundlage für die Formulierung von parametrischen Modellen zu dienen oder aber die Anwendung in komplexeren statistischen Verfahren wie der Regression, der Diskriminanzanalyse oder der Clusteranalyse auf die in Kapitel 5 noch kurz eingegangen wird (vgl. Thadewald, 1998, S. III).

2. Histogramme

2.1 Konstruktion und Herleitung

Der einfachste und älteste Dichteschätzer ist das Histogramm. Nach Bohley (1991, S. 90) ist „Ein Histogramm (ist) die graphische Darstellung einer nach einem quantitativ-stetigen Merkmal gegliederten Tabelle“. Thadewald (1998, S.1) definiert das Histogramm als „die Darstellung der Häufigkeiten klassierter Daten einer stetigen Zufallsvariablen.“ Die Idee der Histogrammdarstellung ist die Zerlegung des Variationsintervalls [X min , ... , X max ] der Daten X = (X 1 , ... , X n ) in k disjunkte, aneinander angrenzende Teilintervalle, auch Klassen oder Bins genannt. Die Daten werden also diskretisiert. Es wird im folgenden der Einfachheit halber davon ausgegangen dass diese Klassen jeweils die selbe Klassenbreite (Binweite) h besitzen. Formal kann man das Histogramm am Dichteschätzer folgendermaßen schreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei ist I i(x) eine Indikatorfunktion, die den Wert 1 annimmt, wenn x in der i - ten Klasse liegt und sonst den Wert 0.

Grafisch wird nichts anderes gemacht als für jede Beobachtung ein Block mit der Fläche 1/n und der Breite h auf der Klassenmitte gestapelt, in der die Beobachtung fällt (vgl. Abbildung 1). Die Kreuze an der Abszisse der Schaubilder in Abbildung 1 stellen die Beobachtungen dar. Die Fläche der Rechtecke der einzelnen Klassen, die sich als die Summe der Flächen der übereinandergestapelten Blöcke ergeben, repräsentieren dann die Klassenhäufigkeit (vgl. Schaich, 1990, S.17).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2 Eigenschaften von Histogrammen

Histogramme hängen von der Wahl zweier Parameter ab: Der Klassenbreite h und dem Ursprung x 0. Je kleiner die Klassenbreite gewählt wird umso größer ist der Einfluss der einzelnen Beobachtung auf die Glätte der geschätzten Dichtefunktion (vgl. Abbildung 2).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten