Die Zahl e in der Mathematik

Inhalt:

1. Was für eine Zahl iste

2. Grenzwert

3. Funktionen mite

4. Wachstums- und Zerfallsprozesse

5. Quellen

Was für eine Zahl iste

Die Geschichte voneumfasst nur etwa vier Jahrhunderte. Die historischen Wurzeln vonesind nicht klar umrissen. Sie scheinen ins sechzehnte Jahrhundert zurückzugehen, als man zum ersten Mal bemerkte, dass der in der Formeln für den Zinseszins auftretende Ausdruck (1 + 1/n)n mit wachsendem n gegen einen gewissen Grenzwert strebt, der bei ungefähr 2,7128 liegt. Damit istedie erste Zahl, die durch einen Grenzwertprozess definiert worden ist:e= lim (1+ 1/n)n für n ® ¥. Einige Zeit hindurch wurde die neue Zahl als eine Art Kuriosität angesehen. Dann aber brachte die Erfolgreiche Quadratur der Hyperbel die Logarithmusfunktion und die Zahlean die vorderste Front der Mathematik. Der entscheidende Schritt kam mit der Erfindung der Infinitesimalrechung, als sich herausstellt, dass die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Um 1750 ließ Euler für die Variable x sogar komplexe Werte zu und ebnete damit den Weg zur Theorie der Funktionen einer komplexen Variable mit ihren bemerkenswerten Eigenschaften. Doch was für eine Zahl ist e eigentlich? Eine irrationale, transzendente Zahl!

Ich möchte nun kurz beschreiben wie die Mathematiker nach und nach zu dieser Erkenntnis kamen.

Die Griechen glaubten alles durch rationale Zahlen, also durch Brüche, ausdrücken zu können. Eine Eigenschaft, durch die sich die rationalen Zahlen von den ganzen Zahlen unterscheiden, ist, dass sie einedichteZahlenmenge bilden. Das bedeutet, dass sich zwischen zwei beliebig nahe nebeneinander liegende Brüche stets ein weitere Bruch schieben lässt. Eines der folgenschwersten Ereignisse in der Geschichte der Mathematik war die Entdeckung, dass die rationalen Zahlen trotz ihrer Dichte „Löcher“ auf der Zahlengerade lassen - Punkte denen keine rationale Zahl zugeordnet ist. Die Entdeckung

der Löcher hat mit der Diagonale eines Einheitsquadrates zu tun. Bezeichnet man die Länge der Diagonale mit x, dann gilt nach dem Satz von Pythagoreas x2 = 12+ 12, so dass x = Ö2 ist. Man versuchte diese Zahl durch eine Bruch darzustellen, doch es gelang nicht. Die irrationalen Zahlen waren entdeckt.

Vereinigt man die Menge der rationalen Zahlen mit derjenigen der irrationalen Zahlen, dann erhält man die umfassendere Menge der reellen Zahlen. Eine reelle Zahl ist eine

Zahl, die sich als Dezimalbruch schreiben lässt. Er gibt drei Arten von Dezimalbrüchen: abbrechende, wie 1,4; nichtabbrechende und periodische, wie 0,272727... (0,27) und nichtabrechende nichtperiodische, wie 0,1010010001... Die ersten beiden Arten stellen stets rationale Zahlen, die Dezimalbrüche der dritten Art immer irrationale Zahlen dar. Weiters kann eine Einteilung der Zahlen in algebraisch und transzendent erfolgen. Eine reelle Zahl, die Lösung einer Polynominalgleichung mit ganzzahleigen Koeffizienten ist wird algebraisch genannt. Zum Beispiel sind die Zahlen -1, 2/3 und Ö2 Lösungen der

Polynominalgleichungen x + 1 = 0, 3x - 2 = 0 beziehungsweise x2 + 1 = 0.

Eine reelle Zahl, die nicht algebraisch ist, wird transzendent genannt (lateinisch tranzscendere = überschreiten). Diese Art von Zahlen wurde 1850 entdeckt.

Grenzwert

Das sonderbare Verhalten des Ausdrucks (1+1/n)n für große Werte von n muss zunächst wirklich rätselhaft erscheinen. Betrachten wir einmal nur den in den Klammern stehenden Ausdruck 1+1/n. Mit wachsendem n nähert sich 1/n der 0 und damit nähert sich 1+1/n der 1, bleibt dabei immer größer als 1. Man könnte also der Versuchung erliegen und schlussfolgern, dass für „wirklich große“ n (was auch immer „wirklich groß“ bedeutet) der Ausdruck (1+1/n) durch 1 ersetzt werden kann. Nun ist aber jede Potenz von 1 immer gleich 1 und so hat es den Anschein, dass sich (1+1/n)n für große n der Zahl 1 nähert. Wäre das wirklich der Fall, dann bräuchten wir hierüber keine weiteren Worte mehr zu verlieren.

Geht man etwas anders an die Sache heran und bildet höhere Potenzen einer Zahl, die größer als 1 ist, so erhält man bekanntlich immer größere Zahlen. Da aber 1+1/n stets größer als 1 ist, könnte man den Schluss ziehen, dass (1+1/n)n mit wachsendem n ebenfalls unbeschränkt wächst, dass heißt gegen unendlich strebt. Damit wäre man wieder am Ende der Geschichte.

Das Bedenkliche dieser Schlussfolgerungen erkennt man bereits an der Tatsache, dass - in Abhängigkeit von der Herangehensweise - zwei verschiedene Ergebnisse herausgekommen sind: 1 im ersten Fall und Unendlich im zweiten. In der Mathematik

muss das Endergebnis einer gültigen numerischen Operation immer ein und dasselbe sein, unabhängig davon, wie man zu diesem Ergebnis gekommen ist. Warum also sind dann für (1+1/n)n zwei verschiedene Ergebnisse herausgekommen?

Die Antwort auf diese Frage verbirgt sich hinter dem Wort gültig. Als Beispiel einer ungültigen Operation: Ö9+16 = 3+4 = 7. Der Grund für diesen Fehler liegt darin, dass das Ziehen der Quadratwurzel keine distributive Operation bezüglich der Addition ist.

Unser Umgang mit dem Ausdruck (1+1/n)n beruhte gleichfalls auf ungültigen Operationen, da wir einen der grundlegendsten Begriffe der mathematischen Analysis, den Begriff des Grenzwertes fehlerhaft behandelten.

Mit der Redeweise, dass eine Zahlenfolge a1, a2, a3, , an,...für n gegen unendlich gegen einen Grenzwert L strebt, meint man, dass die Glieder der Folge mit wachsendem n der Zahl L immer näher kommt. Mit anderen Worten: Der absolute Betrag der Differenz von an und L kann beliebig klein gemacht werden, wenn wir nur in unserer Folge hinreichend weit nach „draußen“ gehen - dass heißt, wenn wir n hinreichend groß wählen. Man betrachte zum Beispiel die Folge 1, 1/2, 1/3, 1/4,..., deren allgemeines Glied an = 1/n ist. Mit wachsendem n geht dieser Ausdruck gegen 0. Das bedeutet, dass die Differenz zwischen 1/n und dem Grenzwert 0 (diese Differenz beträgt gerade 1/n) beliebig klein gemacht werden kann, wenn nur n groß genug gewählt wird. Wenn etwa 1/n kleiner als 1/1000 gemacht werden soll, dann muss einfach nur n größer als 1000 gewählt werden. Man sagt, dass 1/n gegen 0 strebt, falls n über alle Schranken wächst und schreibt 1/n ® 0 für n ® ¥. Hierfür wird auch die abgekürzte Schreibweise

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verwendet.

Der Ausdruck limn®¥ 1/n = 0 besagt nur, dass der Grenzwert von 1/n für n®¥ gleich 0 ist. Das bedeutet nicht, dass 1/n selbst jemals gleich 0 ist. Genau hierin liegt das Wesen der Grenzwertebegriffes: Eine Zahlenfolge kann einem Grenzwert beliebig nahe kommen, ohne ihn jemals wirklich zu erreichen.

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In dieser Tabelle kann man sehen, dass sich der Ausdruck (1+1/n)n für sehr große Werte von n dem Grenzwert 2,71828 zu nähern scheint. Um aber diesen Grenzwert exakt zu bestimmen - oder erst einmal zu beweisen, dass er überhaupt existiert - müssen wir zu anderen Methoden greifen, als lediglich individuelle Werte auszurechnen. Eine solche Methode stützt sich auf die binomische Formel.

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Die Koeffizienten der einzelnen Summanden heißen Binominalkoeffizienten. Man kann sie in einem dreieckigen Schema anordnen.

Pascalsches Dreieck.

Die Verwendung des Pascalschen Dreiecks zum Auffinden der Binominalkoeffizienten hat einen Nachteil: Um die uns interessierende Zeile zu erhalten, müssen wir alle darüber liegenden Zeilen berechnen. Es gibt aber eine vom Pascalschen Dreieck unabhängige Formel, mit deren Hilfe diese Koeffizienten ausgerechnet werden können. Bezeichnet man den Koeffizienten des Summanden an-kbk Cn , dann gilt

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Das Symbol n! steht für das Produkt 1*2*3*...xn.