Mathematisch-Statistische Ansätze zur Messung von Macht in Abstimmungsgremien

INHALT

1 MACHT IN ABSTIMMUNGSGREMIEN

2 THEORIE
2.1 Der Shapley-Wert
2.2 Der Banzhaf-Index
2.3 Eigenartige Machtstrukturen
2.4 Die Wahl des richtigen Index

3 EMPIRISCHE ANWENDUNGEN
3.1 Der Ministerrat der Europäischen Union
3.2 Das Parlament der Europäischen Union

ANHANG

LITERATUR

QUELLEN

1 MACHT IN ABSTIMMUNGSGREMIEN

Bei demokratischen Parlamentswahlen hat jeder Bürger eine Stimme und somit den gleichen Einfluss auf den Wahlausgang. In diesem Sinne sind alle Wahlberechtigten gleich mächtig. In Abstimmungsgremien, in denen entweder einzelne Wähler über unterschiedliche Stimmgewichte verfügen oder Abgeordnete ihr Votum als geschlossene Fraktion abgeben, ist es schon schwieriger, die Macht des einzelnen Wählers oder einer Fraktion zu messen. Wie folge nde Zahlenbeispiele verdeutlichen, muss diese keineswegs proportional zum Gewicht der Stimmen sein:

In einem Abstimmungsgremium mit hundert Sitzen und zwei Fraktionen mit jeweils 51 und 49 Stimmen hat die kleinere bei Geltung der Regel der absoluten Mehrheit keinen Einfluss auf die zu erlassenden Gesetze. Die größere Fraktion kann all ihre Gesetzesentwürfe auch gegen den Willen ihrer Konkurrentin durchsetzen. Somit kommt ihr innerhalb des Gremiums die Rolle eines allmächtigen Diktators zu. Ist zur Ratifizierung aber eine Zweidrittelmehrheit nötig, kann keine Fraktion einem Entwurf gegen den Willen der anderen Geltung verschaffen. Beide sind in diesem Falle gleich mächtig.

Bilden drei Fraktionen mit jeweils 49, 48 und 3 Stimmen ein Abstimmungsgremium, kann je de Koalition aus zwei Fraktionen eine absolute Mehrheit aufbringen, aber nur die Koalition der beiden größten eine Zweidrittelmehrheit. Abhängig von der geltenden Mehrheitsregel ist die kleinste Fraktion entweder ein den beiden größeren Fraktionen ebenbürtiger Partner oder eine Gruppe, die keinerlei Einfluss auf die Entscheidungen des Abstimmungsgremiums hat.

In dieser Arbeit werden zwei statistisch-mathematische Machtmaße vorgestellt, die auf der eben implizit angenommenen Machtdefinition beruhen, dass eine Gruppe umso mächtiger ist, je häufiger sie einer Koalition zur nötigen Mehrheit verhelfen kann. Qualitative Aspekte der Macht, wie z.B. die vom Parteiprogramm bestimmte Koalitionsfähigkeit einer Fraktion, werden von diesen Maßen nicht berücksichtigt. Die Maße geben aber Aufschluss über die von inhaltlichen Aspekten unabhängige a-priori-Abstimmungsmacht eines Wählers oder einer Gruppierung, die ihnen allein durch die Stimmverteilung in einem Abstimmungsgremium zukommt. Die beiden auf den folgenden Seiten vorgestellten Maße sind der Shapley-Wert und der Banzhaf-Index, denen unterschiedliche Koalitionsmodelle zugrunde liegen. Beide hängen außer von den Stimmgewichten auch von der geltenden Mehrheitsregel ab.

Die Arbeit gliedert sich in einen theoretischen Teil, in dem Eigenschaften und Unterschiede der beiden Indizes dargestellt werden und einen empirischen Teil, in dem mit Hilfe der beiden Indizes die Machtverteilung zwischen den Mitgliedstaaten der Europäischen Union im Ministerrat und im Parlament der Europäischen Union analysiert werden. Die Anwendung eines quantitativen Machtmaßes bietet sich bei diesen Institutionen an, kann man doch auf lange Sicht von wechselnden Interessengemeinschaften der Mitglieder und somit von wechselnden Koalitionen ausgehen.

2 THEORIE

2.1 Der Shapley-Wert

Der Shapley-Wert bezeichnet ursprünglich den Gewinnerwartungsvektor der Spieler in einem n-Personen-Kooperationsspiel, das durch die Möglichkeit der Koalitionsbildung gekennzeichnet ist und dem ganz bestimmte Regeln sowohl über die Koalitionsbildung als auch über die Verteilung des Koalitionsgewinnes zugrunde liegen. Im Folgenden werden zunächst einige Begriffe aus der Spieltheorie erläutert, die für das Verständnis der Elemente des Shapley-Wertes nötig sind.

Danach werden die dem Shapley-Wert zugrunde liegenden Spielregeln definiert, aus denen sich ein Gewinnerwartungsvektor ableiten lässt. Angewandt auf ein einfaches gewichtetes Abstimmungsspiel, entspricht dieser Wert der Wahrscheinlichkeit der noch zu definierenden Pivotposition. Als solche lässt sich der Shapley-Wert als Machtmaß¹ interpretieren.

Den Ausgangspunkt eines n-Personen-Kooperationsspiels in der Spieltheorie bildet die charakteristische Funktion v(S) ² . In einem Spiel mit n Spielern oder Fraktionen ordnet diese jeder der 2n möglichen Koalitionen S einen Koalitionsgewinn in Form einer reellen Zahl zu. v(S) bezeichnet den Maximinwert der Koalition, also jenen Wert, den sich die Koalition auch für den Fall sichern kann, dass die restlichen Spieler sich zum Komplement Sc = N-S mit konfliktiven Interessen zusammenschließen.

Die Menge aller möglichen Koalitionen entspricht der Potenzmenge von N und umfasst demnach sowohl die Nullkoalition Ø, die Einerkoalitionen {i} (für alle i_N), als auch die große Koalition N³. Für die Nullkoalition gilt

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Bei einem eigentlichen oder properen Spiel erfüllt die charakteristische Funktion v (S) die Bedingung der Superadditivität

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Somit kann keine Koalition ihren Gewinn steigern, indem sie sich in zwei disjunkte Gruppen aufteilt. Soll ein Anreiz zur Koalitionsbildung bestehen, so muss zumindest für eine Koalition darüber hinaus die strikte Ungleichhe itsbeziehung gelten. In diesem Fall handelt es sich um ein wesentliches Spiel und die charakteristische Funktion erfüllt

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Die charakteristische Funktion ordnet zwar jeder Koalition einen Koalitionsgewinn zu, über dessen Verteilung auf die Koalitionsmitglieder trifft sie jedoch keine Aussage. Ist der Gewinn beliebig zwischen den Spielern transferierbar, wovon bei der Konstruktion des Shapley- Wertes ausgegangen wird, so ist jeder Nutzenvektor realisierbar, der folgende Bedingung erfüllt

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Möchte man also einen Erwartungswert des Nutzenvektors u = [u1,..,un] bilden, bedarf es zum einen einer Regel über die Koalitionsbildung und zum anderen über die Aufteilung des Koalitionsgewinns auf die einzelnen Mitglieder der Koalition. Diese Regeln lassen sich ableiten, indem man folgende vier Axiome aufstellt, die der Erwartungswert des Nutzenvektors u eines n-Personen-Kooperationsspiels mit transferierbarem Nutzen - im Folgenden der n-dimensionale Vektor _ (v) = [_1(v),..., _n(v)] - erfüllen soll⁴:

1.Kollektive Effizienz: Die Summe der erwarteten individuellen Nutzen aller Spieler ist gleich dem höchsten im Spiel erreichbaren Gesamtnutzen, dem Wert der großen Koalition

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2.Keine Belohnung der Unergiebigkeit: Der erwartete Nutzen eines Spielers j der zu keiner Koalition etwas beitragen kann ist null. Dieser Spieler ist ein unwesentliches Mitglied oder ein Dummyspieler.

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3.Symmetrie: Der individuelle Erwartungswert _i (v) eines Spielers hängt nicht von seiner Benennung ab. Tauscht also Spieler i seine Position mit Spieler j, so bleibt sein Erwartungswert unverändert. Für ein Spiel G_ , das aus dem Spiel G durch eine Permutation der Anordnung der Spieler entsteht, gilt somit

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4.Additivität: Seien G und G* zwei unabhängige Spiele mit den charakteristischen Funktionen v (S) und v* (S) und G** ein Spiel mit der charakteristischen Funktion v**(S) = v (S) + v* (S) (für alle S _ N), die alle von den selben wesentlichen Spielern gespielt werden, dann ist G ein Summenspiel. In diesem Fall sei

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Werden also die Spiele G und G* hintereinander gespielt, so wird _ (v) nicht von der Kenntnis um die Folge eines weiteren Spieles G* beeinflusst⁵. Es lässt sich nachweisen⁶, dass es nur einen Wert gibt, der diese Axiome erfüllt. Es handelt sich dabei um den n-dimensionalen Shapley-Wert ⁷ _ (v) mit

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Dieser Wert entspricht einem Erwartungswert in folgender Spielsituation: Die Spieler formen die große Koalition durch sukzessiven Beitritt, dabei sei jede Beitrittsreihenfolge gleich wahrscheinlich. Zudem erhalte jeder Spieler die durch seinen Beitritt bewirkte Wertsteigerung der Koalition. Der maximale Koalitionsgewinn v(N) wird somit komplett auf die Spieler verteilt. Da es n! Permutationen der Spielermenge gibt, ist 1/n! die Wahrscheinlichkeit der Realisierung einer bestimmten Beitrittsreihenfolge. Sei A das Ereignis, dass eine Auswahl S der Spieler vor den restlichen N-S Spielern der großen Koalition beitrete, dann ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses P(A) = [s! (n-s)!] /n!.

Der Spieler i sei Mitglied dieser Auswahl. Unter der Bedingung, dass ein Spieler i zu den ersten S Koalitionsmitgliedern gehört, ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dieser Koalition als letzter beitritt P(B|A) = 1/s⁸. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Spielerauswahl S die ersten s Plätze der großen Koalition besetzt und Spieler i genau die s-te Position einnimmt, ist somit nach dem Multiplikationssatz für zwei Ereignisse P(A_B)= P(A) P(B|A)= [(s-1)!(n-s)!]/n!. In diesem Fall erhält i den marginalen Koalitionsgewinn [v(S)-v(S-{i})]. Summiert man das Produkt aus marginalem Koalitionsgewinn [v(S)-v(S-{i})] und der Wahrscheinlichkeit [(s- 1)!(n-s)!]/n!, dass Spieler i diesen erhält, über alle Koalitionen S_ N, ergibt sich der Erwartungswert _i(v) des individuellen Spielgewinns.

Angewandt auf ein einfaches gewichtetes Abstimmungsspiel vereinfacht sich die Berechnung des Shapley-Wertes. Ein einfaches Spiel ⁹ liegt dann vor, wenn für alle Koalitionen S _ N entweder v(S) = 0 oder v(S) = 1 gilt. Der Wert der Verlustkoalition ist 0, während einer Gewinnkoalition der Wert 1 zugeordnet wird. Ein gewichtetes Wahlsystem ¹⁰ mit n Wählern bzw. Fraktionen lässt sich in der Form [q: w1 ,...,wn] darstellen, wobei q die zur Beschlussfassung notwendige Mindeststimmenzahl und w1,.., wn die Stimmgewichte der n Wähler bezeichnen. Es gelte q > 1/2 _i_N wi. In einem einfachen gewichteten Wahlsystem nimmt die charakteristische Funktion somit folgende Form an:

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Der Ausdruck [v (S) - v (S - {i})] kann dadurch nur die Werte 0 und 1 annehmen. Für einen Spieler i nimmt er den Wert 1 an, sobald er durch seinen Beitritt eine Verlustkoalition in eine Gewinnkoalition überführt.

Tritt er in eine Koalition ein, die auch ohne ihn über die notwendige Mehrheit verfügt, so steigert er den Koalitionsgewinn nicht und erhält keinen marginalen Gewinn. Angewandt auf das oben beschriebene Spielmodell gibt es bei jedem zufälligen sukzessiven Aufbau der großen Koalition nur einen Spieler, dem der Wert 1 zugeschrieben wird. Man nennt diesen Spieler Pivotspieler ¹¹, seine Position die Pivotposition.

Der Shapley-Wert eines einzelnen Spielers summiert nun die Anzahl aller möglichen Spielerpermutationen, in denen dieser die Pivotposition einnimmt und dividiert sie durch die Anzahl aller möglichen Permutationen. Da es bei jeder Permutation nur einen Pivotspieler geben kann, ist _i_N _i(v) = 1, womit das Axiom der kollektiven Effizienz erfüllt ist. _i (v) bezeichnet infolgedessen nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler i in einem einfachen Spiel, in dem keinerlei Informationen über die Reihenfolge der Koalitionsbildung vorliegt, die Pivotposition einnimmt. Der Shapley-Wert ist somit ein Maß für die Macht einer Fraktion in einem Abstimmungsgremium, definiert man Macht nach Shapley und Shubik:

,,Our definition of power of an individual member depends on the chance he has of being critical to the success of a winning coalition."¹²

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Da ein Dummyspieler i zu keiner Koalition einen Beitrag leisten kann, gilt v(S) = v(S-{i}) für alle S _ N, zu deren Mitgliedern i gehört und folglich _i = 0. Ein Spieler, für dessen Stimmgewicht wi = q gilt, ist ein Diktator. Es gibt keine Permutation, in der ihm nicht die Pivotposition zukommt, der Shapley-Wert ist somit _i = 1 und das Spiel ist nicht länger wesentlich. Der Shapley-Wert ist innerhalb eines gegebenen Abstimmungskörpers monoton in der Gr öß e der Stimmgewichte. Folglich gilt _i (v) = _j (v) für wi > wj . Variiert man aber einen Abstimmungskörper derart, dass die Stimmgewichte der Spieler neu verteilt werden, kann sich der Shapley-Wert eines Spielers mit nun größerem Stimmenanteil verringern. Dieser ist daher nicht monoton in Veränderungen der Stimmgewichte¹³. Auf diese Eigenschaft wird im Kapitel 2.3 nochmals eingegangen. Zunächst wird aber der Banzhaf- Index als alternatives Machtmaß vorgestellt.

2.2 Der Banzhaf-Index

Nach Shapley und Shubik's Machtdefinition ist ein Spieler umso mächtiger, je häufiger er eine Verlust- in eine Gewinnkoalition verwandeln kann. Der Shapley-Wert ist dabei proportional zur relativen Häufigkeit der Pivotposition eines Spielers. Das Pivot-Konzept berücksichtigt alle möglichen Reihenfolgen des Koalitionsaufbaus, schreibt die Rolle des Königsmachers aber jeweils nur deren letzten Mitglied zu.

Eine andere Möglichkeit, die a-priori-Abstimmungsmacht der Forumsmitglieder in einem einfachen Abstimmungsspiel zu quantifizieren, besteht darin, die Reihenfolge, in der die Spieler eine Koalition bilden, zu vernachlässigen und als Ausgangspunkt der Analyse allein die Menge aller Kombinationen der Spielermenge zu verwenden. In einer Gewinnkoalition kann es dann mehrere kritische Mitglieder ¹⁴ geben, ohne deren Stimmgewicht die Koalition nicht länger mehrheitsfähig wäre. Ein kritisches Mitglied i einer Gewinnkoalition S sei ein Spieler, dessen Austritt S zu einer Verlustkoalition machen würde; i - das Zünglein an der Waage - kann in diesem Fall einen Swing ¹⁵ bezüglich S verursachen. Als Machtmaß in einem gewichteten Abstimmungsspiel setzt der Banzhaf-Index ¹⁶ die Zahl der möglichen Swings eines Spielers i ins Verhältnis zur Zahl der möglichen Swings aller Spieler:

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An die Stelle der relativen Häufigkeit der Pivotposition beim Shapley-Wert tritt hier die relative Häufigkeit der Möglichkeit eines Swings. Da die Swings aller Koalitionen S _ N mit gleicher Gewichtung in den Banzhaf-Index einfließen, liegt diesem die Vorstellung gleich wahrscheinlicher Koalitionen zugrunde¹⁷. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Koalition realisiert wird, entspricht der, dass beim n-maligen Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne, in der sich eine Ja- und eine Nein-Kugel befindet, eine bestimmte Ja-Nein- Reihenfolge realisiert wird. Ein Ja steht dabei für die Mitgliedschaft in einer Koalition. Da es 2n mögliche Ja-Nein-Reihenfolgen gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit der Realisierung einer konkreten Koalition 1/2ⁿ.

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Der Banzhaf-Index lässt sich zwar nicht analog zum Shapley-Wert als Wahrscheinlichkeit eines Swings interpretieren, ein Vergleich der beiden Werte ist aber möglich, da auch _ folgende Eigenschaften18 erfüllt: Der individuelle Banzhaf-Wert gibt den Anteil der Swings eines Spielers an der Summe aller Swings an, folglich gilt _i_N_i = 1. Für einen Dummy, dem niemals die Rolle des Züngleins an der Waage zufällt, ist _i = 0. Entfallen alle Swings auf einen Mitspieler, so ist dieser ein von Dummys umgebener Diktator mit _i = 1. Der Banzhaf-Index ist monoton in den Stimmgewichten w, so dass _i = _j , falls wi > wj . Für den Fall, dass wi = wj , ist _i = _j . Zuletzt gilt für den Banzhaf-Index, dass er wie der Shapley- Wert im Allgemeinen nicht monoton in Veränderungen der Stimmgewichte ist; aus wi* > wi folgt nicht immer _i* > _i . Im folgenden Abschnitt wird diese Eigenschaft an einigen Beispielen verdeutlicht.

2.3 Eigenartige Machtstrukturen

Mit Hilfe der beiden Indizes lassen sich Besonderheiten der Machtstruktur in Abstimmungsgremien aufdecken, die auf den ersten Blick der Intuition trotzen. Diese ,,Paradoxa" werden im Folgenden anhand kleiner Zahlenexempel vorgestellt.

Paradox of redistribution ¹⁹: Vergleicht man die beiden Abstimmungskörper v1 = (70; 50,25,25) und v2 = (70; 55,35,10), so sind die entsprechenden Banzhaf-Indizes _(v1) = (3/5, 1/5, 1/5) bzw. _(v2) = (1/2, 1/2, 0) und die Shapley-Werte _ (v1) = (2/3, 1/6, 1/6) bzw. _(v2) = (1/2, 1/2, 0). Es überrascht nicht, dass der letzte Spieler durch die Stimmverschiebung zum Dummy wurde, wohl aber, dass die von den Indizes gemessene Macht des ersten Spielers, trotz seines gestiegenen Stimmenanteils, von 3/5 beim Banzhaf-Index und 2/3 beim ShapleyWert auf 1/2 gesunken ist. Es ist dies ein Beispiel für die den beiden Machtmaßen fehlende Eigenschaft der Monotonie in der Veränderung der Stimmgewichte.

Paradox of size ²⁰: Ein Abstimmungskörper sei v1 = (4; 3,2,2) und folglich _(v1) = _(v1) = (1/3, 1/3, 1/3). In diesem Fall ist die Macht gleichmäßig zwischen den Fraktionen verteilt. Nun spalte sich die Dreie rfraktion in drei Einzelspieler auf, so dass v2 = (4; 1,1,1,2,2) mit _(v2) = (1/7, 1/7, 1/7, 2/7, 2/7) und _(v2) = (2/15, 2/15, 2/15, 3/10, 3/10) entstehe. Hierbei fällt ins Auge, dass die Summe der Machtwerte der drei Einzelspieler mit 3/7 beim Banzhaf-Index und 2/5 beim Shapley-Wert den bei beiden Maßen identischen Machtwert der geschlossenen Dreierfraktion von 1/3 übertrifft.

Dieses Ergebnis widerspricht der gängigen Annahme, eine Gruppe sei stärker als die Summe ihrer Mitglieder. Aus spieltheoretischer Perspektive besteht also in bestimmten Fällen ein Anreiz zur Fraktionsspaltung, sollte sich dadurch die Macht der einzelnen Mitglieder erhöhen. Vernachlässigt man die inhaltliche Verwandtschaft von CDU und CSU könnte die CDU/CSU-Fraktion ihre Macht im Deutschen Bundestag von 1998 durch eine Aufspaltung von _i (v1) = _i (v1) = 1/6 auf _j (v2)+ _k (v2) = 1/11 + 1/11 = 2/11 bzw. _j(v2)+ _k(v2) = 1/10 + 1/10 = 1/5 vergrößern.²¹

Paradox of new members ²²: Neue Mitglieder in einem Abstimmungsgremium können in Einzelfällen die a-priori-Abstimmungsmacht einiger alter Mitglieder stärken, wie folgendes Exempel zeigt: In das Abstimmungsgremium v1 = (5; 3,2,2) mit _(v1) = (3/5, 1/5, 1/5,) und _(v1) = (2/3, 1/6, 1/6) trete ein neues Mitglied mit einer Stimme ein, wodurch der neue Abstimmungskörper v2 = (5; 3,2,2,1) mit _(v2) = _(v2) = (5/12, 1/4, 1/4, 1/12) entstehe.

Die Abstimmungsmacht der beiden Zweierfraktionen erhöht sich hierbei trotz sinkender Stimmenanteile. Sie hätten also in diesem Beispiel durchaus einen rationalen Grund, für eine Erweiterung des Gremiums zu stimmen.

Rapoport und Cohen untersuchen durch Simulation²³ verschiedener Abstimmungskörper die relative Häufigkeit dieses Paradoxes für beide Machtindizes und kommen zu folgenden Ergebnissen:

1) Gemessen an beiden Indizes profitiert das kleinste Mitglied häufiger als das größte Mitglied von einem Paradox of new members ²⁴.
2) Bei mindestens vier ursprünglichen Gremiumsmitgliedern nimmt die relative Häufigkeit des Paradoxes mit steigender Anzahl neuer Mitglieder ab²⁵.

Paradox of quarreling members ²⁶ : Weigern sich zwei Fraktionen grundsätzlich miteinander eine Koalition einzugehen, so kann ihre individuelle Abstimmungsstärke trotz sinkender Anzahl möglicher Koaltionspartner steigen. Einen Ausgangspunkt bildet der aus obigem Beispiel bekannte Abstimmungskörper v1 = (5; 3,2,2).

Angenommen die beiden Zweierfraktionen B und C seien die zur Koalition unfähigen Fraktionen, dann fällt von den drei ursprünglich möglichen Gewinnkoalitionen AB, AC und ABC nur die große ABC-Koalition weg. Da die beiden zerstrittenen Fraktionen in dieser aber gar keinen Swing haben, bleibt die Anzahl ihrer möglichen Swings konstant, indes fällt für die größere Fraktion dort eine Swingmöglichkeit weg.

Der Banzhaf-Index ist folglich _(v2) = (1/2, 1/4, 1/4). Eine analoge Argumentation gilt für den Shapley-Wert: Von sechs ursprünglichen Pivots werden zwei durch den Streit unrealisierbar. Es handelt sich dabei wieder um die Pivots der größeren A-Fraktion in den beiden Permutationen BCA und CBA. Die Anzahl der Pivots der kleineren Fraktionen wird durch den Streit jedoch nicht beeinflusst, wodurch sich der neue Shapley-Wert mit ebenfalls _(v2) = (1/2, 1/4,1/4) ergibt. Unabhängig von politischen Inhalten liegt hierin also ein neues ,,mächtiges" Argument für den Bruch einer Koalition.

Rapoport und Cohen zeigen auf Grundlage des Banzhaf-Index, dass das Paradox of quarreling members in der Interpretation, dass beide Fraktionen von einem Streit profitieren, nicht auftreten kann, wenn diese eine Gewinnkoalition bilden könnten oder wenn die Summe der Stimmgewichte w(N) aller Spieler bei Geltung der absoluten Mehrheitsregel ungerade ist²⁷.

Weiterhin zeigen sie durch die Simulation²⁸ unterschiedlicher Abstimmungskörper, dass seine relative Häufigkeit sowohl mit steigender Stimmensumme w(N) als auch mit wachsender Spielerzahl n im Allgemeinen abnimmt²⁹. Sie untersuchen weiterhin den Fall, dass nur eine der Fraktionen von einem Streit profitiert und stellen hierbei fest, dass dieses Ereignis unter der Regel der einfachen Mehrheit bei ungerader Stimmensumme wiederum nicht auftritt. Der systematische Einfluss der Stimmensumme auf die relative Häufigkeit dieser Variation des Paradoxes fällt aber ansonsten weg.

Mit steigender Spielerzahl nimmt die relative Häufigkeit des Paradoxes dahingegen zunächst zu, erreicht ihr Maximum bei n = 5 oder n = 6 und nimmt dann wieder ab³⁰. Zuletzt konstatieren sie, dass der Spieler mit dem höchsten Stimmgewicht keinen Nutzen aus einem Konflikt ziehen kann³¹.

Die aufgeführten Beispiele zeigen, dass die Analyse der Machstrukturen innerhalb eines Abstimmungsgremiums komplex ist. Die Verwendung der beiden Indizes gibt aber - ganz im Gegensatz zu einer reinen Betrachtung der Stimmenanteile - Aufschluss über die bisweilen überraschenden Auswirkungen z.B. einer Neuverteilung der Stimmen oder einer Erweiterung des Gremiums.

Beide Maße spiegeln insofern die gleiche Machtstruktur wider, als dass sie die gleiche Spielerrangfolge erzeugen. Spieler, die der Shapley-Wert auf eine Stufe stellt, erhalten auch beim Banzhaf-Index gleiche Machtwerte. Darüber hinaus weichen die Ergebnisse aber im Allgemeinen voneinander ab. Es stellt sich somit die Frage, welcher Index zur Analyse der Machtstrukturen in einem Abstimmungsgremium gewählt werden soll.

2.4 Die Wahl des richtigen Index

Es ist schwer zu sagen, welcher Index die Machtverhältnisse in einem gewichteten Wahlsystem besser widerspiegelt. Beide basieren auf dem Konzept minimaler Gewinnkoalitionen. Sollte aber bei der Machtmessung die Reihenfolge des Koalitionsaufbaus berücksichtigt werden? Vielfach wird der Shapley-Wert wegen der Annahme des sequentiellen Koalitionsaufbaus kritisiert:

,,Für die Bedeutung eines Spielers i in der Koalition K soll nicht die Reihenfolge, in der er in die Koalition K eintritt bzw. in der er sie verläßt, maßgeblich für seine "Stärke" sein, sondern nur die Zugehörigkeit zu K."³²

Brams³³ geht davon aus, dass das Koalitionsbildungsmodell des Shapley-Wertes nur dann gerechtfertigt sei, wenn man die Mitglieder eines Abstimmungsgremiums nach dem Grad ihrer Zustimmungsbereitschaft zu einem Gesetzesvorschlag anordnen könne und dabei jede Anordnung im Laufe einer Legislaturperiode gleich wahrscheinlich sei.

Demnach würde zunächst der Initiator eines Vorschlages und dann die etwas weniger enthusiastischen Mitglieder für diesen stimmen. Das Mitglied, welches letztendlich für die nötige Mehrheit sorge, würde dann innerhalb der Koalition den geringsten Nutzen aus der Realisierung eines Gesetzes ziehen. Seine Zustimmung müsse deshalb teuer mit Zugeständnissen erkauft werden. Auf diese Weise habe das Mitglied in der Pivotposition einen größeren Einfluss auf den Inhalt eines Gesetzesvorschlages.

Brams Kritik richtet sich allein schon gegen die Annahme, dass es genug politische Dimensionen (z.B. das Kontinuum von der freien Marktwirtschaft zur Staatswirtschaft) gebe, entlang derer die einzelnen Fraktionen jeweils unterschiedlich angeordnet werden können. Ein Gremium mit fünf Mitgliedern würde nach Brams die Anzahl von 5! = 120 Dimensionen erfordern. Selbst wenn diese gegeben wären, könne man aber noch lange nicht davon ausgehen, dass sie gleichermaßen häufig auf der politischen Tagesordnung stünden.

Der Banzhaf-Inde x trägt dieser Kritik aber nur insofern Rechnung, als dass er keine Annahmen über die Reihenfolge der Koalitionsbildung trifft und seiner Berechnung folglich statt der Permutationen die geringere Anzahl der Kombinationen der Spielermenge zugrunde liegt. Dementsprechend werden weniger politische Dimensionen benötigt. Doch auch er setzt voraus, dass die relevanten politischen Dimensionen so verteilt sind, dass jede Gewinnkoalition gleichermaßen wahrscheinlich ist.

In der Realität kann man allerdings oft weder von gleich wahrscheinlichen Permutationen, noch von gleich wahrscheinlichen Kombinationen der Spielermenge ausgehen. So werden die Grünen im Deutschen Bundestag mit größerer Wahrscheinlichkeit eine Koalition mit der SPD als mit der CDU/CSU und der FDP bilden.

In diesem Sinne eignet sich keines der vorgestellten Maße, um die realen Machtverhältnisse in einer Institution wie dem Bundestag zu analysieren. Interessiert man sich dagegen nur für die quantitative Komponente der Macht oder besitzt man keinerlei Kenntnisse über die politischen Präferenzen der einzelnen Spieler, dann ist es sinnvoll, ein Maß zu nutzen, das alle Präferenzen neutral und somit gleich gewichtet.

Insofern wären beide Machtindizes bei der Konzeption eines Abstimmungsgremiums wie z.B. dem EU-Ministerrat hilfreich, dessen Mitglieder sich nicht in ein gängiges Links-Rechts- Schema zwängen lassen. Zur Überprüfung der Äquivalenz von gewünschter und tatsächlicher Macht eines Mitgliedstaates eignet sich ein Machtindex besser, als eine simple Betrachtung der Stimmgewichte. Allerdings fehlen klare Kriterien, nach denen man sich eindeutig für einen der beiden Indizes entscheiden könnte.

Die Konzeption des Banzhaf-Index erscheint intuitiv verständlicher, der Shapley-Wert findet dafür innerhalb der Spie ltheorie einen größeren Anwendungsbereich. Neben den Interpretationen als Wahrscheinlichkeit der Pivotposition in einem einfachen Abstimmungsspiel und als Erwartungswert in der oben beschriebenen allgemeineren Spielsituation beschreibt er, wie Harsanyi³⁴ zeigt, das tatsächliche Verhandlungsgleichgewicht in diesem Spiel.

Die Möglichkeit, den Shapley-Wert als Wahrscheinlichkeit zu interpretieren, erleichtert darüber hinaus die Analyse mehrstufiger Abstimmungsprozesse, wie sich im Kapitel 3.2 am Beispiel des Europaparlaments zeigen wird. Zunächst sollen die beiden Indizes aber auf den Ministerrat der Europäischen Union angewandt werden, um mögliche Machtverschiebungen nach dem Vertrag von Nizza zu analysieren.

3 EMPIRISCHE ANWENDUNGEN

3.1 Der Ministerrat der Europäischen Union

Der EU-Ministerrat ist ein gutes Beispiel für ein Abstimmungsgremium mit gewichteten Stimmen. Eine Veränderung der Stimmgewichte in dieser mächtigen Institution der Europäischen Union, wird von den Mitgliedstaaten mit Argusaugen überwacht. Politisch erwünscht ist, dass den großen Staaten innerhalb des Gremiums mehr Macht zukommt, diese indes aber nicht proportional zur Bevölkerungsgröße wächst. In diesem Sinne repräsentiert eine Stimme Deutschlands ca. 8,2 Mio. Bürger, eine Stimme Luxemburgs aber nur ca. 200 000 Bürger.

Eine Untersuchung der Machtstrukturen innerhalb des Rates erweist sich ob der vielfältigen im Vertrag der Europäischen Gemeinschaft aufgeführten Abstimmungsregeln als komplex. Im Folgenden wird deshalb weder auf das Zusammenspiel von Rat, Parlament und Kommission, noch auf alle Möglichkeiten der Beschlussfassung innerhalb des Rates eingegangen.

Im Zentrum der Analyse steht die Machtverteilung bei der Beschlussfassung mit qualifizierter Mehrheit nach Art. 205 Abs. 2 EGV. In diesem Fall kommen Beschlüsse, die auf Vorschlag der Kommission³⁵ zu fassen sind, mit einer qualifizierten Mehrheit von mindestens 62 Stimmen zustande. Die folgende Tabelle bezieht sich auf diesen Fall:

Der Ministerrat vor Nizza

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zunächst fällt auf, dass die qualifizierte Mehrheit so gewählt wurde, dass es keine größeren Abweichungen zwischen den relativen Stimmgewichten und der von den beiden Indizes gemessenen Macht gibt. Die Abweichungen von den relativen Stimmgewichten sind vor allem beim Shapley-Wert nicht systematisch. Ein Vergleich der beiden Indizes zeigt, dass die Machtschere zwischen großen und kleinen Mitgliedern beim Shapley-Wert größer als beim Banzhaf-Index ist. Die Wahl des richtigen Index ist somit strategieanfällig. Um auf einen zu geringen Einfluss hinzuweisen, würden sich die fünf größten Mitglieder des Banzhaf-Index bedienen, während die zehn kleineren Mitglieder auf ihre missliche Lage mit dem Shapley- Wert aufmerksam machen dürften.

Mit dem Vertrag von Nizza, der am 1. Januar 2005 in Kraft tritt, soll u.a. erreicht werden, dass sich die Macht im Rat stärker an der Bevölkerungszahl der Mitgliedstaaten orientiert.

Nach einer Änderung von Artikel 205 Abs. 2 EGV werden deshalb die relativen Stimmgewichte der fünf größten Mitglieder erhöht, die der zehn kleineren reduziert. Die qualifizierte Mehrheit wird nach der Neuordnung mit 169 Stimmen erreicht, was weiterhin einer Quote von ca. 71% entspricht.

An die Beschlussfassung mit qualifizierter Mehrheit auf Vorschlag der Kommission werden aber zwei neue Bedingungen geknüpft: Einerseits muss die Mindestzahl von 169 Stimmen von der Mehrheit der Mitglieder stammen, andererseits können Beschlüsse auf Antrag eines Mitgliedes nur dann zustande kommen, wenn die Staaten, die diese qualifizierte Mehrheit bilden, mindestens 62 % der EU-Gesamtbevölkerung repräsentieren. Erste Bedingung - ein Tribut an die kleineren Mitglieder - ist überflüssig. Die sieben größten Staaten vereinen nur 168 Stimmen auf sich, Beschlüsse mit weniger als acht Staaten sind somit überhaupt nicht möglich³⁶. Die zweite Bedingung soll wiederum die Macht der bevölkerungsreichen Staaten stärken.

In der unten aufgeführten Tabelle werden der Banzhaf-Index und der Shapley-Wert für den neuen Ministerrat einmal mit und einmal ohne Berücksichtigung der neuen Bevölkerungs- regel aufgeführt, um einen Vergleich mit den gegenwärtigen Machtstrukturen zu erleichtern. Unter Berücksichtigung der Bevölkerungsregel ist ein Mitglied einer Gewinnkoalition nun kritisch, wenn sein Ausscheiden entweder zum Verlust der nötigen Mindeststimmenzahl oder zu einer Verringerung der repräsentierten Bevölkerung unter die 62% Marge führt. Die beiden Indizes wurden mit einem Programm berechnet, das beide Bedingungen bei den Konzepten des Swings und des Pivots berücksichtigt.

Der Ministerrat nach Nizza

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Allein durch die Neugewichtung der Stimmen konnten die fünf größten Mitgliedstaaten leicht profitieren, die kleineren haben dahingegen an Macht verloren. Der Shapley-Wert betont die Unterschiede zwischen den großen und den kleinen Staaten wiederum stärker als der Banzhaf-Index. Nach beiden Indizes erlebt Spanien durch die Neuverteilung der Stimmen den größten relativen Machtzuwachs³⁷, den größten relativen Machtverlust erleiden dahingegen Dänemark, Finnland und Irland.

Berücksichtigt man die Bevölkerungsregel und vergleicht die endgültigen Machtstrukturen mit dem alten Ministerrat, fällt zunächst auf, dass mit Deutschland zum ersten Mal einem Mitglied mehr Macht als allen anderen zuteil wird. Allerdings ist der Unterschied zwischen Deutschland und den anderen drei großen Staaten marginal: Vereinfacht trifft Deutschland nach dem Banzhaf-Index 121 von 1000 Entscheidungen, die anderen drei jeweils nur 120.

Nach dem Shapley-Wert wird der größere Einfluss Deutschlands aber schon bei einer von hundert Entscheidungen ersichtlich. Den insgesamt größten relativen Machtzuwachs von 18% erfährt Deutschland nur nach dem Shapley-Wert, gemessen am Banzhaf-Index bleibt Spanien, das von der Bevölkerungsregel überhaupt nicht profitiert, mit einem Zuwachs von 20% der Gewinner von Nizza.

Einen zusätzlichen Nutzen aus der Bevölkerungsregel ziehen somit nur Deutschland, Italien und Frankreich. Betrachtet man den Shapley-Wert, so verringert diese Regel den Einfluss von Schweden, Österreich, Dänemark, Finnland und Irland nicht. Allein der Banzhaf-Index indiziert einen unbedeutende Machtverlust für diese Ländergruppe. Stärker betroffen von der Bevölkerungsregel ist da schon das kleinste EU-Mitglied Luxemburg, zumindest wenn man dieses Urteil auf Grundlage des Shapley-Wertes trifft.

Das Ziel einer stärkeren Berücksichtigung der repräsentierten Bevölkerungsgröße wurde durch den Vertrag von Nizza erreicht. Die Machtverschiebungen sind aber sicher nicht so groß, dass sich merkliche Unterschiede bei der Entscheidungsfindung innerhalb des Rates ergeben werden. Durch den sukzessiven Beitritt neuer Staaten, können sich die Kräfteverhältnisse aber schnell ändern. Machtindizes können bei deren Beurteilung hilfreich sein.³⁸

3.2 Das Parlament der Europäischen Union

Die Mitglieder des Europaparlaments lassen sich nach nationalen Parteien und europäischer Fraktionszugehörigkeit ordnen. So bilden die Mitglieder der konservativen nationalen Parteien zusammen die Fraktion der Europäischen Volkspartei.

Die Macht der Fraktionen lässt sich einfach mit dem Shapley-Wert berechnen. Allerdings wird hierbei vernachlässigt, dass Koalitionen ideologisch verwandter Parteien mit größerer Wahrscheinlichkeit entstehen werden.

Möchte man die Macht der Mitgliedstaaten untersuchen, ist es sicherlich nicht sinnvoll davon auszugehen, dass die Abgeordneten eines Landes ihr Votum einheitlich abgeben. Es sind deshalb zusätzliche Annahmen über das Abstimmungsverhalten der Parlamentarier nötig. Bomsdorf geht von einem zweistufigen Abstimmungsverfahren aus, in dem die Abgeordneten nationaler Parteien ihre Stimme innerhalb einer Fraktion zunächst geschlossen abgeben, auf parlamentarischer Ebene dann aber gebunden an ihre Fraktion abstimmen.

Nimmt man z.B. an, dass Beschlüsse innerhalb der Fraktion mit absoluter Mehrheit gefasst werden, können Shapley-Werte für die nationalen Gruppierungen innerhalb jeder Fraktion berechnet werden. Diese werden in einem zweiten Schritt mit dem Shapley-Wert der jeweiligen Fraktion auf der Ebene des Parlaments gewichtet. Dabei kann man wieder die Regel der absoluten Mehrheit - in diesem Fall von 314 Stimmen - zugrunde legen. Summiert man das dadurch entstehende Produkt über alle Fraktionen, erhält man ein Maß für die Macht eines Landes innerhalb des Plenums. Den Shapley-Wert eines Landes innerhalb einer Fraktion kann man als bedingte Wahrscheinlichkeit interpretieren. Der beschriebene Ansatz ist somit eine Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit mit:

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Für die Fraktionen innerhalb des Europaparla ments ergeben sich folgende Shaple -Werte³⁹: Shapley-Werte der Parteien im Europaparlament

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Für die Länder ergeben Berechnungen nach oben angeführten Annahmen folgende Werte: Machtwerte der Mitgliedstaaten im Europaparlament

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Die fraktionslosen Abgeordneten wurden, auch wenn sie aus dem gleichen Staat kommen, wie unabhängige Parteien behandelt. Die bedingten Shapley-Werte nehmen für das von einer 1-Personen Fraktion vertretene Land jeweils den Diktatorwert _ (Lj | Fi) = 1 an. Der Machtindex P (Lj) erfüllt nicht länger die Eigenschaften des Shapley-Wertes. Aus obiger Tabelle ist ersichtlich, dass P (Lj) nicht monoton in den Stimmgewichten ist. Schwedens a- priori-Abstimmungsmacht ist z.B. größer als die Portugals - obwohl es weniger Sitze im Parlament hat. Die Machtrangfolge der Länder im Europaparlament wird sich folglich nach jeder Wahl ändern, auch wenn die Anzahl der Sitze pro Land konstant bleibt.

ANHANG

Sitzverteilung im Europaparlament

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Fraktions interne Shapley-Werte der Mitgliedstaaten

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Rechenexempel: P (Deutschland) = 0,2601*0,3889 + 0,2111*0,1956 + 0,1064*0,0911 + 0,1345*0,0895 = 0,1642

LITERATUR

Bomsdorf, E. (1980). Die Kräfteverteilung im Europa-Parlament nach Fraktionen und Ländern. Zeitschrift für Parlamentsfragen, 11, 396-403.

Bomsdorf, E. (1981). The Distribution of Power in Specific Decision-Making Bodies. In: Holler (Hrsg.), Power, Voting and Voting Power. Würzburg.

Brams, S.J. (1975). Game theory and politics. New York.

Garfunkel, S. & Steen, L.A. (1989). Mathematik in der Praxis. Heidelberg.

Güth, W. (1992). Spieltheorie undökonomische (Bei)Spiele. Berlin.

Harsanyi, J.C. (1977). Rational behavior and bargaining equilibrium in games and social situations. Cambridge.

Holler, M.J. (1985). Ökonomische Theorie der Verhandlungen. München.

Holler, M.J. & Illing, G. (1993). Einführung in die Spieltheorie. Berlin.

Kirsch, W. (2001). Die Formeln der Macht. Die Zeit, Nr.12, 15. März, S.45.

Owen, G. (1971). Spieltheorie. Berlin.

Rapoport, A. & Cohen, A.(1984). Expected frequency and mean size of the paradox of new members. Theory and Decision, 17, 29-45.

Rapoport, A. & Cohen, A. (1986). Paradoxes of quarreling members in weighted majority games. Europäische Zeitschrift für Politische Ökonomie, 2/2, 235-250.

Shapley, L.S. & Shubik, M. (1954). A method for evaluating the distribution of power in a committee system. The American Political Science Review, 48, 787-792.

QUELLEN

Amtsblatt der Europäischen Gemeinschaften C80/1 (Vertrag von Nizza)

Homepage des Europaparlaments: http://wwwdb.europarl.eu.int/ep5/owa/p_meps2.repartition?ilg=DE&iorig=home IOP 2.0. Downloadseite: http://www.uni-konstanz.de/FuF/Verwiss/koenig/IOP.html Konsolidierte Fassung des Vertrags zur Gründung der Europäischen Gemeinschaft

[...]

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¹ Man spricht in dieser Interpretation des Shapley-Wertes auch vom Shapley-Shubik-Index.

² Zur charakteristischen Funktion vgl. Holler, Illing (1993), S.265-268.

³ Vgl. Holler, Illing (1993), S.263.

⁴ Vgl. Harsanyi (1977), S.215-216; Holler (1985), S.97; Güth (1992), S.287-289.

⁵ Vgl. Harsanyi (1977), S.236.

⁶ Der Nachweis wird in Owen (1971), S.182-186 oder Harsanyi (1977), S.215-226 erbracht.

⁷ Diese Schreibweise ist angelehnt an Bomsdorf (1981), S.284. Im Unterschied zu Bomsdorf verwende ich den Kleinbuchstaben s statt der Schreibweise |S| zur Bezeichnung der Anzahl der Mitglieder der Koalition S.

⁸ B ist das Ereignis, dass der Spieler i genau die s-te Position der großen Koalition besetzt. Dabei ist P(B)=1/n.

⁹ Vgl. Holler, Illing (1993), S.306; Owen (1971), S.166 und Brams (1975), S.158.

¹⁰ Vgl. Garfunkel, Steen (1989), S.140.

¹¹ Eine Definition findet man in Brams (1975), S. 162: ,,We call this player, who makes the difference between a coalition's being winning or losing, the pivot, and we designate the position he occupies in the sequential buildup of the coalition to be the pivotal position."

¹² Shapley, Shubik (1954), S.787.

¹³ Vgl. Holler, Illing (1993), S.307.

¹⁴ Siehe Holler, Illing (1993), S.317.

¹⁵ Holler, Illing (1993), S.317 benutzen den Begriff Swing, Brams (1975), S. 165 spricht in diesem Zusammenhang von critical defection: ,,We call a defection a critical defection if and only if it transforms a minimal winning coalition (with respect to at least one player) into a nonwinning coalition."

¹⁶ Holler, Illing (1993), S.318.

¹⁷ Vgl. Holler, Illing, (1993), S.328: ,, Entsprechend unterstellt man im Wahrscheinlichkeitsmodell, daß jeder Spieler sich mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 für eine Alternative entscheidet."

¹⁸ Siehe Holler, Illing (1993), S.318-319.

¹⁹ Vgl. Holler, Illing (1993), S.308.

²⁰ Vgl. Brams (1975), S.177-178.

²¹ Der Deutsche Bundestag von 1998 ist ein Abstimmungsgremium mit v1 = (335; SPD 298, CDU/CSU 245, FDP 43, Grüne 47, PDS 36) bzw. v2 = (335; SPD 298, CDU 198, CSU 47, FDP 43, Grüne 47, PDS 36) mit _(v1) = _(v1) = (1/2, 1/6, 1/6, 1/6, 0) und _(v2) = (7/11, 1/11, 1/11, 1/11, 1/11, 0), _(v2) = (3/5, 1/10, 1/10, 1/10, 1/10, 0).

²² Vgl. Brams (1975), S.178-180.

²³ Untersucht wurden Gremien mit zwei bis sieben ursprünglichen Mitgliedern, denen jeweils ein bis sechs neue Mitglieder beitreten. Die relativen Häufigkeiten des PNM wurden dann jeweils für eine Kombination einer bestimmten Anzahl alter und neuer Mitglieder errechnet, indem alle möglichen ganzzahligen Aufteilungen von bis zu 18 Stimmen auf die Mitglieder des erweiterten Gremiums gebildet wurden. Den Berchnungen zugrunde lagen die absolute, die 2/3- und die 3/4-Mehrheit. Siehe Rapoport, Cohen (1984), S.35.

²⁴ Rapoport, Cohen (1984), S. 44.

²⁵ Siehe Rapoport, Cohen (1984), S.36 und S.40.

²⁶ Vgl. Brams (1975), S.180-181.

²⁷ Siehe Rapoport, Cohen (1986), S.241.

²⁸ Diesmal wurde die relative Häufigkeit des PQM getrennt für jede Kombination einer bestimmten Stimmensumme zwischen 3 und 30 und einer Spielerzahl zwischen 3 und 10 errechnet, indem alle ganzzahligen Aufteilungen der Stimmensumme auf die Spieler zugrunde gelegt wurden. Siehe Rapoport, Cohen (1986), S.240.

²⁹ Siehe Rapoport, Cohen (1986), S.243.

³⁰ Siehe Rapoport, Cohen (1986), S.245.

³¹ Siehe Rapoport, Cohen (1986), S.248.

³² Holler, Illing (1993), S.314.

³³ Siehe Brams (1975), S.167-171.

³⁴ Siehe Harsanyi (1977), S.226-231.

³⁵ Einige Beschlüsse erfordern Einstimmigkeit, die einfache Mehrheit der Mitglieder oder die qualifizierte Mehrheit, die zusätzlich die Zustimmung von mindestens zehn Mitgliedern umfasst.

³⁶ Vgl. Kirsch (2001), S.45.

³⁷ ßi nach Nizza /ßi vor Nizza bzw. _i nach Nizza / _i vor Nizza

³⁸ Der theoretische Teil dieses Abschnitts beruht auf Bomsdorf (1980), S.396-398.

³⁹ Ausführliche Tabellen mit der Sitzverteilung und den bedingten Shapley-Werten befinden sich im Anhang.