Der elektrische Widerstand im Stromkreis

1. Einleitung

ln diesem Versuch untersuchen wir zunächst den Zusammenhang zwischen der elektrischen Spannung U, der Stromstärke I und des elektrischen Widerstands R. Anschließend finden wir heraus, wie sich ein elektrischer Widerstand in einer Schaltung verhält, wobei wir sowohl den unverzweigten als auch den verzweigten Stromkreis untersuchen.

2. Theorie

Um den Zusammenhang zwischen der Spannung, der Stromstäke und dem elektrischen Widerstand zu verstehen, müssen zunächst der Spannung- und Stromstärkebegriff definiert werden.

2.1 Definition grundlegender Größen in der Elektrotechnik

2.1.1 Spannung

Eine Spannung U ist definiert als Quotient aus der Arbeit W und der Ladung Q.

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Spannung entsteht also, wenn man Ladungen unter Arbeitsaufwand trennt. Die Einheit der Spannung ist das Volt.

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2.1.2 Stromstärke

Die Stromstärke I ist definiert als Quotient aus der Ladung Q und der Zeit t.

Die Einheit der Stromstärke ist das Ampère (A). Es herrscht folglich ein Strom von 1A, wenn eine Ladung von 1C innerhalb von einer Sekunde eine zuvor frei definierte Strecke" passiert.

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2.2 Widerstand

Da Elektronen in einem Leiter nicht völlig frei sind (mit Ausnahme der Supraleiter), geben diese Energie wieder an den Leiter ab, wodurch dieser sich erwärmt. Der Widerstand beschreibt nun, wie stark die Elektronen "abgebremst" werden.

2.2.1 Definition des ohmschen Widerstands

Unter dem ohmschen Widerstand R versteht man den Quotienten aus der Spannung U und der elektrischen Stromstärke I.

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Die Einheit des ohmschen Widerstands ist das Ohm. [R]=y = Ohm

2.2.2 Das ohmsche Gesetz

Das ohmsche Gesetz besagt, dass die an einem Widerstand abfallende Spannung U proportional zu dem Strom I ist, also U~l. Der elektrische Widerstand ist damit die Proportionalitätskonstante (siehe 2.2.1 für die sich daraus ergebende Gleichung).

Dieses Gesetz gilt allerdings nur, wenn der Widerstand R konstant bleibt (Widerstände, die diese Bedingung erfüllen, nennt man ohmsche Widerstände).

Ein konstanter Widerstand R ist in der Praxis allerdings eher unwahrscheinlich, da der Widerstand bei vielen Leitern temperaturabhängig oder anderen Einflüssen unterworfen ist (z.B. Magnetfeld). Das ohmsche Gesetz liefert bei dieser Art von Leitern also lediglich Näherungslösungen.

Um dennoch in der Praxis Messungen mit einem konstanten Widerstand durchzuführen, eignet sich die Verwendung von Konstantan, dessen Widerstandswert weitgehend unabhängig von der Temperatur ist.

2.3 Schaltbild zur Widerstandsmessung

Aus der Definition des Widerstands ergibt sich, dass dieser durch Messen der Spannung und der Stromstärke errechnet werden kann.

Zur Messung dieser Größen setzt man ein Voltmeter zur Bestimmung der Spannung und ein Ampèremeter zur Bestimmung der Stromstärke in den Stromkreis ein.

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3. Versuch

3.1 Vorversuch

ln diesem Vorversuch schalteten wir zunächst eine Glühlampe in einen Stromkreis (U=5V), um zu veranschaulichen, was die Begrenzung des elektrisches Stroms durch einen Widerstand zur Folge hat.

Wurde ein Widerstand von 47 Ohm in Reihe in den Stromkreis eingesetzt konnte ein Abnehmen der Leuchtstärke beobachtet werden.

Daraus schlossen wir zunächst, dass der Widerstand anscheinend den elektrischen Strom begrenzt.

Ersetzte man diesen Widerstand durch einen größeren Widerstand R mit einem Wert von 100 Ohm, so beobachtete man eine noch größere Abnahme der Leuchtstärke der Glühlampe.

Wir folgerten daraus, dass bei zunehmendem Widerstand die Stromstärke abnimmt.

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3.2 Reihenschaltung von Widerständen ln dem folgenden Versuch untersuchen wir, wie sich Widerstände im unverzweigten Stromkreis verhalten. Um akkurate Werte bei späteren Messungen im Stromkreis zu erhalten, mussten zunächst die Widerstände Ri und R2 bestimmt werden.

Dazu bauten wir eine Schaltung bestehend aus dem Widerstand Rn und einem Ampèremeter in Reihe zum Widerstand auf.

Die Spannung war konstant bei U=6V.

Für den Widerstand Ri konnten wir folgende Größen bestimmen:

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Für den Widerstand R2 konnten wir folgende Größen bestimmen:

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Der Messwert des ersten Widerstands war ziemlich akkurat (die Nenngröße betrug 100 Ohm), der zweite Messwert war mit 37 Ohm statt einem Nennwert von 47 Ohm recht ungenau. Da kein systematischer Fehler erkennbar war, schlossen wir auf eine Fehl­produktion.

Um nun herauszufinden, wie sich die Teilströme und Teilspannungen zwischen den Widerständen einer Reihenschaltung verhielten, bauten wir folgende Schaltung auf:

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Doch um eine Aussage über den Zusammenhang zwischen Teilstromstärke und Gesamtstromstärke bzw. Teilspannung und Gesamtspannung machen zu können, musste zunächst der Gesamtstrom und die Gesamtspannung gemessen werden. Dazu setzten wir ein Voltmeter parallel zum gesamten Stromkreis und ein Ampère- meter in Reihe ein.

Dabei konnten folgende Größen gemessen werden:

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Anschließend bestimmten wir die Teilstromstärken li und h durch Reihenschaltung eines Ampèremeters hinter den Widerständen.

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Als offensichtliche Schlussfolgerung ergab sich, dass die Teilstromstärken gleich sind (bzw. Ii=I2). Schaltet man also n Verbraucher (hier: Widerstände) hintereinander, so fließt durch jeden Verbraucher derselbe Strom.

Zur Messung der Teilspannungen wurde parallel zu dem jeweils zu messenden Widerstand ein Voltmeter geschaltet, welches folgende Werte für die Spannungen an Ri und R2 anzeigte:

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Da eine Addition der Teilspannungen Ui und U2 ungefähr (Ul + U2 = 5,9V) die zuvor bestimmte Gesamtspannung (U=6V) ergibt, folgerten wir daraus, dass man zur Berechnung der Gesamtspannung In einer Reihenschaltung von Verbrauchern die einzelnen Teilspannungen addieren muss.

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Um die Betrachtung der Schaltung zu vervollständigen, errechneten wir mit Hilfe des ohmschen Gesetzes des Gesamtwiderstand der Schaltung.

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Uns fiel dabei auf, dass der Gesamtwiderstand (147,5 Ohm) ungefähr gleich der Summe der Teilwiderstände (147 Ohm nach Kennwert, 133 Ohm nach Messung) ist.

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3.3 Parallelschaltung von Widerständen

Nachdem in den vorhergehenden Versuchen das Verhalten von Widerständen im unverzweigten Stromkreis untersucht wurden, wollten wir nun einen verzweigten Stromkreis betrachten. Dazu haben wir folgende Schaltung aufgebaut:

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Wie immer ermittelten wir die Gesamtstromstärke der Schaltung durch ein in Reihe geschaltetes Ampèremeter, die Gesamtspannung durch ein parallel zur gesamten Schaltung gesetztes Voltmeter:

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Anschließend führten wir wieder eine Messung der Teilstromstärken und Teilspannungen durch, indem wir das Ampèremeter in Reihe zu dem jeweiligen Stromzweig bzw. das Voltmeter parallel zum jeweiligen Stromzweig schalteten.

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Offensichtlich war zunächst, dass sich die Spannungen an den Widerständen im verzweigten nicht auf die einzelnen Stromzweige aufteilten, sondern stets konstant blieben:

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Eine Addition der Teilströme ergab ungefähr gleich den Gesamtstrom.

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Allgemein:

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Dies ist auch logisch nachvollziehbar, da sich der Strom im verzweigten Stromkreis (Parallelschaltung) auf die Stromzweige aufteilt und diese verzweigten Ströme anschließend wieder zu einem Strom "zusammenfließen".

Um die Betrachtung der Parallelschaltung zu vervollständigen, mussten wir noch den gesamten Widerstand der Schaltung berechnen, welcher sich aus dem ohmschen Widerstandsgesetz ergab:

Auffällig war, dass der Gesamtwiderstand der Schaltung selbst kleiner war als der kleinste Widerstand der Schaltung (R2 = 47 Ohm).

Die Erklärung hierfür ist ganz einfach:

Nach dem ohmschen Gesetz gibt es eine Abhängigkeit zwischen dem Widerstand R und der Stromstärke I, nämlich R ~ 1/1. Das heißt, dass bei zunehmender Stromstärke der Widerstand abnimmt. Und da wir wissen, dass sich im verzweigten Stromkreis die Teilströme addieren und eine Addition von positiven Zahlen immer größer gleich dem einzelnen Summanden sein muss, muss der Gesamtwiderstand der Schaltung aufgrund der oben beschriebenen Proportionalität kleiner gleich der einzelnen Widerstände sein.

Eine Parallelschaltung von Widerständen wird in der Praxis häufig als Ersatz für einen einzelnen Widerstand verwendet. Dadurch kann nämlich beispielsweise die erlaubte Verlustleistung erhöht werden.

Um einen Ersatzwiderstand für mehrere parallel geschaltete Widerstände zu finden, kann man folgende Formel einsetzen:

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3.4 Messung eines unbekannten Widerstands

Zur Messung eines unbekannten Widerstands verwendet man in der Schule eine einfache Schaltung bestehend aus dem Widerstand, einem in Reihe geschalteten Ampèremeter zur Bestimmung der Stromstärke und einem Voltmeter zur Bestimmung der Spannung. Aus den zwei gewonnen Größen lässt sich dann mit Hilfe des ohmschen Gesetzes der Widerstand errechnen.

In der Praxis sind allerdings Multimeter zur Bestimmung von Widerständen üblich, die den Widerstandswert vollautomatisch berechnen.

Um die Bestimmung ohne Messgerät zu ermöglichen, sind auf einem Widerstand meist Farbringe aufgetragen, wodurch eine Bestimmung mit Hilfe einer Tabelle möglich wird. Kohleschichtwiderstände haben meist vier Ringe aufgedruckt, bei Hochpräzesionswider- stände weisen hingegen häufig fünf Ringe auf.

Als Beispiel habe ich einen Kohleschichtwiderstand mit der folgenden Ringkombination ausgemessen:

braun-schwarz-rot-gold.

Nach Tabelle hat dieser Widerstand einen Wert von 1000 Ohm (ergibt sich aus den ersten drei Ringen). Der letzte Ring (gold) gibt die Toleranz des Widerstands an.

Gold bedeutet zum Beispiel, dass der Wert des Widerstands im Bereich von 950 Ohm - 1050 Ohm liegen sollte (das entspricht einer Toleranz von +/- 5%). Eine Messung mit Hilfe des Multimeters ergab einen Wert von 999,5 Ohm, was bedeutet, dass der Widerstandswert innerhalb der Toleranzgrenze liegt und dabei noch sehr genau gefertigt wurde.