Hyperdimensionale Geometrie

Index

1. Einführung
1.1 Das Höhlengleichnis von Platon Definition einer Dimension und geometrische Einordnung
1.2 Flatland Konstruktion eines Hyperkubus
1.3 Alternative Visualisierungsmethoden Vorzüge und Nachteile der Darstellungen von 4-dimensionalen Objekten
1.4 Bau eines n-Dimensionalen Kubus Struktur und Bauelemente eines n-Dimensionalen Würfels

2. Mathematischer Nutzen
2.1 Projektive Geometrie zweier Ebenen Einführung in die Projektive Geometrie
2.2 Projektive Geometrie durch den Hyperraum Adaption der Projektiven Geometrie für den Hyperraum

3. Anhang
3.1 Referenzen
Literaturverzeichnis
3.2 Nachwort Was den Rahmen dieser Arbeit alles gesprengt hätte

1. Einführung

1.1 Das Höhlengleichnis von Platon

In dem siebten Buch seines Werkes „Politeia“ stellt Platon als Aufzeichnung eines Gespräches zwischen ihm und seinem Freund Glaukon das berühmte Höhlengleichnis auf:

Einige Menschen sitzen gefesselt so in einer Höhle, dass sie nur die dem Höhleneingang abgewandte Seite sehen können. Die Gefesselten verbrachten schon ihr ganzes Leben mit Blick auf die Höhlenwand, unvermögend, ihren Kopf zu wenden. Vor dem Höhleneingang brennt ein Feuer, welches die einzige Lichtquelle darstellt. Zwischen Feuer und Höhle aber verläuft ein Weg, auf dem Gaukler ihre Kunststücke zeigen und Menschen allerlei Dinge umhertragen. Die in der Höhle Gefangenen sahen ihr Leben lang nur die Schatten der Menschen, hörten nur die durch die Höhlenwände verzerrten Geräusche ihrer Unterhaltungen.

Wenn nun einer der Gefesselten befreit und aus der Höhle gezerrt wird, wird er immense Schmerzen haben, verursacht durch das Licht. Er wird das sehen, von dem er zuvor nur die Schatten kannte, vermutlich orientierungslos wanken. Ihm wird das, was er zuvor kannte, viel „wirklicher“ vorkommen. Wenn er aber in die Höhle zurückkehrt und seinen ehemaligen Mitgefangenen von seinen Entdeckungen erzählt, werden sie ihm nicht glauben, ihn verspotten oder gar als Ketzer umbringen.

Heute sind glücklicherweise in den meisten Ländern die Zeiten vorbei, in denen man als Ketzer an die Wand gestellt wird, dennoch verliert die Analogie nicht an Wert. Denn ebenso, wie der Gefesselte zum ersten Mal in seinem Leben einen Körper wahrnehmen konnte, wird es wohl einem Menschen ergehen, der den Raum zum ersten Mal verlässt. Doch zunächst möchte ich den Begriff des „Raumes“ definieren.

Der Raum ist der Spezialfall einer Dimension. Somit gilt es, eine Dimension zu definieren. Es gibt mehrere Definitionen, die zum Teil in der Nicht-Euklidischen Geometrie zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Für euklidische Betrachtungen, auf denen die folgende Arbeit aufbauen wird, möchte ich mich auf folgende Definition einlassen:

Der Grad einer Dimension wird bestimmt durch die Anzahl der Geraden, die in dieser Dimension paarweise im rechten Winkel zueinander durch einen gemeinsamen Punkt konstruiert werden können.

Jede Bewegung innerhalb eines n -Dimensionalen Raumes kann mit n zu den Geraden paralleler Bewegungen dargestellt werden.

Diese Geraden werden im Allgemeinen als „Achsen“ bezeichnet. In der Ebene können wir zwei solcher Geraden konstruieren, im Raum drei. Die Dimension, in der vier Achsen existieren, wird mangels eines speziellen Begriffes als „Hyperraum“ bezeichnet (Das Präfix „Hyper-“ bezeichnet in diesem Zusammenhang jeweils die Analogie in der nächst höheren Dimension: Die Hyperebene ist also nichts weiter als der Raum).

1.2 Flatland

Ohne Probleme ist es möglich, in unserem Raum lediglich zwei oder nur eine Achse anzubringen, und so zweidimensionale oder lineare Figuren abzubilden. Was aber, wenn wir vierdimensionale Figuren veranschaulichen wollen?

Zunächst brauchen wir dazu ein gewisses Repertoire an hyperräumlichen Objekten. Das wohl am einfachsten zu beschreibende ist die Hyperkugel. Alle Punkte liegen gleichweit vom Mittelpunkt entfernt. Interessanter noch ist allerdings der Hyperkubus, von C. Hinton auch „Tesserakt“ genannt. Die Konstruktion eines solchen folgt einer strengen Analogie. Zunächst betrachtet man einen Punkt in der ersten Dimension. In der zweiten Dimension hat er eine Möglichkeit sich zu bewegen, nämlich von rechts nach links (eine Bewegung von links nach rechts ist betragsgleich und nicht weiter relevant). Diese Bewegung lässt eine Strecke entstehen (Abb. 1). In der zweiten Dimension kann sich diese Strecke von vorn nach hinten bewegen und erzeugt so ein Quadrat (Abb. 2). Die dritte Dimension ermöglicht eine Bewegung von unten nach oben, um einen Würfel zu konstruieren (Abb. 3). Eine Bewegung auf der vierten Achse, von präsig nach postig, schafft einen Hyperkubus (Abb. 4). Schon einen Würfel auf dem Papier zu zeichnen, bedurfte eines Tricks: Die Raum-Achse wurde nicht senkrecht zur Ebene, sondern in der Ebene angebracht. Unser auf räumliche Wahrnehmung geschulter Verstand interpretiert sofort einen Kubus. Ähnlich wurde bei der Hyperachse verfahren.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3 Abb. 4

So können wir zumindest annäherungsweise hyperdimensionale Figuren abbilden. Edwin A. Abbott (1838 bis 1926) beschrieb mit seinem Roman „Flatland – A Romance Of Many Dimensions“ eine weitere Möglichkeit dazu, nämlich die Analogie in der Ebene.

Er stellte sich zweidimensionale Lebewesen vor, die ihr ganzes Leben auf einer Ebene verbringen. Nun wird eine Kugel durch diese Ebene gestoßen: Die Flachländer sehen zunächst einen Punkt, der sich zu einem Kreis ausdehnt, bis dieser den Radius der Kugel hat, dann wieder zusammenzieht und letztlich verschwindet. Komplizierter wird das bei einem Würfel. Liegt dieser im Raum so, dass alle Seiten entweder Orthogonal oder Parallel zu der Ebene liegen, werden die Flachländer nur ein Quadrat beobachten. Liegt die Raumdiagonale des Würfels orthogonal zur Ebene, erscheint zunächst ein Punkt, der sich zu einem Dreieck ausdehnt, dann ein Sechseck wird. Liegt der Mittelpunkt der Raumdiagonalen auf der Ebene, so liegt ein regelmäßiges Sechseck im Flachland. Anschließend verformt sich das Sechseck wieder zum Dreieck und verschwindet.

Sticht ein Hyperkubus mit seiner Hyperraumdiagonalen parallel zum Raum durch den Raum, werden wir also zunächst ein Tetraeder wahrnehmen, welcher sich anschließend zu einem regelmäßigen Oktaeder verformt. Der Oktaeder bildet sich über ein Tetraeder zu einem Punkt zurück und verschwindet.

Somit besteht also die Möglichkeit, hyperdimensionale Objekte darzustellen, indem man die Querschnitte mit einem Raum zeitlich versetzt darstellt. Eine Annäherung kann bei in mindestens zwei Dimensionen endlichen Objekten durch endlich viele, räumlich versetzte Schnitte erreicht werden.