Kubische Gleichungen nach Girolamo Cardano

Inhalt:

1. Vorwort

2. Girolamo Cardano
2.1. Kurzbiografie
2.2. Cardanos Werke

3. Kubische Gleichungen
3.1. allgemeines
3.2. Cardanos Lösung der kubischen Gleichung
3.2.1. historischer Kontext
3.2.2. mathematische Lösungsansätze
3.2.3. grafische Veranschaulichungen und Regeln

4. Literatur- und Quellenverzeichnis

Erklärung

Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe verfasst und keine anderen als die im Literaturverzeichnis angegebenen Hilfsmittel verwendet habe.

Insbesondere versichere ich, dass ich alle wörtlichen und sinngemäßen Übernahmen aus anderen Werken als solche kenntlich gemacht habe.

Zugleich erteile ich interessierten Schülern die Erlaubnis, später Einblick in diese Facharbeit zu nehmen und sie als Wissensgrundlage oder Anschauungsmaterial zu verwenden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Vorwort

In dieser Facharbeit befasse ich mich mit den von Girolamo Cardano (1501 – 1576) im Jahr 1545 aufgestellten Lösungsansätzen für kubische Gleichungen, mit deren Entstehungsgeschichte und der Biografie und Bibliografie des italienischen Astrologen, Mathematikers und Arztes.

Auch wenn seine astrologischen und medizinischen Werke und Thesen heute fast vergessen sind, so sind seine Lehren bis heute eine wichtige Grundlage für viele Zweige der Mathematik.

2. Girolamo Cardano

2.1 Kurzbiografie

Girolamo Cardano wird am 24. September 1501 in Pavia (Italien) als uneheliches Kind von Fazio Cardano und Chiara Micheri geboren.¹ Er hat eine schwere Kindheit, in deren Verlauf er viele Krankheiten bekommt. 1520 beginnt er ein medizinisches Studium in Pavia, das er 1526 in Padua erfolgreich beendet. 1531 heiratet er Lucia Dandarini, mit der er zwei Söhne und eine Tochter haben wird. 3 Jahre später, im Jahr 1534, zieht er mit seiner Familie nach Milan und unterrichtet dort Griechisch, Astronomie, Mathematik und Dialekte. 1539 wurde er Mitglied des medizinische Kollegiums von Mailand und verfasste sein erstes mathematisches Werk, die Practica Aritmetica (Praktische Arithmetik). Diesem folgte 1545 das Artis magnae sive de regulis algebraicis liber umos (Buch der großen Kunst der algebraischen Regeln), in welchem er unter anderem das System der kubischen Gleichungen erläutert, das auch Gegenstand dieser Facharbeit ist.

2 Jahre zuvor, im Jahr 1543, übernahm er den medizinischen Vorsitz an der Universität von Pavia. Das Jahr 1552, das er in Schottland verbrachte, war ein Höhepunkt in Cardanos Leben, denn dort unterrichtete er den Erzbischof von Edinburgh – ein Beweis dafür, dass er zu diesem Zeitpunkt bereits ein sehr gefragter Physiker war. Nur wenig später, im Jahr 1560, allerdings schlug das Schicksal zu: In diesem Jahr nämlich musste er die Stadt Milan in Schande verlassen, als sein ältester Sohn Giambattista am 13. April im Gefängnis enthauptet wurde. Man beschuldigte diesen, Cardanos zu diesem Zeitpunkt noch von einer Geburt geschwächte zweite Frau Brandonia Di Seroni vergiften zu wollen. In seiner Autobiografie „ De vita propria liber “ (Buch über mein eigenes Leben) schreibt Cardano: „Und dies war mein höchstes, mein krönendes Unglück“.

Lange jedoch ließ sich Cardano davon nicht entmutigen, denn bereits im selben Jahr wurde er Medizinprofessor an der Universität von Bologna. Das Glück währte nicht lange: 1569 wurde sein Sohn Aldo aus Bologna verbannt, weil er seinen Vater bestohlen hatte, ein Jahr später wurde ihm selbst seine Liebe zur Astrologie zum Verhängnis, denn er wurde von der Inquisition^[2] wegen Ketzerei gefangen gesetzt, weil er das Horoskop Jesu Christi erstellt hatte^[3]. Er wurde nach wenigen Monaten freigelassen, bekam aber ein Publikations- und Lehrverbot erteilt. 1571 ging Cardano nach Rom, wo er 1573 von Papst Gregor XIII eine Pension erhielt. Am 21. September 1576 beging Cardano Selbstmord und erfüllte damit seine Autobiografie, in der er sich selbst ein Alter von 75 Jahren voraussagte.

2.2 Cardanos Werke

Außer seiner Autobiografie und der „Ars Magna“ verfasste Cardano noch weitere Werke^[4]:

Sein erstes medizinische Werk „de malo recentiorum medicorum usu libellus“, in dem er seine Berufskollegen sehr kritisierte, indem er ihnen vorwarf, ihr Patienten falsch zu behandeln, wurde 1536 veröffentlicht. Es folgten zunächst mathematische Schriften: In seinen „practica aritmetica“ (1539) behandelt er vor allem die allgemeinen arithmetischen Regeln, während er in dem Buch „artis magnae sive de regulis algebraicis liber umos“ (Nürnberg 1545) Besonderheiten der Algebra beschreibt. Durch dieses Werk ist er noch heute bekannt, da er dort als erster Mathematiker die Lösungsgleichungen für die Nullstellen kubischer Gleichungen veröffentlichte.

In seinem Werk „de subtilitate" (Nürnberg 1550) erstellte Cardano ein System zur Beschreibung der physischen Welt, das er in „de rerum varietate" (Basel 1557) anhand konkreter Beispiele näher erläuterte^[5].

Erst lange nach seinem Tode wurden seine selbstkritische Autobiografie „de propria vita“ (1643) sowie seine Abhandlung über die Wahrscheinlichkeitsrechnung „de ludo aleae“ (1663) veröffentlicht, die ihre praktische Anwendung dadurch erfuhr, dass Cardano sein Leben lang dem Glücksspiel zugetan war.

Sein Gesamtwerk, das noch viele weitere Schriften enthält, ist in den „Opera Omnia“ (Lyon 1663, deutsche Fassung 1966) zusammengefasst.

3. Kubische Gleichungen

3.1 allgemeines

Als „kubische Gleichungen“ werden Polynome des Formats x³ + ax² + bx + c = 0 bezeichnet. Man löst sie folgendermaßen^[6]:

Schritt 1: Substitution; die Formel wird in die so genannte „reduzierte Normalform“ überführt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Schritt 2: Man erhält folgende Lösungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Solche allgemeinen Lösungen gibt es bereits seit fast 500 Jahren. Cardano war der erste, der sie veröffentlicht hat. Im Folgenden möchte ich darauf näher eingehen:

3.2 Cardanos Lösung der kubischen Gleichung

3.2.1 Historischer Kontext

Während man quadratische Gleichungen etwa seit dem 8. Jahrhundert lösen konnte, gab es lange Zeit kein Lösungsverfahren für Gleichungen 3. Grades.^[7] Arabische Mathematiker kannten bereits im 11. Jahrhundert geometrische Lösungsansätze, aber eine einheitliche Lösungsformel hatten sie nicht. Erst im 16. Jahrhundert wurde eine Lösungsformel veröffentlicht; Cardanos „Ars Magna“ stellte diese Lösung erstmals der Öffentlichkeit zur Verfügung. Doch auch wenn Cardano heute bekannt für dieses Werk und insbesondere „seine“ Lösungsvarianten ist – das Lösungsverfahren ist nicht sein Werk.

Am Anfang des 16. Jahrhunderts, wie man heute weiß, war Scipione dal Ferro, Mathematikprofessor an der Universität von Bologna, an der damals auch Cardano Professor war, im Besitz einer Lösungsformel für r³ + pr – q = 0 (wobei p ≥ 0, q ≥ 0). Diese hat er jedoch nie selbst veröffentlicht. Lediglich zwei seiner Schüler, Annibale dalla Nave und Antonio Maria Fior, bekamen sie von ihm mitgeteilt.

Im Jahr 1535 forderte er den venezianischen Mathematikprofessor Nicolo Tartaglia^[8] (1499/1500 – 1557) zu einem Wettstreit heraus, bei dem dieser 30 Aufgaben der Form r³ + pr = q lösen sollte. Die Aufgaben waren bei einem Notar hinterlegt, um sicherzustellen, dass alles mit rechten Dingen zugehe. Nur wenige Stunden, bevor die Frist abgelaufen wäre, fand Tartaglia die Lösungsformel und löste alle Aufgaben in nur zwei Stunden.

Es blieb nicht aus, dass Cardano von diesem Erfolg erfuhr, und so bat er Tartaglia darum, die Lösungsformel zu bekommen, um diese für die wissenschaftliche Verwendung in seinem nächsten Buch der Öffentlichkeit zur Verfügung zu stellen. Tartaglia wollte jedoch den Ruhm selbst einstreichen, da er die Formel selbst gefunden hatte, und lehnte ab. Schließlich jedoch überließ er Cardano die Formel, allerdings unter der Bedingung, dass Cardano sie ausschließlich für seine eigenen Zwecke verwenden und niemals Dritten mitteilen dürfe.

Er gab ihm die Formel in Form eines Gedichtes^[9], das Prof. Dr. Heinz Lüneburg wie folgt übersetzte:

Wenn der Kubus mit den Coßen daneben

gleich ist einer diskreten Zahl,

finden sich als Differenz zwei andere in dieser.

Dann halte es wie gewöhnlich,

dass nämlich ihr Produkt gleich sei

dem Kubus des Drittels der Coßen,

Und der Rest dann, so die Regel,

ihrer Kubusseiten wohl subtrahiert

wird sein deine Hauptcoß.

In dem zweiten von diesen Fällen,

wenn der Kubus allein steht

und du betrachtest die anderen zusammengezogen,

Von der Zahl mache wieder zwei solche Teile,

dass der eine in den anderen multipliziert

den Kubus des Drittels der Coßen ergibt.

Von jenen dann, so die gemeine Vorschrift,

nimm die Kubusseiten zusammen vereint

und diese Summe wird dein Konzept sein.

Die dritte nun von diesen unseren Rechnungen

löst sich wie die zweite, wenn du wohl beachtest,

dass sie von Natur aus gleichsam verwandt sind.

Cardano jedoch brach seinen Schwur, nachdem er die Formel erhalten hatte, und veröffentlichte sie in der „Ars Magna“, nicht ohne dal Ferro als Urheber und Tartaglia als „Wiederentdecker“ zu erwähnen. Tartaglia war dementsprechend erbost, zum einen darüber, dass Cardano sein Versprechen nicht eingehalten habe, zum anderen darüber, dass er, Tartaglia, nicht als Urheber genannt wurde. Cardanos Schüler Ludovico Ferrari (1522 – 1569), der Zeuge der Übergabe gewesen war, bezeugte jedoch, dass Cardano niemals ein solches Versprechen gegeben habe. Es folgte ein langer Streit zwischen Ferrari, der Cardano verteidigte, und Tartaglia; Ferrari schrieb sechs mal sachliche, mal zynische Fehdebriefe, die Tartaglia seinerseits jedes Mal in ähnlicher Weise beantwortete. Dieser Streit verschaffte Ferrari öffentliches Aufsehen und brachte ihm einige lohnenswerte Aufträge ein, während Tartaglia an ihm letztendlich zugrunde ging und 1557 vereinsamt und verarmt in Venedig starb.

3.2.2 Mathematische Lösungsansätze

Im Folgenden möchte ich versuchen, Tartaglias Gedicht zu interpretieren:

Die gesuchte Lösung (x) wird in dem Gedicht mit „Coß“ bezeichnet, das kubische Glied r³ mit „Kubus“. Es ergibt sich also folgende Formel^[10]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Lösung der Gleichung lautet also

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die Gleichung zu lösen, muss man nun noch u und v bestimmen. Dies jedoch wird im Gedicht nicht beschrieben, ist aber mathematisch nicht allzu schwer zu lösen:

Zunächst lösen wir die erste Gleichung (#) nach u auf:

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Das setzen wir nun in (##) ein:

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Für v erhalten wir also folgende Lösung:

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Wir ziehen die Wurzel…

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

… und erhalten folgendes Ergebnis für r:

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Anhand dieser Lösungsmethode fand Cardano 13 Typen von kubischen Gleichungen^[11], die er wie folgt beschrieb^[12]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2.3 Grafische Veranschaulichungen und Regeln

Cardano löst die erste Gleichung, indem er anstelle der Unbekannten a eine Differenz von zwei (gedachten) Hilfsvariablen verwendet (im Folgenden als u und v bezeichnet). Als grafische Veranschaulichung betrachtet er einen Würfel^[13]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um das Problem zu lösen, formulierte Cardano folgende Regel^[14]:

Erhebe ein Drittel des Koeffizienten von x zur dritten Potenz; addiere dazu das Quadrat der halben Konstanten und ziehe daraus die Quadratwurzel. Diese schreibst du zweimal an, und zu einer addierst du die Hälfte der Zahl, die du quadriert hast, und von der anderen subtrahierst du diese Hälfte. Du hast dann ein Binomium und sein Apotome. Dann subtrahierst du die Kubikwurzel des Apotome von der Kubikwurzel des Binomium, und was übrig bleibt, ist der Wert von x.

In eine Formel umgewandelt, lautet diese Regel folgendermaßen:

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Den zweiten Gleichungstyp (x³ = ax + b) löst Cardano ähnlich dem ersten:

Zunächst stellt er folgende Hilfsgleichungen auf:

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Aus diesen Gleichungen ergibt sich folgende Regel:

Wenn der Kubus von einem Drittel des Koeffizienten von x nicht größer ist als das Quadrat der halben Konstanten, subtrahiere den ersteren vom letzteren; addiere die Quadratwurzel des Restes zur Hälfte der Konstanten und subtrahiere sie andrerseits von derselben Hälfte; wie oben erwähnt, hast du ein Binomium und ein Apotome. Die Summe ihrer Kubikwurzeln ergibt der Wert von x.

Die Formel lautet also folgendermaßen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auch für alle anderen Gleichungstypen findet Cardano ähnliche Regeln; er nennt sogar einen Lösungsweg für Gleichungen 4. Grades, den allerdings sein Schüler Ferrari entdeckt hatte.

Negative Zahlen oder gar Lösungen (bei Cardano „fiktive“ oder gar „falsche“ Lösungen) allerdings, auch wenn sie durchaus existieren, vermeidet er so gut wie möglich; so gibt er in Kapitel XIII einen ziemlich komplizierten Lösungsweg für den Fall "Ein Kubus und eine Zahl sind gleich Unbekannten" an, obwohl er diese Gleichung mit der vorhin erwähnten Regel ganz leicht lösen könnte.^[15]

4. Literatur- und Quellenverzeichnis

Literaturquellen

- Girolamo Cardano, „Opera omnia“, deutsche Ausgabe, Stuttgart 1966
- Markus Fierz, „Girolamo Cardano“, 1. Auflage, 1977, Birkhäuser Verlag, Seite 23f.

Internetquellen

- http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/geogl4.htm
- http://www.bautz.de/bbkl/c/cardano_g.shtml
- http://www.mathe.braunling.de/Alggl.htm
- http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/tartaglia.html
- http://www.mathematik.uni-kl.de/~meyer/Cardano/card.html
- http://www.ksk.ch/mathematik/mathonline/biographien/renaissance/cardano.htm
- http://www2.iicm.edu/0x811bc833_0x0007619c

Bildquellen

- http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/geogl4.htm

[...]

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^[1] Quellen: http://www.ksk.ch/mathematik/mathonline/biographien/renaissance/cardano.htm, http://www.bautz.de/bbkl/c/cardano_g.shtml

^[2] cf. http://www2.iicm.edu/0x811bc833_0x0007619c

^[3] zu finden in den „Commentariorum in Ptolemaeum de Astrorum iudiciis Libri IV“

^[4] Quelle: Markus Fierz, „Girolamo Cardano“, 1. Auflage, 1977, Birkhäuser Verlag

^[5] Zitat aus http://www.bautz.de/bbkl/c/cardano_g.shtml

^[6] Formelquelle: http://www.mathe.braunling.de/Alggl.htm

^[7] Quelle: http://www.mathematik.uni-kl.de/~meyer/Cardano/card.html

^[8] cf. http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/tartaglia.html

^[9] zu finden in der „Ars Magna“

^[10] Formelquelle: http://www.mathematik.uni-kl.de/~meyer/Cardano/card.html

^[11] zu finden in der „Ars Magna“

^[12] Cardano selbst verwendete keine Formeln; diese dienen hier nur zum besseren Verständnis.

^[13] Quelle: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/geogl4.htm

^[14] Quelle: „Ars Magna“

^[15] Zitat aus: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/geogl4.htm