Gruppen, Ringe, Körper in der Mathematik (Zahlentheorie) am Beispiel der Zahlbereichserweiterungen

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Erläuterung Gruppen, Ringe und Körper
2.1 Verknüpfungen
2.2 Gruppen
2.3 Ringe
2.4 Körper

3. Andere Verknüpfungsarten als + undAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
3.1 Restklassen
3.2 Additive Restklassengruppe
3.3 Restklassenringe und Körper

4. Anwendung bei den Zahlbereichserweiterungen
4.1 Die Menge der natürliche Zahlen
4.2 Der Ring der ganzen Zahlen
4.3 Der Körper der rationalen Zahlen
4.4 Vervollständigung zu den reellen Zahlen
4.5 Mögliche weitere Erweiterungen und Ausblicke

5 Schlussteil

6 Literaturverzeichnis

7 Anhang
7.1. Wikipedia Axiom
7.2. Keilbach, Komplexe Zahlen
7.3. TU Freiberg, Zur Geschichte der Gruppentheorie

1. Einleitung

Was sind eigentlich Gruppen, Ringe und Körper? Diese drei Begriffe stammen aus der Gruppentheorie, welche ein Teil der Mathematik ist. Entstanden ist dieser Teil der Algebra im 19. Jahrhundert, obwohl mit Gruppen auch schon vorher gearbeitet wurde. Jedoch waren diese Gruppen dort nicht über Axiome^[1] definiert. Axiome sind Grundge­geben­heiten, die man nicht beweisen kann. Beim Aufstellen von Definitionen oder Gleichungen versucht man stets durch Umformungen auf Axiome zurückzukommen.^[2]

Zu erst wurden Gruppen, Ringe und Körper allgemein als Algebra bezeichnet, jedoch wurde zur Abgrenzung gegenüber anderen Algebragebieten ein eigenes Teilgebiet, die abstrakte Algebra für Gruppen, Ringe und Körper eingeführt.

Anhand der Gruppentheorie wurde die Erweiterung von Zahlbereichen begründet und durch die selbe Methode wurden beispielsweise auch neue Zahlenmengen, wie die komplexen Zahlen ÿ oder andere Zahlenmengen, die aus mehrdimensionalen Gebilden bestehen, wie z.B. die Quaternionen, Oktaven oder Sedenionen, eingeführt. Eine Ausarbeitung der zuletzt genannten Mengen, würde den Rahmen dieser Facharbeit jedoch erheblich überschreiten.
In dieser Facharbeit werde ich auf die Grundlagen der Gruppentheorie eingehen und anhand von Beispielen die Erweiterungen von natürlichen Zahlen û, über Zwischen­schritte bis zu den reellen Zahlen þ verdeutlichen.

2. Erläuterung Gruppen, Ringe und Körper

2.1 Verknüpfungen

Um die Definition einer Gruppe zu verstehen, muss man vorher wissen, was eine Verknüpfung ist. Allgemein ist eine Verknüpfung der Oberbegriff für eine Rechenoperation. Dabei gibt es verschiedene Arten von Verknüpfungen. Es gibt einstellige, zweistellige und mehrstelligen Verknüpfungen. Hauptsächlich werde ich hier die zweistelligen Verknüpfungen erläutern, weil die anderen für mein Thema nicht von großer Bedeutung sind.

Eine einstellige Verknüpfung ist eine Rechenoperation, bei der nur ein Element einer Menge und ein Symbol gegeben sind. Beispiele für eine einstellige Verknüpfung sind z.B. die Negation (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten), der Kehrwert (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) oder die Fakultät (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten). Diese Verknüpfungen heißen einstellig, da mit einem Element und dem Symbol für die Verknüpfung auf ein anderes Element verwiesen wird.

Zweistellige Verknüpfungen sind die meistgenutzten Verknüpfungen. Sie bestehen aus zwei Elementen und einem Verknüpfungssymbol, welches meistens zwischen den beiden Elementen steht und eine Rechenoperation beschreibt, die mit den beiden Elementen durchgeführt wird. Geläufige zweistellige Verknüpfungen sind die vier Grundrechenarten: Die Addition (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten), deren Umkehrung die Subtraktion (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ), die Multiplikation (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) und deren Umkehrung die Division (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten). Nun gibt es aber auch Verknüpfungen die neu definiert werden.

„Auf der Menge G ist eine Verknüpfung o erklärt, wenn für jedes geordnete Paar a, b i G [das Ergebnis] eindeutig definiert ist, was unter aob zu verstehen ist.“^[3]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Solche zweistellige Verknüpfungen sind in Beispiel 1 erkenntlich. Wir gehen dabei als Grundmenge von den reellen Zahlen aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Verknüpfungen sind für alle Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten þ definiert. Dagegen wäre der Term aus Beispiel 2 keine Verknüpfung in þ, weil er nur für positive Produkte Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten definiert wäre.

2.2 Gruppen

Eine Zahlenmenge M und eine zweistellige Verknüpfung o bilden eine Gruppe (G, o), wenn folgende vier Axiome erfüllt sind:

1. Abgeschlossenheit: Zu jedem Element Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist das Ergebnis der Verknüpfung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wieder ein Element von M. Zum Beispiel ist die Menge û bezüglich der Addition abgeschlossen, weil alle Summen von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten û ein Ergebnis in der Menge der natürlichen Zahlen ergeben.
Dagegen ist die Menge û bezüglich der Subtraktion nicht abgeschlossen, denn Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten würde ein negatives Ergebnis liefern, welches keine natürliche Zahl ist.

2. Assoziativität: Für die Verknüpfung o muss das Assoziativgesetz gelten:
(a o b) o c = a o (b o c)
Dieses Gesetz besagt, dass die Reihenfolge, in der man die Verknüpfungen ausführt vertauschbar ist.

3. Existenz eines neutralen Elements: Es existiert ein Element n, dass für die Verknüpfung o das Ergebnis nicht beeinflusst . a o n = a = n o a
Das neutrales Element der Addition ist z.B. die 0 (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten). Bei der Multiplikation ist das neutrale Element 1 (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten).

4. Existenz eines inversen^[4] Elements: Es existiert zu jedem Element a ein inverses Element i zu a, so dass für die Verknüpfung mit dem Element i das Ergebnis der Verknüpfung das neutrale Element ist: a o i = n und i o a = n.
Bei der Schreibweise des inversen Elementes unterscheidet man zwischen multiplikativem (a-1) und additivem inversen Element (–a).
Für die uns bekannte Addition ist das inverse Element das Negative einer Zahl. Bei der Multiplikation spricht man vom Kehrwert.

Wenn zusätzlich das Kommutativgesetz (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) bezüglich der Verknüpfung o gilt, spricht man von einer kommutativen oder abelschen^[5] Gruppe.

Verallgemeinerungen einer Gruppe sind eine Halbgruppe mit nur den ersten beiden Axiomen, oder ein Monoid mit den ersten drei Axiomen.

2.3 Ringe

Ringe sind Mengen mit zwei, innerhalb des Ringes definierten, zweistelligen Verknüpfungen. Diese beiden Verknüpfungen werden additive und multiplikative Verknüpfung genannt, können sich aber in ihrer Ausführung der uns bekannten Addition und Multiplikation unterscheiden. Um Missverständnisse zu vermeiden benutzt man als Symbole für die Rechenoperationen, sofern es sich nicht um die normale Addition oder Multiplikation handelt, eingekreiste Rechenzeichen: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für die additive Verknüpfung und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für die multiplikative Verknüpfung.

Ein Ring muss folgende Vorraussetzungen erfüllen um als Ring bezeichnet zu werden:

1. Bezüglich der Addition muss der Ring eine abelsche Gruppe bilden. Es müssen also alle zuvor genannten Gruppenaxiome gelten.
2. Bezüglich der Multiplikation muss der Ring eine Halbgruppe bilden. Das heißt, dass nur die ersten beiden Axiome, die Abgeschlossenheit und die Assoziativität erfüllt sein müssen.
3. Die beiden Verknüpfungen sind durch das Distributivgesetz miteinander verknüpft: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gilt ferner für die Multiplikation das Kommutativgesetz, so spricht man von einem kommutativen Ring.
Falls für die Multiplikation ein neutrales Element existiert, nennt man den Ring auch unitären Ring.

2.4 Körper

Ein Körper ist ein spezieller Ring. Damit man von einem Körper sprechen kann, muss die Menge M, mit zwei zweistelligen Verknüpfungen die folgenden Bedingungen erfüllen:

[...]

^[1] „Axiom (v. griech.: tà to~n progónon axiómata) = als wahr angenommener Grundsatz“ (Wikipedia, Axiom)

^[2] vgl. Technische Universität Freiberg: „Zur Geschichte der Gruppentheorie“ URL:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/gruppenhistorie.html [Stand: 1.03.05]

^[3] Gerhard Keilbach, Georg-Büchner-Gymnasium Winnenden, 2000: „Komplexe Zahlen“. URL: http://www.keilbach.onlinehome.de/mathe/m12/komplex1.html

^[4] invers (vom lat. inversus) = umgekehrt (aus Fremdwörterlexikon)

^[5] nach dem norwegischen Mathematiker Niels Hendrik Abel (1802 - 1829)