Die Frage nach der Zahl, die ein Grenzgebiet zwischen Mathematik und Philosophie erschließt, scheint nicht nur zu Zeiten Freges eine typisch philosophische zu sein. Denn sie stellt nach wie vor die unvoreingenommene Leserschaft vor einen Gegenstand größter Bedeutung für den Alltag, eine Selbstverständlichkeit, die außerhalb des philosophischen Diskurses nicht erklärungsbedürftig scheint; man ist hier, wie Heidegger wohl gemeint hätte, oft nicht einmal soweit, in Verlegenheit geraten zu sein, nicht zu wissen, was dieser Gegenstand ist.
Die Frage nach der Zahl und ihrer Definition, d.h. nach dem, was allgemein unter dem Ausdruck Zahl zu verstehen ist, kann allerdings auf vielfache Weise gestellt werden. Wir können beispielsweise fragen, was eine Zahl ist, und beabsichtigen damit eine ontologische Erklärung: Ist sie ein Ding wie etwa ein Stuhl? Oder ist sie eine Eigenschaft wie etwa die Eigenschaft grün zu sein? Substanz oder Akzidens? Wenn sie ein Ding ist, welches Ding ist sie? Wenn sie aber ein Begriff, ein allgemeiner Terminus ist, welcher Begriff ist es und wie wollen wir sein Dasein erklären?
Wir können auch fragen, wie oder als was eine Zahl erkannt wird und rücken damit ein erkenntnistheoretisches Interesse in den Vordergrund. Ist die Zahl ein "äußeres" Ding, das z.B. in Raum und Zeit angeschaut wird, oder gehört die Zahl eher zu den Abstrakta, zu nicht-räumlichen und nicht-zeitlichen Vorstellungen; zu dem, was nur gedacht, nicht angeschaut werden kann? Oder ist sie gar eine bloß subjektive Vorstellung?
Frege stellt in seinen Grundlagen der Arithmetik diese Frage letztlich aus einer anderen, wegweisenden Perspektive, die als sprachphilosophische oder genauer: logische zu charakterisieren ist. Diesen oft vielleicht zu pauschal als linguistic turn bezeichneten Schritt vollzieht Frege nicht erst in der Auslegung seiner eigenen Erklärungsweise wie etwa in §62, sondern - obgleich weniger explizit und unauffällig - schon mit der aller ersten Kritik an anderen Auffassungen. Dies scheint der Hinweis auf §21 zu belegen, wo Frege in Form einer Forderung sein allgemeines Interesse bezüglich der Zahl anspricht:
"Versuchen wir wenigstens der Anzahl ihre Stelle unter unseren Begriffen anzuweisen!"
Es geht folglich um eine Zuweisung der Zahl an eine bestimmte Stelle unter unseren Begriffen, bzw. in unser Begriffssystem [...]
Inhaltsverzeichnis
1. Vorwort: Die Frage nach der Zahl
2. Freges Kritik anderer Versuche, die Zahl zu erklären
2.1. Die Zahl als Eigenschaft äusserer Dinge
2.2. Die Frage nach der Objektivität der Zahl
2.3. Die Zahl als Menge
2.3.1. Die Einheit als Eigenschaft und die Antinomie der Identität von Einheiten
2.3.2 Versuche, die Antinomie der Identität von Einheiten zu lösen
2.3.3 Fazit aus der dritten These zur Zahl
3. Freges eigene Definition der Zahl
3.1. Erster Definitionsversuch der Zahl aus der Zahlangabe
3.1.1 Vorgreifender Exkurs: Begriffe und Klassen
3.1.2. Die Zahl aus der Zahlenangabe
3.2. Zweiter Definitionsversuch der Zahl aus der Zahlangabe
3.2.1 Der linguistic turn
3.2.2 Zweiter Definitionsversuch
3.2.3 Das Scheitern der zweiten Definition: die drei Bedenken
3.3. Die Definition der Zahl
3.3.1 Die Zahl ist eine Klasse von Begriffen
3.3.2 Übersicht: Implikationen für die Bestimmung einzelner Zahlen
Zusammenfassung und Ausblick
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit bietet eine kommentierende Rekonstruktion von Gottlob Freges Werk "Die Grundlagen der Arithmetik" mit dem Ziel, eine allgemeine Definition der natürlichen Zahlen einschließlich der Null zu entwickeln. Dabei untersucht die Autorin kritisch Freges Auseinandersetzung mit alternativen Erklärungsversuchen und beleuchtet die logischen Grundlagen seiner eigenen Definition.
- Kritik an der Auffassung der Zahl als Eigenschaft äußerer Dinge
- Analyse der Objektivität der Zahl im Kontext der Ontologie
- Untersuchung der Zahl als Menge und die Problematik der Einheit
- Darstellung von Freges logistischer Definition der Zahl
- Diskussion des Begriffs der Klasse und des Kontextprinzips
Auszug aus dem Buch
3.1.1 Vorgreifender Exkurs: Begriffe und Klassen
So einfach diese Formulierung auf den ersten Blick aussieht, so seltsam wird sie auch nach mehrmaliger Lektüre noch klingen. Denn, wie auch Michael Dummett in Philosophy of Mathematics hervorhebt, ist hier unter anderem nicht klar, was unter Aussage von einem Begriff, bzw. Begriff zu verstehen ist. Eine Aussage ist nur von etwas zu machen, was Subjekt sein kann, in Freges Terminologie: von einem Gegenstand; es gilt, wie Frege in der Einleitung sagt, den Unterschied zwischen Begriff und Gegenstand im Auge zu behalten. Nun wollen wir aber einen Begriff an Stelle eines Gegenstandes setzen. Nun unterscheiden sich dann Gegenstände und Begriffe logisch noch? Wollen wir hier einer Aussage wie „Dies sind fünf Bäume.“ die Aussage entnehmen „Bäume sind fünf.“ Das ist doch überhaupt keine Aussage! Zu diesem Problem, das gelöst werden muss, um Freges Verständnis des Gegenstandes Zahl zu begreifen, gibt – allerdings erst im Nachhinein - die bereits erwähnte Fußnote 88 zu §66 Aufschluss:
[...] Begriff ist für mich ein mögliches Prädikat eines singulär beurteilbaren Inhalts, Gegenstand ein mögliches Subjekt eines solchen. Wenn wir in dem Satz „Die Richtung der Fernrohrachse ist gleich der Richtung der Erdachse“ die Richtung der Fernrohrachse als Subjekt ansehen, so ist das Prädikat „gleich der Richtung der Erdachse“. Dies ist ein Begriff. Aber die Richtung der Erdachse ist nur ein Teil des Prädikats; sie ist ein Gegenstand, da sie auch zum Subjekt gemacht werden kann.“
Zusammenfassung der Kapitel
1. Vorwort: Die Frage nach der Zahl: Einführung in die Grenzproblematik zwischen Mathematik und Philosophie sowie die zentrale Fragestellung der Arbeit.
2. Freges Kritik anderer Versuche, die Zahl zu erklären: Analyse der von Frege abgelehnten Thesen zur Zahl als Eigenschaft von Dingen oder rein subjektiver Vorstellung.
3. Freges eigene Definition der Zahl: Untersuchung der logisch fundierten Definitionsversuche Freges und der damit verbundenen methodischen Herausforderungen.
Zusammenfassung und Ausblick: Retrospektive auf den Argumentationsgang und Einordnung der Ergebnisse in die moderne Philosophie der Mathematik.
Schlüsselwörter
Gottlob Frege, Grundlagen der Arithmetik, Zahlendefinition, Logizismus, Begriff, Gegenstand, Klasse, Zahl, Mengenlehre, Objektivität, Quantor, Identität, Prädikat, Sprachphilosophie, Zahlentheorie.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der logischen Rekonstruktion von Gottlob Freges Definition der Zahl, wie er sie in seinem Werk "Die Grundlagen der Arithmetik" dargelegt hat.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themen sind die Abgrenzung der Zahl von sinnlichen Eigenschaften, die Analyse des Objektivitätsbegriffs bei Frege sowie der logische Übergang von der Zahlangabe zur Definition der Zahl als Klasse von Begriffen.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das primäre Ziel ist es, den Argumentationsweg Freges nachzuzeichnen, der von einer vernichtenden Kritik gängiger Auffassungen hin zu seiner eigenen logistischen Begründung des Zahlbegriffs führt.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Autorin nutzt eine kommentierende, textnahe Rekonstruktion und Analyse der primärphilosophischen Argumente aus Freges Werk, ergänzt durch Einordnungen aus der Rezeptionsgeschichte.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil behandelt die kritische Auseinandersetzung mit der Zahl als Eigenschaft äußerer Dinge, als Menge von Einheiten und schließlich die Entwicklung von Freges eigenem, stufenweisen Definitionsversuch.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Schlüsselwörter sind insbesondere Logizismus, Begriff, Gegenstand, Klasse und Zahlendefinition.
Wie argumentiert Frege gegen die Auffassung der Zahl als Eigenschaft von Dingen?
Frege argumentiert, dass eine Eigenschaft von äußeren Dingen wahrnehmbar sein muss, die Zahl jedoch abstrakt ist und bei unterschiedlichen Betrachtern oder Perspektiven auf dasselbe Objekt variieren kann, was sie als logisches Prädikat disqualifiziert.
Was ist das sogenannte "Julius Cäsar Problem"?
Das Julius Cäsar Problem verdeutlicht die Schwierigkeit der Identifikation von Zahlen: Da Freges erste Definitionsversuche die Identitätsbedingungen nicht hinreichend präzisieren, bleibt unklar, ob eine Zahl mit einem anderen Gegenstand (wie Julius Cäsar) identisch sein könnte.
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- Andrea Anderheggen (Author), 2001, Gottlob Freges Definition der Zahl in den Grundlagen der Arithmetik, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/10966
