Gottlob Freges Definition der Zahl in den Grundlagen der Arithmetik

Inhaltsverzeichnis

1. Vorwort: Die Frage nach der Zahl

2. Freges Kritik anderer Versuche, die Zahl zu erklären
2.1. Die Zahl als Eigenschaft äusserer Dinge
2.2. Die Frage nach der Objektivität der Zahl
2.3. Die Zahl als Menge
2.3.1. Die Einheit als Eigenschaft und die Antinomie der Identität von Einheiten
2.3.2 Versuche, die Antinomie der Identität von Einheiten zu lösen
2.3.3 Fazit aus der dritten These zur Zahl

3. Freges eigene Definition der Zahl
3.1. Erster Definitionsversuch der Zahl aus der Zahlangabe
3.1.1 Vorgreifender Exkurs: Begriffe und Klassen
3.1.2. Die Zahl aus der Zahlenangabe
3.2. Zweiter Definitionsversuch der Zahl aus der Zahlangabe
3.2.1 Der linguistic turn
3.2.2 Zweiter Definitionsversuch
3.2.3 Das Scheitern der zweiten Definition: die drei Bedenken
3.3. Die Definition der Zahl
3.3.1 Die Zahl ist eine Klasse von Begriffen
3.3.2 Übersicht: Implikationen für die Bestimmung einzelner Zahlen

Zusammenfassung und Ausblick

Bibliographie
Literatur
Lexika und Wörterbücher

Endnoten

1. Vorwort: Die Frage nach der Zahl

Die Frage nach der Zahl, die ein Grenzgebiet zwischen Mathematik und Philosophie erschliesst, scheint nicht nur zu Zeiten Freges eine typisch philosophische zu sein. Denn sie stellt nach wie vor die unvoreingenommene Leserschaft vor einen Gegenstand grösster Bedeutung für den Alltag, eine Selbstverständlichkeit, die ausserhalb des philosophischen Diskurses nicht erklärungsbedürftig scheint; man ist hier, wie Heidegger^[i] wohl gemeint hätte, oft nicht einmal soweit, in Verlegenheit geraten zu sein, nicht zu wissen, was dieser Gegenstand ist.

Die Frage nach der Zahl und ihrer Definition, d.h. nach dem, was allgemein unter dem Ausdruck Zahl zu verstehen ist, kann allerdings auf vielfache Weise gestellt werden. Wir können beispielsweise fragen, was eine Zahl ist, und beabsichtigen damit eine ontologische Erklärung: Ist sie ein Ding wie etwa ein Stuhl? Oder ist sie eine Eigenschaft wie etwa die Eigenschaft grün zu sein? Substanz oder Akzidens? Wenn sie ein Ding ist, welches Ding ist sie? Wenn sie aber ein Begriff, ein allgemeiner Terminus ist, welcher Begriff ist es und wie wollen wir sein Dasein erklären?

Wir können auch fragen, wie oder als was eine Zahl erkannt wird und rücken damit ein erkenntnistheoretisches Interesse in den Vordergrund. Ist die Zahl ein „äusseres“ Ding, das z.B. in Raum und Zeit angeschaut wird, oder gehört die Zahl eher zu den Abstrakta, zu nicht-räumlichen und nicht-zeitlichen Vorstellungen; zu dem, was nur gedacht, nicht angeschaut werden kann? Oder ist sie gar eine bloss subjektive Vorstellung?

Frege stellt in seinen Grundlagen der Arithmetik diese Frage letztlich aus einer anderen, wegweisenden Perspektive, die als sprachphilosophische oder genauer: logische zu charakterisieren ist. Diesen oft vielleicht zu pauschal als linguistic turn bezeichneten Schritt vollzieht Frege nicht erst in der Auslegung seiner eigenen Erklärungsweise wie etwa in §62, sondern – obgleich weniger explizit und unauffällig – schon mit der aller ersten Kritik an anderen Auffassungen. Dies scheint der Hinweis auf §21 zu belegen, wo Frege in Form einer Forderung sein allgemeines Interesse bezüglich der Zahl anspricht:

„Versuchen wir wenigstens der Anzahl ihre Stelle unter unseren Begriffen anzuweisen!“

Es geht folglich um eine Zuweisung der Zahl an eine bestimmte Stelle unter unseren Begriffen, bzw. in unser Begriffssystem. Für diese Zwecke geht Frege von einer so umfassenden wie vernichtenden Kritik dreier anderer Meinungen aus, um ebenfalls in drei Schritten, in drei Definitionsversuchen seine eigene Auffassung zum Gegenstand Zahl zu präsentieren.

Die vorliegende Arbeit beabsichtigt damit eine kommentierende Rekonstruktion von Gottlob Freges Versuch in den Grundlagen der Arithmetik, eine allgemeine Definition der natürlichen Zahl einschliesslich der 0 zu geben. Dabei wird ausgehend von einer zusammenfassenden, textnahen Beurteilung der wichtigsten Kritiken anderer Meinungen eine systematische Darlegung von Freges eigener Zahldefinition vorbereitet.

In der etwas freieren Darstellung von Freges “eigenem“ Teil, der die zweite Hälfte der Grundlagen ausmacht, wird unter anderem zu zeigen versucht, wie die ersten zwei, dem vorgängig kritischen Teil entwachsenen Definitionsversuche und ihr jeweiliges Scheitern zu einer endgültigen Definition führen; wie also Frege in seinem eigenen Teil nach und nach zu der für ihn befriedigenden Erklärung der Zahl in §68 kommt. Die späteren Entwicklungen und Kritiken an Freges frühem Versuch sollen hier weitgehend unberücksichtigt bleiben.

2. Freges Kritik anderer Versuche, die Zahl zu erklären

2.1. Die Zahl als Eigenschaft äusserer Dinge

In §21 bis etwa §25 der Grundlagen diskutiert Frege eine erste These zur Zahl: Die Zahl sei eine sinnliche Eigenschaft äusserer Dinge. Was unter Eigenschaft von äusseren Dingen zu verstehen ist, wird durch Freges Interpretieren der Auffassungen von Cantor und Schröder verdeutlicht^[ii]: Das, was in einer Abstraktion im klassischen Sinne, d.h. im Absehen von allen anderen Bestimmungen eines äusseren Dinges, gewonnen wird: ein allgemeiner Terminus oder in Freges Sprache: ein Begriff, bzw. eine Funktion. Die äusseren Dinge sind etwa farbig, schwer, räumlich, zeitlich und in diesem Sinne auch ein heitlich. Mit dem Absehen von allen anderen Eigenschaften bleibt die Einheitlichkeit und mit ihr der Begriff der Einheit, der - so Freges Interpretation von Schröder – durch Einer, d.h. durch die vielfache Verwendung des Zeichens 1, abgebildet wird. Die 1 wird hier demnach als eine Abbildung von Einheiten verstanden.

Frege konfrontiert diese Auffassung in den folgenden Paragraphen mit einigen Problemen und Kritiken. Eine erste Abweichung der Zahl von dem, was man üblicherweise als Eigenschaften bezeichnet, belegt für Frege die Tatsache, dass die „äusseren Dinge keine strengen Einheiten darstellen“, sondern je nach Auffassungsweise verschiedene Einheiten ergeben können. Während beispielsweise ein Ding als Ilias eine Einheit bezeichnen kann, ist es möglich, das sinnlich wahrnehmbar gleiche Ding als 24 Gesänge, d.h. 24 Einheiten, zu betrachten, in denen der Mythos um Troja erzählt wird. Die Zahl, wenn sie als Eigenschaft eines äusseren Dinges verstanden wird, drückt keine strenge Einheit aus, sondern kann vielmehr mit der Sichtweise des Sprechers variieren. Diesen Einwand scheint Frege, wie aus §25 abzuleiten ist, den Ausführungen Berkeleys^[iii] entnommen zu haben und für seine Zwecke weiterzuführen.

Die Mehrdeutigkeit der Zahl als Eigenschaften äusserer Dinge, wirft in den Grundlagen der Arithmetik noch die grundsätzlichere und für die Ausgangsthese kritische Frage auf, ob die Zahl nicht eine von einer üblichen Eigenschaft gänzlich andere logische Stellung in der Sprache innehält. Frege bemerkt im Hinblick auf diese logische Eigenheit, dass die Zahl nicht an Stelle eines Attributs stehen kann wie jede andere Eigenschaft, z.B. grün in grüne Blätter. So ist 1000 keine Eigenschaft von Blättern, sie ist auch keine Eigenschaft eines Baumes, wenngleich 1000 Blätter zu haben eine Eigenschaft eines Baumes sein kann. Man sieht bereits folgendes: Die Zahl kann innerhalb eines Prädikates, welches eine Eigenschaft unter anderen bezeichnet, vorkommen aber höchstens als Teil. Schon hier wird klar, dass die topographische Zuweisung der Zahl innerhalb der logischen Syntax eine besondere, bzw. von der eines üblichen Prädikates verschiedene sein muss, wenngleich bis auf weiteres, d.h. bis auf Freges eigene Erklärungen, offen bleiben wird, wie diese genau zu bestimmen ist. Jedenfalls ist klar, dass, wie Frege in §22 meint, der Gegenstand, bzw. das äussere Ding, nicht der eigentlich Träger einer Zahl und die Zahl also keine Eigenschaft sinnlich wahrnehmbarer Dinge ist.

Eine andere m.E. nicht sehr einsichtige Kritik in §22, die freilich nur in einem Satz wiedergegeben ist, besteht darin, dass es unmöglich sei, auf eine Zahl zu zeigen ohne ein Wort zu sagen. Wohingegen dies nach Frege im Falle einer farbigen Fläche möglich ist. Hier stellt sich jedoch die Frage, ob im Falle der Farben, sowie überhaupt jeder Eigenschaft nicht das gleiche Problem vorliegt. Denn, obgleich ich auf die grüne Fläche zeigen kann (wie Frege meint), kann ich nicht auf das grün unabhängig von der Fläche zeigen. Es wäre hier auch nicht korrekt zu behaupten, dass ich durch Zeigen auf zwei verschiedene grüne Dinge auf das grün zeigen würde, denn damit würde ich nicht auf die Eigenschaft grün sein zeigen, sondern immer nur auf die einzelnen Dinge, die nicht nur grün sind. Prädikate sind schon nur weil sie allgemeine Termini sind, grundsätzlich nicht zu zeigen. Freges Einwand scheint demnach zwar auf eine wichtige Bestimmung der Zahlen hinzuweisen, nämlich kein äusseres Ding zu sein, auf das man zeigen kann, scheint aber die These der Zahl als Eigenschaft nicht weiter zu gefährden und dafür also von geringerer Bedeutung.

Unhaltbar ist jedoch auch J.S. Mills (und in gewisser Weise auch Kants) Auffassung in §23, wonach die Zahl eine Eigenschaft eines Aggregates bezeichnet und die „charakteristische Weise, in welcher das Aggregat zusammengesetzt oder in Teile zerlegt werden kann“ ausdrückt. Denn auch hier gilt Freges Bemerkung, dass es von unserer Auffassungsweise abhängt, wie viele Einheiten wir in einem äusseren Ding oder eben einem Aggregat zählen wollen. Frege kritisiert hier zu Recht, dass es nicht die charakteristische Weise der Zusammensetzung eines Aggregates gibt. Wir könnten z.B. fragen, wie viele Paare in einem Aggregat vorkommen und bereits zum gleichen Ding, d.h. zum gleichen Aggregat in verschiedener Hinsicht verschiedene Zahlen gewinnen.^[iv]

Bezüglich dieser Auffassung bringt Frege jedoch zusätzliche Schwierigkeiten ins Spiel, die er in den Grundlagen immer wieder erwähnt: Die Schwierigkeiten um die Zahl 1 und um die Zahl 0. Gelten Erklärungen von Zahlen nicht auch für die 0 und die 1, sind sie unbrauchbar, weil 0 und 1 Zahlen sind, bzw. genauso gut in einer sinnvollen Zahlenangabe vorkommen können wie jede andere Zahl.^[v] Deshalb ist die Frage, ob und wie die 0 und die 1 eine Eigenschaft eines Aggregates ausdrücken sollen, bzw. die Erkenntnis, dass hier Mills Auffassung versagt, entscheidend.

Mills Versuch scheitert nach Frege jedoch schon deshalb, weil es erstens nicht nötig ist, dass die Dinge, die gezählt werden können, ein Aggregat im Sinne eines anschaulichen Ganzen bilden, und zweitens, weil es zählbare Gegenstände gibt, die überhaupt keine Aggregate bilden können; etwa Lehrsätze, Ereignisse, Begriffe etc. Diese Bemerkung weiterführend und an eine ähnliche Textstelle in Lockes Essay^[vi] erinnernd bemerkt Frege in §24, dass die Zahl eine weit grössere Anwendbarkeit aufweist, als es Mills Auffassung des Aggregates nahe legt. Es kann ausser sinnlichen Dingen auch alles andere - alles, was denkbar ist - gezählt werden.

Damit erhebt sich für Frege eine weitere Kritik an der Auffassung der Zahl als Eigenschaft äusserer Dinge. Denn in diesem Falle müsste sie im Sinne Cantors oder Schröders als das aus sinnlichen Gegenständen Abstrahierte aufgefasst werden. Nun wäre es aber, wie Frege meint, „wunderbar, wenn eine von äussern Dingen abstrahierte Eigenschaft auf Ereignisse, auf Vorstellungen, auf Begriffe ohne Änderung des Sinnes übertragen werden könnte.“ Damit meint Frege, dass, wenn man die Zahlen als Abstraktionen von sinnlichen Dingen auffassen wollte, sie auf eine sinnliche Weise gegeben wären. Demnach müssten sie als sinnliche Eigenschaften aufgefasst werden, was jedoch im Widerspruch mit der Tatsache steht, dass Unsinnliches wie Begriffe, Lehrsätze auch gezählt werden kann: Unsinnliches hätte dann sinnliche Eigenschaften! Es wäre, wie Frege meint, sinnlos von zwei Begriffen, die sich von drei Begriffen physikalisch unterscheiden, zu sprechen.

Frege vermag also mit Erfolg zu zeigen, dass die Zahl keine sinnliche Eigenschaft, noch sinnlich wahrnehmbar ist. Damit richtet sich Frege gegen Mill’s Auffassung, aber letztlich auch gegen Kants Erklärungen zur Arithmetik in der Einleitung der Kritik der reinen Vernunft.^[vii] Dort werden die arithmetischen Sätze insgesamt zu den synthetischen Urteilen genommen, welche als solche ihre Gültigkeit in einer möglichen Erfahrung, bzw. in ihrer die Erfahrung konstituierende Funktion nachweisen müssen. Zahlen, so könnte man weiterdenken, wären dann eng an die reinen Anschauungsformen Raum und Zeit gebunden. Letztere These, die aus dem 5+7=12 Beispiel und den zählenden Fingern Kants gewonnen werden könnte, wäre jedoch eingehender zu prüfen.

In logischer Hinsicht finden wir in diesem Abschnitt die Erkenntnis, dass die Zahl kein Prädikat, also kein allgemeiner Terminus sein kann. D.h. die Zahl kann im strengen Sinne nicht als „Begriff für ein mögliches Prädikat eines singulären beurteilbaren Inhalts“^[viii] aufgefasst werden.

2.2. Die Frage nach der Objektivität der Zahl

Die Kritik der Meinung, die Zahl sei keine Eigenschaft äusserer, d.h. sinnlich wahrnehmbarer Dinge, beruft sich in den Grundlagen vor allem auf Freges und Berkeleys Beobachtung, dass die gleichen Dinge in verschiedener Hinsicht verschieden gezählt werden können. Entscheidend dabei ist die Auffassungsweise des urteilenden Betrachters. Damit stellt sich allerdings die Frage, ob die Zahl, die einem Dinge zugesprochen wird, eine subjektive Vorstellung sei, denn offenbar gibt die subjektive Entstehungsweise eines Urteils über die Anzahl gegebener Gegenstände Aufschluss über die Zahl selbst.

Um diese Schwierigkeiten und Freges Antwort zu verstehen, ist es von Vorteil, Freges Ontologie und die realistische Grundauffassung, die bereits in den Grundlagen der Arithmetik prägend sind, kurz wiederzugeben. Dies ist auch möglich, ohne die ausgearbeitete Terminologie des späteren Werks, insbesondere die Ausführungen im Aufsatz Der Gedanke, und deren Unterschiede zum Frühwerk ausführlich zu thematisieren. Denn das Fundament von Freges Ontologie bildet hier wie dort die klassische Unterscheidung zwischen Subjekt und Objekt. Abweichend von der Ontologie im späteren Werk unterscheidet Frege in den Grundlagen allerdings zwei Vorstellungstypen: Die Vorstellung im subjektiven Sinne und die Vorstellung im objektiven Sinne.^[ix] So meint er in der zweiten Fussnote zu §27:

„Die Vorstellung im subjektiven Sinne ist das, worauf sich die psychologischen Assoziationsgesetze beziehen; sie ist von sinnlicher, bildhafter Beschaffenheit. Die Vorstellung im objektiven Sinne gehört der Logik an und ist wesentlich unsinnlich, obwohl das Wort, welches eine objektive Vorstellung bedeutet, oft auch eine subjektive mit sich führt, die jedoch nicht seine Bedeutung ist. Die subjektive Vorstellung ist oft nachweisbar verschieden in verschiedenen Menschen, die objektive für alle dieselbe. Die objektive Vorstellung kann man einteilen in Gegenstände und Begriff. Ich werde, um Verwirrung zu vermeiden, „Vorstellung“ nur im subjektiven Sinne gebrauchen. (…)“

Hier kann man festhalten, dass es für Frege drei verschiedene Möglichkeiten gibt, die Zahl ontologisch zu erklären. Sie ist entweder ein Begriff oder eine (subjektive) Vorstellung oder ein Gegenstand. Dass die Zahl im fregeschen Sinne kein Begriff, d.h. kein Prädikat sein kann, ist bereits im letzten Kapitel dieser Arbeit mit der Darstellung der Ausführungen in §21-25 gezeigt worden. Somit fragt sich nun, ob die Zahl mit einer Vorstellung oder einem Gegenstande gleich zu setzen sei. Wie aus dem Zitat ersichtlich ist, wird damit auch die Frage entschieden, ob die Zahl psychologisch oder logisch zu erklären ist. Denn der Gegenstand gehöre (wie der Begriff) als Vorstellung im objektiven Sinne der Logik an, während die subjektive Vorstellung, die durch Assoziationsgesetze bestimmt ist, für Frege das Forschungsgebiet der Psychologie umgrenzt.

Frege ist, wie bereits in der Einleitung der Grundlagen der Arithmetik ersichtlich, entschieden dagegen, die Zahl psychologisch, d.h. als (subjektive) Vorstellung zu erklären. Veranlasst von der vorgängigen Kritik an der Auffassung der Zahl als Eigenschaft äusserer Gegenstände, stellt er nun in §26-28 Überlegungen an, um seine logizistische Position zu sichern. Die zentrale Rolle spielt dabei Freges Begriff von Objektivität, bzw. des Objektiven. Objektiv ist alles, was unabhängig „von unserem Empfindungen, Anschauen und Vorstellen, von dem Entwerfen innerer Bilder aus den Erinnerungen früherer Empfindungen, aber nicht Unabhängigkeit von der Vernunft“ ist. Ob eine Zahl, genauer formuliert: eine Zahlenangabe objektiv oder subjektiv ist, muss also daran gemessen werden, ob sie abhängig ist von unseren Empfindungen, Anschauungen etc. Ist sie davon abhängig, bzw. wäre die Zahl eine subjektive Vorstellung, wäre sie nur meine, denn subjektive Vorstellungen haben jeweils nur einen Träger.^[x] Wir müssten dann die absurde und dem Objektivitäts- und Intersubjektivitätanspruch der Wissenschaften entgegengesetzte Auffassung vertreten, dass es meine 1, deine 1, meine 10 etc. gibt.

Eine weitere notwendige Bedingung des Objektiven ist, dass es im Gegensatz zur subjektiven Vorstellung, die nur anschaulich ist, Gesetzmässigkeiten, Begriffliches und Beurteilbares, „was sich in Worte ausdrücken lässt“ aufweist. Dass das Objektive in Worte mitteilbar ist, bedeutet, dass es zugleich auch die Bedingung der Intersubjektivität nachweisen muss.

Eine Zahlenangabe kann eine intersubjektiv mitteilbare, wissenschaftliche Aussage beinhalten, sie kann Gesetzmässigkeiten, Beurteilbares etc. wiedergeben, wie jede andere Aussage. Eine Zahl ist deshalb für Frege so objektiv, wie es ein Begriff, bzw. die Eigenschaft eines Gegenstandes sein kann, wenngleich sie keine solche Eigenschaft ist. Die Zahlenangabe drückt eine objektive Vorstellung aus. Dass eine Zahl in diesem Sinne objektiv ist, schliesst aber aus, dass sie eine subjektive Vorstellung ist, weil diese ihres anschaulichen Charakters wegen niemals objektiv sein kann.

Halten wir fest: Die Zahl ist nicht eine Eigenschaft äusserer Dinge und deshalb nicht ein Begriff. Die Zahl ist aber auch nicht eine subjektive Vorstellung, genauso wenig wie es irgendein Begriff ist. Weil sie für Frege nur eine subjektive Vorstellung, ein Begriff oder ein Gegenstand sein kann und die ersten zwei Möglichkeiten sich als falsch erwiesen haben, lässt sich jetzt bereits die von Frege noch unausgesprochene Erklärung ableiten, dass eine Zahl ein Gegenstand sein muss. Welche Implikationen diese Erkenntnis mit sich führt und welche Konsequenzen diese Tatsache für die Suche nach einer brauchbaren Definition der Zahl hat, wird in den späteren Teilen der Grundlagen zu diskutieren sein. Bevor Frege jedoch zur ausführlichen Darlegungen seiner eigenen Theorie kommt, muss er freilich eine andere prominente Position diskutieren, die, wie zu zeigen sein wird, mit seiner eigenen Theorie zwar in Verwandtschaft stehen dürfte, jedoch in der vorliegenden Form ebenfalls nicht haltbar ist.

2.3. Die Zahl als Menge

Nachdem Frege gezeigt hat, dass die Zahl keine Eigenschaft äusserer Dinge sein kann und die Zahlenangabe etwas so Objektives wie jede andere Angabe einer Eigenschaft zum Ausdruck bringen kann, bespricht er die These, dass die Zahl eine Menge sei. Dabei stellt Frege am Ende des §28 fest, dass es grundsätzlich zwei Positionen gibt: Einerseits diejenige, welche die Zahl als Menge von Dingen oder Gegenständen zu erläutern versucht. Anderseits tritt auch die Meinung auf, wie z.B. im Falle Euklids, dass die Zahl eine Menge von Einheiten sei.

Dass die Zahl kein Aggregat von äusseren Dingen ist, wurde schon früher im Hinblick auf Mill unter anderem damit kritisiert, dass 0 und 1 nicht als Aggregate und als Zahlenangaben für Aggregate verstanden werden können. Menge kann hier also nicht als “Aggregat“ verstanden werden. Es wird jedoch, wie Frege bemerkt, mit dem Begriff der Menge oft derjenige des Aggregates, sowie auch Haufe, Gruppe, sogar Anzahl verbunden. Die Auffassung der Zahl als Menge äusserer Dinge ist im Hinblick auf vorangehende Überlegungen zur „Aggregatstheorie“ jedoch vorerst zu verabschieden. Man halte jedoch fest, dass damit nur die Interpretation der Zahl als Menge äusserer Dinge negiert wird. Der Gegenstandsbereich ist hier also beschränkt auf äussere Dinge, äussere Gegenstände; auf Gegenstände, welche sinnlich, d.h. in Raum und Zeit, wahrgenommen werden. Wie wir später sehen werden, könnte man jedoch die These vertreten, dass die Zahl in einem anderen nämlich logischen Sinne als Menge von Gegenständen gedacht werden kann.

2.3.1. Die Einheit als Eigenschaft und die Antinomie der Identität von Einheiten

Es ist im Folgenden die auf Euklid zurückgehende These zu prüfen, dass die Zahl als Menge von Einheiten zu verstehen ist. Dieser Aufgabe widmet sich Frege in §29-44 und zeigt in vielfältiger Weise, dass man hier an der unscharfen und teilweise falschen Auslegung des Begriffes Einheit scheitert. Die Unschärfe in Euklids Begriff der monaV äussert sich nach Frege bereits darin, dass er einmal „einen zu zählenden Gegenstand, bald eine Eigenschaft eines solchen, bald die Zahl Eins“ bezeichne.

Die Vorstellung von Einheit als definitorisches Element der Zahl scheint auch in Schröders Aussage, dass „jedes der zu zählenden Dinge Einheit genannt wird“ die Erklärungen zur Zahl bestimmen. Frege fragt hier zunächst, weshalb der Zwischenschritt, die Dinge Einheiten zu nennen, überhaupt nötig sei und es nicht einfacher wäre, zur früheren, allerdings problematischen Behauptung zurückzukehren, dass die Zahl eine Menge von Dingen sei. Schröders Umweg muss also rechtfertigt werden können. Die Begründung, die es nun zu untersuchen gilt, scheint allgemein die zu sein, dass Einheit eindeutiger bezeichne, was gezählt wird. Das frühere Problem, dass je nach Auffassungsweise verschieden gezählt werden kann, soll vermeiden werden.

Die erste Erklärung dafür, dass wir die Vorstellung der Einheit einführen müssen, um näher bestimmen zu können, was gezählt wird, bzw. was die Zahl als Menge von Einheiten ausmacht, besteht darin, dass Einheit eine besondere Eigenschaft, nämlich die Eigenschaft ein zu sein, hervorhebt. Dass die Zahl aber keine Eigenschaft von äusseren Dingen ausdrückt, ist schon durch den Hinweis auf die besondere topographische Stellung des Zahlworts in der logischen Struktur der Sprache erklärt worden; schon nur deshalb erscheint folglich die Ausgangsthese der Zahl als Menge von Einheiten in einem zweifelhaften Licht. Neben diesen Schwierigkeiten, die aus semantischen Überlegungen resultieren, treten jedoch auch logische Probleme um die Darstellung der Einheit als Eigenschaft von Dingen auf. Denn Ein-sein würde, wie Frege mit einigem Recht bemerkt, eine Eigenschaft aller Dinge sein. Eine Eigenschaft überhaupt zu erwähnen, die jedem Ding als ein Ding zukommt, muss als redundant betrachtet werden; schlimmer noch: schlicht sinnlos. Denn nur durch die Möglichkeit eine Eigenschaft zu negieren, macht die Aussage von ihr Sinn. Zudem kommt hier auch ein altes, begriffslogisches Gesetz ins Spiel, welches schon Aristoteles in ähnlicher Weise in einem anderen Zusammenhang, d.i. in seiner Auslegung von Sein als Analogon (nicht als Gattung), in Metaphysik G formuliert hat.^[xi] Frege umschreibt es in den Grundlagen folgendermassen:

„Der Inhalt eines Begriffes nimmt ab, wenn sein Umfang zunimmt; wird dieser allumfassend, so muss der Inhalt ganz verloren gehen.“

Durch die Tatsache, dass der Begriff Ein-sein eine allumfassende Extension aufweist, d.h. jedes denkbare Ding diese Eigenschaft besitzt, geht seine Intension verloren. Der vermeintliche Begriff kann dementsprechend auch nicht mehr im klassischen Sinne (d.h. aus Obergattung und artbildendem Unterschied) definiert werden, weil er selber keine Art vorstellt, der eine Gattung übergeordnet ist, und in gleicher Weise auch keinen artbildenden Unterschied festzustellen ermöglicht.

Schröders Umweg, dass das, was zu zählen ist, Einheiten seien, scheitert zum einen also an der verfehlten Prämisse, Einheit als Eigenschaft aufzufassen. Anderseits scheint dieser Umweg auch nicht einzuhalten, was er verspricht. Denn was wir als Einheit sehen, hängt genauso von unserer Auffassungsweise ab, wie die Frage, welche Zahl wir einem Ding als (vermeintliche) Eigenschaft beilegen wollten. “Jede Vorstellung“, so Frege, “ist Eine, wenn abgegrenzt gegen eine andere Vorstellung; aber in sich kann sie wieder in Vieles unterschieden werden.“^[xii] Das Versprechen, durch das Einführen der vermeintlichen Eigenschaft „Einheit“ näher bestimmen zu können, was gezählt wird, scheint damit gebrochen und Schröders Umweg nicht erfolgreich gewesen zu sein. Denn Einheit als Eigenschaft verstanden, weist sowohl die alten Probleme mit der Zahl als Eigenschaft äusserer Dinge, als auch logische Schwierigkeiten auf und befriedigt letztlich sogar selbst durch den (hier der Kürze halber nicht weiter diskutierten) Versuch, durch Abgegrenztheit, Ungeteiltheit oder Unteilbarkeit besser erfasst zu werden, das gewünschte Bedürfnis nach Bestimmtheit der Vorstellung Einheit nicht.

[...]

^[i] Martin Heidegger, Sein und Zeit, Vorwort, 17. Aufl., Tübingen, 1993 [S.1]

^[ii] Gottlob Frege, Grundlagen der Arithmetik, §21 [27/28]

^[iii] Gottlob Frege, Grundlagen der Arithmetik, §25 [33]

^[iv] In gewisser Weise dürfte das auch für Kants Finger gelten. (Vgl. Kritik der reinen Vernunft, Einleitung, B15/16)

^[v] Vgl. Gottlob Frege, Grundlagen der Arithmetik, §44 [57]

^[vi] Gottlob Frege, Grundlagen der Arithmetik, §24 [31]

^[vii] Immanuel Kant, Kritik der reinen Vernunft, B15/16

^[viii] Vgl. Gottlob Frege, Grundlagen der Arithmetik, §66 [77], Fussnote 88

^[ix] Diese Abweichung scheint ein Hinweis dafür zu sein, dass Frege in seinem Frühwerk im Vergleich zu späteren Werken wie im Aufsatz Der Gedanke, wo er strikte zwischen äusseren Gegenständen, Vorstellungen und dem Reich der Gedanken unterscheidet, näher der kantischen Transzendentalphilosophie zu sein. Denn mit der im folgenden Zitat angeführten Bemerkung, dass Begriffe und Gegenstände auch Vorstellungen, wenngleich nicht subjektive sind, scheint mir der Bezug zum transzendentalen Idealismus Kants, der gleichzeitig einen empirischer Realismus denkbar, weil dann die gesamte Ontologie auf Vorstellung beruht, die jene zu Kant verwandten internalisierten Auffassung jeder Gegenständlichkeit nahelegt. Freges Bemerkung am Ende dieser Fussnote (§27, Fussnote 47) scheint ebenfalls diese These zu belegen. Bemerkenswert ist gleichwohl Freges Aussage am Schluss von §26:

„(…); denn die Frage beantworten, was die Dinge unabhängig von der Vernunft sind, hiesse urteilen, ohne zu urteilen, den Pelz waschen, ohne ihn nass zu machen.“

^[x] Dazu vgl. Gottlob Frege, Der Gedanke in Logische Untersuchungen, S.42

^[xi] Aristoteles, Metaphysik, 3.Aufl. griechisch-deutsch hrsg. von Horst Seidl, übersetzt von Hermann Bonitz, Hamburg, 1989, [998b22, S.99ff]

^[xii] Gottlob Frege, Grundlagen der Arithmetik, §30 [41]