Leonardo da Pisa - Die Fibonacci-Zahlen - eine Arithmologie

Inhalt

Vorwort

Einführung

1 Der Mathematiker Leonardo da Pisa
1.1 Leonardo da Pisa – Mathematiker des Mittelalters
1.2 Das Buch „Liber abbaci“ – Lebenswerk eines fast vergessenen Mathematikers
1.2.1 Die Vorläufer des „Liber abbaci“: Al - Khwarizmi und Abu Kamil
1.2.2 Baldassare Boncompagni

2 Die Fibonacci-Zahlen – eine Arithmologie
2.1 Einführung in das Kapitel
2.2 Das mathematische Grundprinzip der Fibonacci-Zahlen
2.2.1 Definition
2.2.2 Das rekursive Bindungsgesetz
2.2.3 Die Kaninchenaufgabe
2.2.4 Einfache Formeln
2.2.4.1 Die Determinantenidentität der Fibonacci-Zahlen
2.2.4.2 Die Summe der Fibonacci-Zahlen
2.2.4.3 Die Summe von Quadraten
2.2.4.4 Die Halbarithmetische Summe
2.2.5 Abwandlungen der Formel
2.2.5.1 Die Lucas-Folge
2.2.5.2 Die Tribonacci-Folge (Quadranacci-Folge)
2.3 Berechnung höherer Glieder: Die Formel von Binet
2.4 Grenzwert der Fibonacci-Zahlen

3 800 Jahre Fibonacci – Fibonacci-Zahlen im alltäglichen Leben
3.1 Einführung in das Kapitel
3.2 Zufall oder nicht ? Einfluss der Fibonacci-Zahlen auf die Kombinatorik
3.2.1 Fibonacci-Zahlen als Lösung für eine typische Kombinatorik- aufgabe
3.2.2 Die Fibonacci-Quadrate
3.3 Das Goldene Rechteck als ästhetisches Mittel in der Kunst
3.4 Fibonacci-Zahlen – Stabilitätskriterium in der Welt der Sternenbahnen?
3.4.1 Wie stabil ist unser Planetensystem?
3.4.2 Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen
3.4.3 Was sonst noch bemerkenswert ist
3.5 Fibonacci-Zahlen in den Naturwissenschaften der Biologie
3.5.1 Phyllotaxis
3.5.1.1 Die logarithmische Spirale
3.5.1.2 Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen
3.5.1.3 Wie kommen die Spiralen zustande?
3.5.1.4 Untersuchungen eines Tannenzapfens
3.5.2 Fibonacci-Zahlen in der Tierwelt

Schlusswort

Anhang

Quellennachweis

Erklärung

Vorwort

Jeder Mathematiker wird vermutlich früher oder später einmal danach gefragt, wozu seine Wissenschaft gut sei. Geht es ihm um praktisches Wissen oder nur um reine Theorie?

Mathematik erscheint vielen auch heute noch als „dunkel“, obwohl die moderne Gesellschaft darauf angewiesen ist, auf quantitative Analysen und logische Schlussfolgerungen zurückzugreifen.

Meine Facharbeit „Leonardo da Pisa: Die Fibonacci-Zahlen – eine Arithmologie¹“ verstehe ich als eine gute Möglichkeit, eines dieser „dunklen“ Kapiteln der Mathematik zu „erhellen“ und die oben gestellte Frage anhand der Themenstellung so gut wie möglich zu beantworten. Meine Facharbeit soll den Lesern etwas von der Faszination der Fibonacci-Zahlen vermitteln und ihnen helfen, sich sachkundig und kritisch mit diesem Wissenschaftsgebiet der Mathematik auseinanderzusetzen.

Heute gehören Umwelt und Wirtschaft zu den zentralen Themen, die vor dem Hintergrund komplexer mathematischer Zusammenhänge stehen und um hier zu urteilen, muss man die grundlegenden Prinzipien erkennen und verstehen.

Ein kleiner Bruchteil dieser Themen wird anhand der Fibonacci-Zahlen und deren breiten Anwendungsgebiete in der modernen Welt dargelegt. Anhand einer Fülle von quantitativ lösbaren Problemen wird gezeigt, wie tragfähig die Fibonacci-Zahlen in praktischen Anwendungen sind. Darüber hinaus möchte ich bei interessierten Lesern nicht etwa Rechentechniken üben oder Theorien auflisten, sondern ein Grundverständnis für die Theorien der Fibonacci-Zahlen wecken.

Bei der Ausarbeitung meiner Facharbeit ergaben sich drei Gebiete: der Entdecker der Fibonacci-Zahlen Leonardo da Pisa, die Arithmologie der Fibonacci-Zahlen und schließlich, als Schwerpunkt, ihre Anwendungsmöglichkeiten sowie die Bedeutung der berühmten Zahlenfolge in der modernen Welt. Diese Themen wurden ebenso wegen ihrer grundlegenden mathematischen Bedeutung wie wegen ihrer wichtigen Anwendungen in anderen Naturwissenschaften, wie der Physik, der Biologie oder der Astronomie und schließlich auch im täglichen Leben gewählt. Sie bestimmen auch die Gliederung der Facharbeit in drei Teile, die unabhängig voneinander jeweils eine in sich abgeschlossene Einheit bilden.

Die Probleme werden auf zwei Arten diskutiert: Sie werden als Beispiel für praktische Rechnungen dargestellt und häufig mathematisch beschrieben.

So soll meine Facharbeit Licht in ein „dunkles“ Teilgebiet der Mathematik bringen.

Einführung

Während der Zeitepoche des Hochmittelalters erlebt ganz Europa einen Aufschwung des Wirtschaftslebens. Durch die Ausweitung der Seewege und deren bessere Nutzung mittels fortschreitender Technik in der Seefahrt profitierten zunehmend die Mittelmeerländer (wie zum Beispiel Italien). Vor allem italienische Städte wie Venedig monopolisierten den Handel mit dem Orient, welcher zu sozialen Umschichtungen führte.

Wissenschaft und Bildung war ein entscheidendes Kriterium für den Kaufmann im Mittelalter. Nicht nur die Kulturtechniken des Lesens, Schreibens und Rechnens zeigten sich unabdingbar, sondern auch geografische und sprachliche Kenntnisse erwiesen sich als bedeutsam. Für einen Kaufmann waren diese Grundvoraussetzungen unumgänglich. Jacques Le Goff (geboren 1924), Historiker und Experte für die Geschichte des europäischen Mittelalters, geht sogar noch weiter: „Es ist nicht vergessen worden, dass der Horizont des christlichen Kaufmanns sehr viel weiter reichte als der vieler moderner Gelehrter, die über ihm gearbeitet haben.“²

In diese Zeit wird ein heute berühmter Mathematiker hineingeboren: der Italiener Leonardo da Pisa, Sohn eines Kaufmannes. Folgt man dem Zitat von Le Goff, ist verständlich, dass auch Leonardo da Pisa, der Fibonacci genannt wurde , nach dem Willen seines ehrgeizigen Vaters eine sehr gute Ausbildung, vor allem in der Naturwissenschaft, erhielt.

Fibonacci ist einer der ersten Europäer des Mittelalters, der die antike Wissenschaft wiederentdeckt und damit den Grundstein für eine „Renaissance“ der Naturwissenschaften, besonders der Mathematik, in ganz Europa legte.

Pisa³ ist der Ort, an dem der Mathematiker um 1170 das Licht der Welt erblickt. Noch fast 850 Jahre später sollten sich die Menschen an ihn erinnern.

Kapitel 1
DER MATHEMATIKER LEONARDO DA PISA

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten⁴

Briefmarke: Fibonacci

1.1 Leonardo da Pisa – Mathematiker des Mittelalters

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

er Italiener Leonardo da Pisa, bekannter als Leonardus Fibonacci, war ein angesehener Rechenmeister in Pisa und gilt heute als erster bedeutender Mathematiker der ansonsten mit Vertretern dieses Wissenschaftsgebietes rar gesegneten Zeitepoche des Mittelalters, die etwa die Jahre zwischen 375/378 n. Chr. (Beginn der Völkerwanderung) und 1492 (Entdeckung Amerikas) umfasst. In verschiedenen Handschriften ist Fibonacci auch unter den Namen Leonardus Pisanus, Leonardo Bigollo oder Leonardus filius Bonacij vermerkt.

Über das Leben des berühmten Rechenmeisters ist nur wenig bekannt, weswegen die genannten Jahreszahlen auf historischen Rekonstruktionen heutiger Wissenschaftler beruhen und deshalb nur Vermutungen darstellen. Die meisten Angaben findet man in Dokumenten der Stadt Pisa sowie in seinem berühmtesten Werk, dem Buch „Liber abbaci“ (lat. „Buch der Rechenkunst“), in welchem er um die Jahre 1201/1202 sorgfältig sein gesammeltes mathematisches Wissen zusammengestellt hatte.

Im Widmungsprolog des Buches „Liber abbaci“ steht: „Als mein Erzeuger von der Vaterstadt in die Handelsniederlassung von Bougie um der dort zusammen- kommenden Pisaner Kaufleute willen als öffentlicher Notar abgeordnet worden war, ließ er mich in meinen Knabenjahren zu sich kommen. In Anbetracht des künftigen Nutzens und Vorteils wollte er, dass ich dort in der Schule des Rechnens für einige Tage verweile und unterrichtet werde. Wo ich dann aus bewunderungswürdiger Meisterschaft in die Kunst mit den neun Zahlzeichen der Inder eingeführt wurde, und so sehr gefiel mir die Wissenschaft dieser Kunst mehr als alle anderen und war ich um Einsicht in sie bemüht, dass ich was immer von ihr mit ihren verschiedenen Arten in Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und Südfrankreich zu lernen ist, auf späteren Reisen zu diesen Handelsorten mit großem Aufwand an Studium und Disputationen mir aneignete. Doch alles dies und ebenso den Algorismus und die Bögen des Pythagoras hielt ich gleichsam für einen Irrtum im Vergleich zur Rechenart der Inder.“⁵

Um 1275 in Pisa geboren, verbrachte der junge Fibonacci auch seine Kindheit dort. Auf Handelsreisen nach Nordafrika mit seinem Vater Gulielmo Bonacij, der ein angesehener Kaufmann und Diplomat der Stadt Pisa war, lernte er die hindu-arabischen Ziffern, also unser heutiges arabisches Zahlensystem und dessen⁶ Rechenmethoden kennen.

Dieses Wissen, das für den jungen Leonardo wertvoller war als alles andere, was er auf seinen Reisen kennen gelernt hatte, fasste er im bereits genanntem Buch „Liber abbaci“ zusammen, welches maßgeblich zur Verbreitung des arabischen Zahlen- Systems in Europa beitrug.

Bonaiini , ein angesehener Magister der Stadt Pisa, würdigte Fibonacci um 1240 in einem Dekret der Stadt Pisa für seine Arbeit als Rechenmeister. Demnach starb Fibonacci nicht vor 1240, so dass er ein für diese Zeit beachtliches Alter von mindestens 60 Jahren erreichte.

Im Dekret „Constitutum usus psianaue civitaits“, übersetzt von H. Lüneberg, ist zu lesen: „In Anbetracht unserer Stadt und der Bürger Ehre und Vorteil, der ihnen wie oft schon bei Bedarf zustatten kommt sowohl durch die Gelehrsamkeit als auch durch die emsigen Dienste des ausgezeichneten und klugen Mannes und Lehrers Leonardo Bigollo [Fibonacci], die im Berechnen von (Steuer-)Schätzungen und Rechnungen für die Stadt und ihre Amtsträger und anderem bestehen, setzen wir durch vorliegende Konstitution fest, dass eben diesem Leonardo aus Wertschätzung und Gunst, aufgrund des Verdienstes und aufgrund des Vorrangs seiner Kenntnis zum Ausgleich für seine Arbeit, die er ausführt durch Prüfung und Feststellung oben genannter Schätzungen und Rechnungen, von der Gemeinde und ihren Kämmerern - von der Gemeinde berufen und für die Gemeinde handelnd - als Lohn bzw. sein Gehalt jährlich XX Pfund Pfennige und die üblichen Naturalleistungen gegeben werden müssen und dass er der Gemeinde von Pisa und ihren Amtsträgern fortan wie gewohnt durch Ausführung von Rechnungen diente“.⁷

Fibonaccis Ruhm in Europa wuchs in der Zeit nach seinem Tod rapide an. Friedrich II⁸, der sich sehr für Mathematik interessierte, erhielt Fibonaccis Liber Quadratorum (verfasst um 1225), das die allgemeine Zahlentheorie sowie die Lösung von quadratischen Gleichungen behandelt.

1.2 Das Buch „Liber abbaci“ - Lebenswerk eines beinahe vergessenen Mathematikers

Die abendländische Mathematik, die seit der Antike weitgehend vergessen worden war, erlebte mit Fibonaccis Werk, dem „Liber abbaci“, eine „Wiederbelebung“. Während seiner Reisen durch den Mittelmeerraum entdeckte der junge Fibonacci den Schatz der arabischen Mathematik und zeigt in seinem Hauptwerk die Vorteile des indisch- arabischen Zahlensystems auf.

1.2.1 Die Vorläufer des „Liber abbaci“: Al- Khwarizmi und Abu Kamil

Der aus Zentralasien stammende Al-Khwarizmi, auch Ja’far Muh’ammad genannt, war ein Astronom und Historiker, der in der ersten Hälfte des neunten Jahrhunderts lebte.

„Die eigentliche Geburtsstunde der klassischen Algebra wird vielfach mit der Entstehung des Buches ‚Al-Kitab al-muktas’ar fi h’isab al-jar wa’lmugabala’ gleichgesetzt“⁹, das Al-Khwarizmi verfasste und unter anderem die Verwendung der Zahl Null behandelt. „Nach den Worten des Autors enthält das Buch alles, was aus der Arithmetik überaus brauchbar ist, was Menschen bei Vererbungsangelegenheiten brauchen, bei Teilungsproblemen, bei Rechtsstreitigkeiten, im Handel, und überhaupt bei allen gegenseitigen Beziehungen (…)“.¹⁰ Die Grundlage hierfür war eine Schrift des ägyptischen Mathematikers Abu Kamil, der zwischen 850 und 930 n. Chr. lebte. Er war der erste arabische Mathematiker, der versuchte, eine Lösung für die mathematischen Probleme des Griechen Diophat zu finden.

Vor allem die Handelsmathematik wird darin umfassend behandelt: Verleih, Währungsumrechnungen und Verkauf. Durch konkrete Beispiele werden die Rechenmethoden systematisch dargelegt. Verwendung fand das Werk vor allem im

Handelswesen, wobei verschiedene Methoden der Geschäftsführung und der Buchhaltung behandelt werden.

Es bedurfte einer langen Zeit, bis das Werk seine Früchte tragen konnte: Erst in den letzten Jahrzehnten des dreizehnten Jahrhunderts begegnet man konkreten Zeugnissen des Einflusses von Leonardo Fibonacci auf die Entwicklung der Mathematik in Italien, wobei dieser beinahe immer in Verbindung mit den Aktivitäten der Rechenschulen (scuole d’abaco) stattfand. Das „Liber Abbaci“ sorgte für eine Renaissance der europäischen Mathematik.

1.2.2 Baldassare Boncompagni

Die Wiederbelebung der Arbeit von Fibonacci stellte sich erst gegen Ende des 18. Jahrhunderts ein. Dem Italiener Baldassare Boncompagni ist es zu verdanken, dass der modernen Gesellschaft überhaupt die Arbeiten Fibonaccis vorliegen. Der Italiener studierte dessen Leben und Werke und veröffentlichte um 1860 eine Edition dessen Schriften, die bis heute überliefert sind. Dabei konzentrierte sich der Italiener besonders auf die zwei Hauptwerke Fibonaccis: das Liber Abbaci (1857) und die Practica Geometriae (1862). Bis heute ist die Neuherausgabe der alten Schriften durch Boncompagni die einzige Überlieferung der Werke Leonardo Fibonaccis.

Kapitel 2
DIE FIBONACCI-ZAHLEN

- EINE ARITHMOLOGIE–

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten¹¹

Die erste Seite des „Liber abbaci“

2.1 Einführung in das Kapitel

Der französische Mathematiker und Physiker Blaise Pascal (1623-1662) sagte einmal:

„Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, dass man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.“¹²

Ich versuchte, bei der Ausarbeitung meiner Facharbeit nach diesem Grundsatz zu verfahren. Das zweite Kapitel meiner Facharbeit, das sich mit den Eigenschaften, Berechnungsmöglichkeiten und Formeln der Fibonacci-Zahlenreihe beschäftigt, soll nicht als „rein“ mathematischer Abschnitt verstanden werden, der sich über Seiten mit Definitionen und Rechnungen beschäftigt. Natürlich ist dies nicht ganz unumgänglich, jedoch habe ich mein Bestes versucht, auch das zweite Kapitel der Arbeit möglichst „unterhaltsam“ zu gestalten: Zahlreiche praktische und anschauliche Beispiele sowie kleine mathematische „Spielereien“ sollen den Leser auf den Geschmack bringen und selbst abstrakte mathematische Formeln etwas „versüßen“.

Zu Beginn möchte ich zunächst die wohl wichtigste Frage beantworten:

„Was sind die Fibonacci-Zahlen eigentlich?“

2.2 Das mathematische Grundprinzip der Fibonacci-Zahlen

Um den breiten Anwendungsbereich der Fibonacci-Zahlenreihe sowie dessen Eigen- schaften verstehen zu können, ist es zunächst sinnvoll zu klären, welche Bedeutung die Fibonacci-Zahlen haben:

Bei den Fibonacci-Zahlen handelt es sich um eine Zahlenreihe, die nach einem bestimmten Gesetz bis in die Unendlichkeit fortgesetzt werden kann. Im Folgenden sind die ersten Glieder der Zahlenkette aufgelistet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wirft man einen kurzen Blick auf die ersten Glieder der Zahlenreihe, so ist die Regelmäßigkeit der Kette sofort klar: Ein Glied der Zahlenreihe ergibt sich aus der Summe der zwei vorhergehenden Zahlen (ab dem dritten Glied). So lässt sich zum Beispiel die „13“ aus der Summe von „8“ und „5“ ermitteln.

2.2.1 Definition

Allgemein lässt sich die Fibonacci-Zahlenreihe also wie folgt definieren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten¹³

Dabei steht „n“ für das n-te Glied. F0 mit n = 0 ist das „nullte“ Glied der Kette, die „0“ und F1 mit n = 1 ist das erste Glied der Kette, die „1“. Also ist mit “F₇„ das siebte Glied gemeint, die „13“.

Die Formel F_n+1= F_n+ F_n-1 wurde nicht von Fibonacci selbst aufgestellt, sondern von dem Mathematiker Leonhard Euler¹⁴ erst Jahrhunderte später.

2.2.2 Das rekursive Bindungsgesetz

Die obige Zahlenreihe kann dabei die Anfangsglieder „0“ und „1“ bzw. „1“ und „1“ haben.

Jedoch funktioniert die Fibonacci-Kette in formaler Form nach dem rekursiven Bindungsgesetz:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten¹⁵

Oft wird die „0“ als Anfangswert ausgelassen, wenn der Wert „0“ bei Anwendung der Fibonacci-Folge sinnlos ist. Hierzu ein passendes Beispiel, in dem die „0“ ausgelassen wird: Folgende Aufgabe findet man im „Liber abbaci“ als Übungsaufgabe zur Addition: die berühmte Kaninchenaufgabe.

2.2.3 Die Kaninchenaufgabe

Diese „Übungsaufgabe“ stammte ursprünglich aus einem mathematischen Rätsel, das Leonardo da Pisa bei einem Wettbewerb lösen sollte. Diese Aufgabe habe ich bereits kurz in meinem Referat vorgestellt:

„Ein Kaninchenpaar wirft vom zweiten Monat an monatlich ein junges Paar, das seinerseits vom zweiten Monat an monatlich ein junges Paar zur Welt bringt. Wie viele Kaninchen leben nach n Monaten, wenn zu Beginn ein junges Paar lebte?“¹⁶

Es ist hier anzumerken, dass die obige Aufgabenstellung einen Fehler enthält. Richtig wäre: „Ein Kaninchenpaar wirft von ersten Monat an monatlich ein junges Paar“ und nicht vom zweiten. Das erste Hasenpaar im Dezember des Vorjahres wird nämlich nicht erst nach einem Monat zeugungsfähig, sondern bekommt schon im Januar die ersten Nachkommen. Alle neugeborenen Hasenpaare bringen erst ab dem zweiten Monat ein neues Paar zur Welt. Erst durch diese Vorraussetzung kann mit der Fibonacci-Zahlenreihe das Problem gelöst werden.¹⁷

Entsprechend der Aufgabenstellung vermehrt sich das Hasenpaar nach dem Schema der Fibonacci-Zahlen (Anzahl der Hasenpaare insgesamt!). Das Hasenpaar aus dem Dezember des Vorjahres bekommt im Januar die ersten Nachkommen.

Lösung: Ende Dezember gibt es insgesamt 233 Hasenpaare.

[...]

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¹ Lehre von den Eigenschaften einer bestimmten Zahlengruppe, hier: Die Fibonacci-Zahlen

² Berendt, Susanne: Facharbeit über die Fibonacci-Zahlen, S. 1

³ vgl. Karte im Anhang S. 42

⁴ ohne Urheber: Briefmarke Fibonacci, 1999, http://jeff560.tripod.com/fibonacci.jpg, aufgerufen am 29.09.2007

⁵ Liebknecht, Otfried: Leonardo Fibonacci, http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci vom 11.10.2007, aufgerufen am 23. Oktober 2007

⁶ Ohne Urheber: Fibonacci, 2006, http://www.farya.com/images/all/fibonachi.jpg, aufgerufen am 28.08.2007

⁷ Liebknecht, Otfried: Leonardo Fibonacci, http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci vom 11.10.2007, aufgerufen am 12.10.2007

⁸ Friedrich II (1712-1786), preußischer König

⁹ Kaiser, Hans, Nöbauer, Wilfried: Geschichte der Mathematik, S. 148

¹⁰ Ebenda

¹¹ Ohne Urheber: Liber Abbaci, http://www.zahlenjagd.at/fibonacci.gif, ohne Datum, aufgerufen am 29.09.2007

¹² o. V.: Zitate zur Mathematik u. a., http://www.mathematik.ch/zitate/, ohne Datum, aufgerufen am 23.11.2007

¹³, 15 nach Becker, Michael: Die Fibonacci-Zahlen, S. 2f

¹⁴ Leonhard Euler (1707-1783), Entdecker der Euler’schen Zahl e

¹⁶ Glaeser, Georg: Der mathematische Werkzeugkasten, S. 332

¹⁷ selbst erstelltes Schaubild zur Kaninchenaufgabe (Ausschnitt)