Neue und alte Erkenntnisse über das elementare Gebilde Dreieck werden systematisch erfasst. Was die alten Griechen schon wußten, wird ebenso beschrieben, wie Erkenntnisse unserer heutigen Zeit.
Inhaltsverzeichnis
Die W E H R L E - Formeln für Dreiecke
w = A - r2
ab = 2r(2R+r)
2 r = a+b – c
a+b = 2 (R+r)
a½ = R+r ± √ (R2–A)
w = w1 + w2
[ ¼x708 + ½x36 ] / 24 = [177+18]:24 = 8,125
Anwendung des Differenzen-Wehrles:
Die Summe der Seitenquadrate des Dreiecks
Rationale Dreiecke mit natürlichen Seitenlängen
Abstand der Zentren
d = √ (R2 + r2 - A)
Der Sinus-Wehrle
Andere trigonometrische Wehrles
Des Sinus-Differenzen-Wehrle
Die trigonomischen Potenzen-Wehrles
Die Tangentenabschnitts-Kreise des Dreiecks
Das Küßproblem
Die Formel von Descartes
Die Kreisspiegelung
Die Krümmung der Küßkreise
Die Krümmung der Ankreise
Die Eulergerade und der Feuerbachkreis
Die zweite Eulergerade
Merkwürdige Kreise des Dreiecks
Die Brocard-Kreise
Merkwürdige Punkte beim Dreieck
Satz von CEVA ein entscheidendes Hilfsmittel:
Der Satz von Van-Aubel
Satz von Euler-Gergonne
Tangentendreiecks-Punkte
Schnittpunkte von Eulergeraden:
Extremwertaufgaben
Satz von Erdös-Mordell
BEWEIS der WEHRLE-Formel
Beweis der Flächenformel: A = w + r2
u= 2(r+2R)
Beweis für w = R² - d²
Übungsaufgaben:
Um- und Inkreisradien in Abhängigkeit der Seitenlängen im allgemeinen Dreieck
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht die tieferliegenden geometrischen Zusammenhänge und "Geheimnisse" des Dreiecks im Rahmen des "Jahres der Mathematik 2008". Ziel ist es, durch die Einführung der sogenannten "Wehrle-Zahl" sowie verschiedener spezialisierter Formeln und Sätze, eine Brücke zwischen klassischen geometrischen Problemen und modernen analytischen Betrachtungsweisen zu schlagen.
- Herleitung und Anwendung der Wehrle-Zahl bei Dreiecken.
- Analyse spezieller Kreise im Dreieck, wie dem Feuerbachkreis und dem Brocard-Kreis.
- Untersuchung merkwürdiger Punkte im Dreieck und deren Schnittpunkteigenschaften.
- Rationale Konstruktion von Dreiecken mit natürlichen Seitenlängen.
- Darstellung von Extremwertaufgaben und geometrischen Sätzen wie dem Satz von Ceva oder Van-Aubel.
Auszug aus dem Buch
Die Wehrle-Zahl ist einfach das Produkt dividiert durch die Summe:
Nehmen wir z. B. die ersten drei natürlichen Zahlen 1, 2 und 3.
Ihre Wehrle-Zahl ist w (1, 2, 3) = 1 x 2 x 3 : (1+2+3) = 1
Addieren wir nun jeweils zwei dieser drei ersten natürlichen Zahlen 1, 2 und 3, dann erhalten wir als Summen die drei Seiten eines Dreiecks mit a =1+2 = 3, b =1+3 = 4 und c =2+3= 5. In diesem Falle ist es sogar rechtwinklig, d.h. es enthält einen 90°-Winklel, da der Satz des Pythagoras gilt: a²+b²=c² 3²+4²=5² .
Sein Inkreisradius r ist gerade diese Wehrle-Zahl 1.
(Allgemein ist r die Wurzel aus der Wehrle-Zahl der Tangentenabschnitte!)
Zusammenfassung der Kapitel
Die W E H R L E - Formeln für Dreiecke: Einführung der Wehrle-Zahl als fundamentales Instrument zur Berechnung von In- und Umkreisradien.
Die Summe der Seitenquadrate des Dreiecks: Herleitung von Formeln zur Differenzbestimmung zwischen der Summe der Seitenquadrate und anderen Dreiecksgrößen.
Rationale Dreiecke mit natürlichen Seitenlängen: Konstruktionsmethoden für Dreiecke mit rationalen Parametern und ganzzahligen Seitenlängen.
Abstand der Zentren: Analyse der Abstandsbeziehung zwischen Inkreismitte und Umkreismittelpunkt.
Der Sinus-Wehrle: Verknüpfung der Sinuswerte der Dreieckswinkel mit der Wehrle-Zahl.
Andere trigonometrische Wehrles: Vorstellung weiterer Wehrle-Größen basierend auf Cosinus, Tangens und Cotangens.
Die Kreisspiegelung: Untersuchung der Inversion als zentrales Werkzeug zur Konstruktion und Abbildung von Kreisen im Dreieck.
Die Eulergerade und der Feuerbachkreis: Beschreibung der bedeutenden Euler-Gerade und der Eigenschaften des Neun-Punkte-Kreises.
Die zweite Eulergerade: Untersuchung zusätzlicher Punkte wie dem Spieker- und Nagelpunkt auf einer weiteren Euler-Geraden.
Merkwürdige Kreise des Dreiecks: Überblick über spezielle Kreise wie die Brocard- oder Malfatti-Kreise.
Merkwürdige Punkte beim Dreieck: Zusammenstellung von Schnittpunkten wie dem Gergonne- oder Lemoine-Punkt und deren Beweismethoden.
Schlüsselwörter
Dreiecksgeometrie, Wehrle-Zahl, Inkreisradius, Umkreisradius, Feuerbachkreis, Eulergerade, Brocard-Punkte, Malfatti-Kreise, Tangentenabschnitte, rationale Dreiecke, Kreisspiegelung, Satz von Ceva, Satz von Van-Aubel, Höhenschnittpunkt, Geometrie.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in diesem Werk grundsätzlich?
Das Buch widmet sich der mathematischen Analyse von Dreiecken und stellt eine Reihe von Formeln und Zusammenhängen vor, die über den klassischen Lehrstoff hinausgehen, insbesondere unter Verwendung der neu definierten Wehrle-Zahl.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die zentralen Themen umfassen die Verknüpfung von In- und Umkreisradien, die Untersuchung spezieller Dreieckspunkte und -kreise sowie die Konstruktion rationaler Dreiecke.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, neue algebraische Ansätze und Zusammenhänge zur Beschreibung von Dreiecken aufzuzeigen und dabei komplexe Zusammenhänge zwischen Seiten, Winkeln und Radien transparent zu machen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt algebraische Herleitungen, trigonometrische Analysen und geometrische Konstruktionen, oft unter Einbeziehung von Sekantensätzen und der Inversionsgeometrie.
Was wird im Hauptteil detailliert behandelt?
Der Hauptteil behandelt die Wehrle-Formeln, die Theorie der Kreisspiegelung, die Eigenschaften der Eulergeraden und des Feuerbachkreises sowie eine Vielzahl merkwürdiger Punkte wie den Lemoine- oder Fermat-Punkt.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren das Werk?
Dreiecksgeometrie, Wehrle-Zahl, Inkreis, Umkreis, Feuerbachkreis und Eulergerade sind die prägenden Begriffe.
Was bedeutet die "Wehrle-Zahl"?
Die Wehrle-Zahl ist eine von den Autoren definierte Kennzahl, die das doppelte Produkt aus Inkreisradius und Umkreisradius beschreibt und die Berechnung diverser Dreiecksparameter vereinfacht.
Welche Rolle spielt die Kreisspiegelung?
Die Kreisspiegelung dient als wichtiges Instrument zur Inversion, um geometrische Sachverhalte zu vereinfachen und Zusammenhänge zwischen verschiedenen Kreis- und Punktkonfigurationen im Dreieck zu beweisen.
- Citation du texte
- Hugo Wehrle (Auteur), 2008, Die vorletzten Geheimnisse des Dreiecks - Bekannte und unbekannte Erkenntnisse, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/112038
