Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule

Gliederung

Einleitung

1 Bedeutung von Aufgaben für den Mathematikunterricht
1.1 Funktionen von Aufgaben
1.2 Aufgabenkonstruktion

2 Kriterien für gute Aufgaben
2.1 Ebene der Didaktik
2.2.1 Inhaltsbezogen mathematische Kompetenzen
2.2.2 Allgemeine mathematische Kompetenzen
2.2 Ebene der Zielgruppenanalyse
2.2.1 Analyse der Klasse
2.2.2 Analyse des Schülers
2.2.2.1 Analyse des aktuellen Leistungsstandes
2.2.2.2 Analyse der Zone der nächsten Entwicklung
2.3 Ebene der Methoden

3 Studie zur Vorgehensweise von Kindern beim Lösen ausgewählter Aufgaben
3.1 Planung der Studie
3.2 Gute Aufgaben: Studie zur Vorgehensweise von Kindern beim Lösen ausgewählter Aufgaben
3.2.1 Aufgabe für Paul
3.2.2 Aufgabe für Ilhami und Roland
3.2.3 Tandemübung
3.2.4 Aufgabe für Mehmet
3.2.5 Aufgabe für Leon, Maria, Robert und Lena
3.2.6 Klassenaufgabe
3.2.7 Schreibgespräch

4. Auswertung der Studie

Literaturverzeichnis

Einleitung

Beschäftigt man sich mit der Qualität von Mathematikaufgaben, so wird man schnell erkennen, dass es die gute, herausfordernde oder spannende, aber auch die schlechte Aufgabe de facto nicht geben kann. Ihre Existenz scheitert allein an der Individualität ihrer Empfänger und an deren unterschiedlichen Kompetenzen. Diese Tatsache ist jedoch nur Spiegelung des allgemeinen Problems, dass „Lehren“ nicht in der Weise als aktiver Vorgang verstanden werden kann, bei welchem einer Aktion der Lehrperson eine zu erwartende oder einschätzbare Reaktion des Lernenden folgt. „Lernen ist eine aktive Tätigkeit, die vom Lernenden immer nur selbst vollzogen werden kann und insofern durch Lehren nicht zu erzwingen ist. Lernen findet selbstverständlich auch ohne Lehren statt; umgekehrt wird dort wo gelehrt wird, nicht automatisch schon im intendierten Sinne gelernt“ (Terhart 2005, S. 132). Definiert man „Lehren“ als das Bereitstellen von Lernmöglichkeiten, die jeder Schüler^[1] subjektiv wahrnimmt, zerfällt eben jenes Bild des „Nürnberger Trichters“, welches der Tätigkeit des Lehrens jene oben beschriebene Aktivität suggeriert.

Die von Terhart erarbeitete Definition von Lernen gilt es bei der Konstruktion von Aufgaben zu berücksichtigen. Ein und dieselbe Aufgabe kann für unterschiedliche Schüler gleichermaßen gut wie schlecht sein, abhängig von der Tatsache, ob und inwiefern sie dem einzelnen Schüler Lernmöglichkeiten bietet. Deshalb ist nach Ruwisch die Eigenschaft gut nicht Kennzeichen einer Aufgabe, sondern der „Beziehung von Aufgabenstellung und Problemlösenden“ (Ruwisch 2003, S. 5). In der praktischen Realisierung würde dies im idealen Falle eine didaktische und methodische Anpassung einer Aufgabe auf die Kompetenzen jedes einzelnen Schülers zur optimalen Steigerung von Lernqualität bedeuten - eine nahezu unausführbare Vorstellung, da jeder Schüler somit Anspruch auf Aufgaben hätte, die individuell auf seine Fähigkeiten abgestimmt wären. Dies könnte an mehreren Faktoren scheitern.^[2] Vielmehr bedeutet es beim Auswählen oder Anfertigen von Mathematikaufgaben dem Schüler möglichst viele Chancen für die Entwicklung von Beziehungen zum mathematischen Inhalt zu bieten, auch wenn die Rezeption nicht garantiert ist. Der zuvor genannten Definition von „Lehren“ würde man jedoch gerecht bleiben.

In dieser Arbeit ist die Bezeichnung „gut“ nicht zwangsläufig gleichbedeutend mit „herausfordernd“ oder „spannend“. Das Adjektiv muss auch nicht unbedingt beschreiben, dass Aufgaben, die dieses Qualitätsmerkmal erhalten, einer „neuen Aufgabenkultur“ entstammen. Es verdeutlicht lediglich, dass solche Aufgaben einem Schüler Lernmöglichkeiten anbieten. Das kann unter gewissen Umständen auch eine banal wirkende Aufgabe leisten. Ein adäquates Synonym für „gut“ wäre demnach „geeignet“ oder „passend“.

Im ersten Kapitel dieser Arbeit analysiere ich die Bedeutung von Aufgaben für den Mathematikunterricht. Darin inbegriffen ist das Konstruieren von Aufgaben als „Lehrerhandwerk“, sowie die Forderung nach einem Konzept, das einen strukturierten Einsatz von Aufgaben in einer Klasse rechtfertigt.

Einen eigenen Vorschlag für ein mögliches Konzept mit dem Titel „Gute Aufgaben“ möchte ich im zweiten Kapitel vorstellen. Dabei werden auf drei zu berücksichtigenden Ebenen der Aufgabenkonstruktion Kriterien genannt, die das Erreichen von Lernzielen gewährleisten sollen.

Wie Schüler mit Aufgaben, basierend auf meinen Überlegungen, vorgehen, die nach dem vorgestellten Konzept konstruiert wurden, und inwiefern dieses in der Praxis tragfähig ist, soll in einer empirischen Studie untersucht werden. Diese möchte ich im dritten Kapitel vorstellen und im vierten Kapitel auswerten.

1 Bedeutung von Aufgaben für den Mathematikunterricht

1.1 Funktionen von Aufgaben

Aufgaben sind das zentrale Medium, über das Kinder die Mathematik im Unterricht erfahren. Gleichwohl dienen sie dem Lehrer als Instrument, mit dessen Hilfe er die Schüler animieren kann, gesetzte Lernziele zu erreichen. Die Frage nach der Bedeutung von Aufgaben im Mathematikunterricht ist demnach davon abhängig zu machen, welche Zwecke sie erfüllen sollen. Im Groben lassen sich hierbei zwei Funktionsfelder unterscheiden, die Aufgaben bedienen können; lernen und leisten (vgl. Blum 2006, S. 82f oder Büchter 2005, S. 9).

In Lernsituationen soll der Schüler mathematische und allgemeine Kompetenzen entwickeln, die in Leistungssituationen überprüft und bewertet werden (vgl. Blum 2006, S. 82). In ersteren gilt es, Lernwege zu ergründen. Das Begehen von Fehlern und deren Korrektur ist hierbei fester Bestandteil des Kompetenzerwerbs. In Leistungssituationen muss der Schüler Gelerntes durch sicheres Anwenden unter Beweis stellen und dabei Fehler vermeiden. Aufgaben für das Lernen mathematischer Fähigkeiten sind beispielsweise solche, die dem Erkunden, Entdecken und Erfinden, dem Sammeln, Sichern und Systematisieren oder dem Üben, Vernetzen und Wiederholen dienlich sind. Erfüllen Aufgaben Funktionen der Diagnose von Fähigkeiten und Vorstellungen oder der Überprüfung von Leistungen, sind sie hingegen dem Bereich der Leistungssituation zuzuordnen (vgl. Blum 2006, S. 82f).

1.2 Aufgabenkonstruktion

Schulbücher, eigene oder von Kollegen gesammelte Materialien, aber auch zunehmend das Internet bieten Lehrern einen großen Fundus an Aufgaben, die für den Mathematikunterricht Verwendung finden können. Die Auswahl, Abänderung oder Kreation von Aufgaben sollte für den Einsatz im Mathematikunterricht nicht gedankenlos erfolgen. Denn der konzeptlose Gebrauch vorgefertigter Aufgaben lässt das Erreichen erwarteter Lernziele, insbesondere bei rechenschwächeren Schülern, mit aller Wahrscheinlichkeit fehlschlagen. Jede Klasse und alle in ihr befindlichen Kinder sind in punkto Lerngeschichte, Lern- und Leistungsvermögen, Lernbereitschaft, Lerntempo und Lerngewohnheiten einzigartig. Diese Umstände werden bei dem planlosen Gebrauch vorgefertigter Aufgaben nicht berücksichtigt. Aus diesem Grund umfasst der beschriebene konzeptlose Einsatz auch das mechanische Abarbeiten eines Schulbuches.

Die Profession des Lehrers besteht darin, Aufgaben methodisch und didaktisch den Klassen- und Schülerbesonderheiten entsprechend anzupassen und diesen somit gerecht zu werden. Büchter bezeichnet in diesem Zusammenhang die Aufgabenkonstruktion, bzw. „die individuelle Erarbeitung guter Aufgaben“ als das „Handwerk“ des Lehrers (Büchter 2005, S. 14f).

„Aufgaben sind also die Steilvorlage für gelingendes, variantenreiches Lernen in einem guten Unterricht“ (Büchter 2005, S. 14).

Aus diesem Zitat ergibt sich, dass der richtige Einsatz von Mathematikaufgaben auch in gewisser Weise die Qualität des Unterrichts beeinflusst. Es unterstreicht nochmals die Forderung nach einem Konzept, nach dem Aufgaben unter Berücksichtigung verschiedener Kriterien den Klassen- und Schülerbesonderheiten, sowie den Inhalten und Zielsetzungen entsprechend ausgewählt, angepasst oder kreiert werden müssen, um erwähnte „Steilvorlagen“ auch erfolgreich nutzen zu können.

Die drei genannten Tätigkeiten sollen im Folgenden unter dem Begriff der Aufgabenkonstruktion zusammengefasst werden.

2 Kriterien für gute Aufgaben

„Wofür soll das gut sein?“

Nicht selten hinterfragen Schüler den Sinn eines mathematischen Themas. Als Lehrer auf diese Frage keine adäquate Antwort zu kennen, kann verheerende Auswirkungen auf die Motivation der Schüler haben, die eine solche Frage zumeist mit Erwartungshaltungen bezüglich einer klärenden Antwort stellen.

Grundlage, jeder die Gestaltung von Unterricht betreffenden Überlegung, sind die Intention und die zu ihr passenden Inhalte. Klafki fordert dies mit dem Satz vom so genannten „Primat der Didaktik“ (vgl. Klafki 1971, S. 70f). Basis jeder Unterrichtsplanung ist die Frage, wozu Schüler durch den Unterricht befähigt werden sollen und welche Ziele dieser verfolgt. Diese Überlegungen umfassen nicht allein das Erwerben mathematischer, sondern auch weiterer Kompetenzen, wie beispielsweise das Erlernen von Verhaltensformen oder Lernstrategien.

Die einleitend genannte Frage „Wofür soll das gut sein?“ verdeutlicht mit der Verwendung des Wortes „gut“, dass sie eine Frage nach Qualität ist. Anders formuliert könnte sie heißen: „Inwiefern werde ich als Schüler durch den Unterricht zu etwas befähigt?“ Sie zielt explizit auf die oben genannten didaktischen Überlegungen ab und verdeutlicht auch das Interesse der Schüler an diesen.

Möchte man sich nun mit der Frage beschäftigen, welche Kriterien Aufgaben im Mathematikunterricht erfüllen müssen, um das Qualitätsmerkmal gut zu erhalten, ist dies eng verbunden mit der einleitend gestellten Schülerfrage, wofür sie gut sein sollen.

Nachdem die Lernziele bestimmt worden sind, gilt es, den Stand der Lernenden zu untersuchen. Alle weiteren Schritte bauen auf einer Analyse der Klasse und des Schülers als Individuum dieses sozialen Gebildes auf. Witzenbacher unterscheidet bei der Analyse der Lernfähigkeit zwischen „Lernstand (Vorwissen und -können), der durch physisch-psychische Konstitution und Entwicklung bedingte sowie durch den bisherigen Unterricht erworbene Lernstil, die Lerngewohnheiten und das Lerntempo“ (Witzenbacher 1994, S. 62).

Möchte man sich nun mit der Frage beschäftigen, welche Kriterien Aufgaben im Mathematikunterricht erfüllen müssen, um das Qualitätsmerkmal gut zu erhalten, ist dies eng verbunden mit Frage, wie gut sie an die jeweilige Zielgruppe angepasst ist und diese anzusprechen vermag.

Wenn man die Lernziele gesetzt und die Klassen- und Schülersituation analysiert hat, hat man -metaphorisch gesprochen- Ziel und Start festgelegt. Nun gilt es Wege zu schaffen, welche diese miteinander zu verbinden im Stande sind. Es müssen mit Hilfe der Erkenntnisse aus den vorangestellten Analysen folgerichtige Schlüsse gezogen und Begegnungen von Inhalt und Schüler arrangiert werden. Dabei werden Interessen am Lerngegenstand entfacht, „kurzum: Lernprozesse in Gang setzt(en).“ (Witzenbacher 1994, S. 92)

Möchte man sich nun mit der Frage beschäftigen, welche Kriterien Aufgaben im Mathematikunterricht erfüllen müssen um das Qualitätsmerkmal gut zu erhalten, ist dies eng verbunden mit der Frage, wie gut die methodische Konzeption der Aufgabe den Schüler an die ausgewählten Inhalte und Lernziele führen kann.

Es gibt demnach drei Wirkungsebenen, unter deren Berücksichtigung eine Aufgabe den Bedingungen entsprechend abgestimmt werden muss; die Ebene der Didaktik, der Zielgruppenanalyse und der Methode. Alle drei Ebenen gut bedienen zu können muss eine Aufgabe zu leisten im Stande sein, um auch im Generellen das Prädikat gut zu verdienen. Um den engen Bezug der einzelnen Ebenen zueinander zu verdeutlichen, soll nochmals auf die Start-Weg-Ziel Metapher hingewiesen werden, da sie das Zusammenspiel bei einer sinnvollen Aufgabenkonstruktion der drei Ebenen veranschaulicht.

Will man innerhalb eines begrenzten zeitlichen Rahmens ein bestimmtes geographisches Ziel erreichen, muss man dieses zuerst ausfindig machen, beispielsweise durch das Verwenden einer Landkarte. Anschließend gilt es den Ort des Starts festzulegen und die Art des Reisens zu wählen. Hierbei muss beispielsweise ein Fahrradfahrer nach anderen Wegen suchen, die vom Ausgangspunkt zum Zielort führen, als ein Pkw-Fahrer oder ein Fußgänger beispielsweise. Die Beachtungen aller Bedingungen ist Vorraussetzung für das sichere Erreichen des Zieles.^[3]

Es obliegt also dem Lehrer, für seine Schüler Standorte zu bestimmen (Zielgruppenanalyse, Leistungsdiagnose), anhand einer Landkarte (evtl. Rahmenplan, Bildungsstandards) Ziele (Lernziele) festzulegen und geeignete Reisemöglichkeiten (Methoden) zu wählen.

Demnach zeigt die Metapher, dass es der pädagogischen Verantwortung des Lehrers unterliegt, das Erreichen gewisser Ziele für die Schüler zu planen, zu gestalten und zu realisieren. In manchen Unterrichtsmodellen wird diese Verantwortung partiell an den Schüler übergeben, z. B. durch die Verwendung von Lerntagebüchern oder Portfolios, in welchen über eigene Lernfortschritte und Defizite reflektiert werden soll. Dies beeinflusst allerdings nicht die Tatsache, dass die Konstruktion geeigneter Aufgaben, die jene Ziele erreichbar machen, in allen Fällen zum Tätigkeitsbereich des Lehrers zählt.

Die drei dafür zu berücksichtigenden Ebenen, die Ebene der Didaktik, der Zielgruppenanalyse und der Methode, sollen im Folgenden genauer beschrieben werden.

2.1 Ebene der Didaktik

Die Didaktik beschäftigt sich mit der Frage „wer was wann mit wem wo wie womit warum und wozu gelernt hat“ (Jank/Meyer 1994, S. 16). Diese Auslegung soll die zum Teil verbreitete Definition berichtigen, der zufolge sich Didaktik lediglich um die Frage nach dem „Was?“ des Unterrichts beschäftige, während Methodik der Frage nach dem „Wie?“ nachgehe. Methodik ist demnach eine Dimension der Didaktik.

Didaktische Prinzipien sind „durchgängige Leitvorstellungen des Lernen und Lehrens“, die Organisation und Inhalte des Unterrichts „in allen Phasen“ rechtfertigen (Krauthausen 2003, S. 122). Didaktische Prinzipien können niemals „dogmatische Bedeutung“ (Oehl 1965, S. 42) erreichen, da sie Erkenntnissen aus „lernpsychologischen und erkenntnistheoretischen Theorien“ entstammen, die unterschiedlichen Veränderungen^[4] unterliegen (Krauthausen 2003, S. 122). Verschiedene didaktische Leitvorstellungen stehen sich allerdings nicht unbedingt kontrovers entgegen, oftmals ergänzen sie sich. Es ist letztendlich der Entscheidung des Lehrers überlassen, Unterrichtskonzeptionen unter Berücksichtigung der jeweils am sinnvollsten erscheinenden didaktischen Prinzipien anzulegen.

Verbindlich für den Unterricht^[5] sind allerdings die jeweiligen Lehrpläne der Bundesländer. Der Rahmenplan für die Grundschule in Hessen beispielsweise nennt auf insgesamt achtundzwanzig Seiten fachdidaktische Grundsätze des Mathematikunterrichts, sowie dessen Inhalte und Ziele, welche den Arbeitsbereichen Mengen und Zahlen, Größen und Geometrie zugeordnet sind (vgl. Rahmenplan Grundschule- Hessen 1995, S. 144-172).

Die im Schuljahr 2005/2006 landesweit eingeführten Bildungsstandards haben aufgrund ihrer noch jungen Geschichte einen sehr aktuellen didaktischen und somit auch mathematikdidaktischen Bezug zur heutigen Unterrichtsrealität, in der sie mehr und mehr Berücksichtigung finden. Sie legen für den Mathematikunterricht die Kompetenzen fest, die Schüler mit Abschluss der vierten Jahrgangsstufe erreicht haben sollen (vgl. Walther 2007, S. 18f). Der Rückschluss, dass die Entstehung der Bildungsstandards auch die Geburtsstunde der Frage nach konkret formulierten Bildungszielen darstellt, ist jedoch falsch. Die Forderung nach zentralen mathematischen Ansprüchen kann in der Mathematikdidaktik auf eine längere Geschichte zurückblicken. Bereits 1975 forderte Winter, allgemeine Lernziele für den Mathematikunterricht einzuführen. Verwirklicht wurde diese Forderung zuerst 1985 in dem Lehrplan für die Grundschule in Nordrhein Westfalen, dann folgten Lehrpläne in weiteren Bundesländern Realisierung fand (ebd. S. 24).

Die in den Bildungsstandards formulierten Leitideen sind folglich nicht als unbedingt neu zu betrachten. Sie entstanden bereits in einer schon lange geführten mathematikdidaktischen Auseinandersetzung und wurden zum Teil „direkt“, zum Teil „modifiziert“ aus dieser übernommen (ebd. S. 25). Fortschrittlich jedoch ist, dass diese auf administrativer Ebene formuliert wurden und somit landesweit konkreten Einzug in den Mathematikunterricht gefunden haben. Daher ist die Berücksichtigung der Bildungsstandards bei der Konstruktion von Mathematikaufgaben in heutiger Unterrichtswirklichkeit unablässig.

„Auftrag der Grundschule ist die Entfaltung grundlegender Bildung. Sie ist Basis für weiterführendes Lernen und für die Fähigkeit zur selbständigen Kulturaneignung. Dabei ist die Förderung der mathematischen Kompetenzen ein wesentlicher Bestandteil dieses Bildungsauftrags“ (KMK 2004, S. 6; Hervorhebung SB). Die vorgenommenen Hervorhebungen sollen die primäre Zielsetzung des Mathematikunterrichts in der Grundschule akzentuieren, nämlich die Vermittlung mathematischer Grundbildung, die dem Schüler als Basis für weiterführendes Lernen dient und ihn zur selbständigen Kulturaneignung befähigt. Dies geschieht im Einzelnen durch die Förderung der mathematischen Kompetenzen. Hierbei unterscheiden die Bildungsstandards zwischen allgemeinen mathematischen Kompetenzen und inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen, sie betonen jedoch den engen Bezug beider Bereiche zueinander.

Wohl wissend, dass allgemeine mathematische und inhaltliche mathematische Kompetenzen auf den Ebenen der Didaktik, der Methodik und der Zielgruppenanalyse wirken^[6], sollen sie im Expliziten in diesem Kapitel ausführlich dargestellt werden. Dies liegt darin begründet, dass das Wissen über allgemeine und inhaltliche mathematische Kompetenzen für das Erstellen von Lernzielen unablässig ist. Die Frage nach Lernzielen wiederum ist im Konkreten der Didaktik zuzuordnen und übernimmt bei der Konstruktion von Mathematikaufgaben eine elementare Rolle.

2.2.1 Inhaltsbezogen mathematische Kompetenzen

Um oben genannte Zielsetzung besser erreichbar zu machen, wurden nicht die traditionellen, zusammenhangslos erscheinenden, mathematischen Sachgebiete Mengen und Zahlen, Geometrie, und Größen, sondern die in ihnen implizierten „zentralen Leitideen“ formuliert, da diese „untrennbar aufeinander bezogen“ sind (KMK 2004, S. 6). Die Schüler sollen das vernetzte Wesen der Mathematik erkennen, was die Nachhaltigkeit des Lernens zu gewährleistet. Die i nhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen orientieren sich an fünf zentralen Leitideen, denen eine „fundamentale Bedeutung“ für den Mathematikunterricht zugesprochen wird (KMK 2004, S. 8):

- Zahlen und Operationen;
- Raum und Form;
- Muster und Strukturen;
- Größen und Messen;
- Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit.

Zu den einzelnen Leitideen und von diesen entnommen werden die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen formuliert, wie beispielsweise für die Leitidee Raum und Form die Kompetenzen „sich orientieren im Raum“, „geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen“, „einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen“ und „Flächen- und Rauminhalte vergleichen und messen“ (vgl. KMK 2004, S. 10).

2.2.2 Allgemeine mathematische Kompetenzen

„Allgemeine mathematische Kompetenzen zeigen sich in der lebendigen Auseinandersetzung mit Mathematik und auf die gleiche Weise, in der tätigen Auseinandersetzung, werden sie erworben.“ (KMK 2004, S. 7)

Demnach resultiert bereits aus der Beschäftigung des Schülers mit einer allgemeinen mathematischen Kompetenz deren Förderung.

Die Bildungsstandards nennen fünf Kompetenzen, welche in diesem Zusammenhang eine tragende Rolle spielen:

- Problemlösen;
- Kommunizieren;
- Argumentieren;
- Modellieren;
- Darstellen.

Problemlösen^[7]

Die allgemeine mathematische Kompetenz des Problemlösens wird in den Bildungsstandards durch die drei folgenden Unterpunkte konkretisiert:

- Mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden;
- Lösungsstrategien entwickeln und nutzen;
- Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen.

Problemlöseaufgaben charakterisieren sich dadurch, dass der Schüler für deren Bearbeitung keine adäquaten schematisierten Lösungsverfahren anwenden kann. Er muss anhand bestehender Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten selbständig Strategien zum Lösen des Problems entwickeln und diese auf ihre Tauglichkeit prüfen.

Blum nennt in diesem Zusammenhang sechs Prinzipien, die beim Lösungsversuch Verwendung finden können; das Zerlegungsprinzip („In welche Teilproblem lässt sich das Problem zerlegen?“), das Analogieprinzip („Habe ich ähnliche Probleme bereits gelöst?“), das Vorwärtsarbeiten („Was lässt sich alles aus den gegebenen Daten folgern?“), das Rückwärtsarbeiten („Was wird benötigt, um das Gesuchte zu erhalten?“), das systematische Probieren^[8] und die Veranschaulichung durch eine mathematische Figur, Tabelle oder Skizze (vgl. Blum 2006, S. 39). Wichtig bei der Bearbeitung von Problemlöseaufgaben ist, dass die Schüler tatsächlich eigene Entscheidungsgewalt über die Wahl ihrer Lösungsstrategie besitzen und nicht vom Lehrer gelenkt oder gegängelt werden. Offenheit ist somit wichtiger Bestandteil einer Problemlöseaufgabe (vgl. Büchter 2005, S. 30). Das selbstständige Lösen eines Problems lässt Zusammenhänge zwischen dem mathematisch Bekannten und dem neu zu erlernenden Sachverhalt erkennen und schafft somit kognitive Vernetzungen.

Der Wert unterschiedlicher Lösungsansätze sollte jedoch von den Schülern erkannt werden, was die Unablässigkeit einer Reflektion über verwendete Heuristiken als festen Part des Problemlösens rechtfertigt.

Zwischenfazit:

Mathematikaufgaben und deren Konstruktion unterliegen auf der didaktischen Ebene den jeweils administrativen Anforderungen. Inwiefern man Aufgaben, die den Anforderungen des Rahmenplans und der Bildungsstandards gerecht werden, auf der didaktischen Ebene als gut bezeichnen kann, unterliegt der Frage, ob und inwiefern diese Anforderungen im Allgemeinen als gut bezeichnet werden können.^[9] Deshalb muss an dieser Stelle auf deren Qualität vertraut werden.

Demnach gelten Aufgaben auf didaktischer Ebene als gut, bei deren Konstruktion die vom Rahmenplan und von den Bildungsstandards beschriebenen Ziele^[10] berücksichtigt werden.

2.2 Ebene der Zielgruppenanalyse

2.2.1 Analyse der Klasse

Eine Klasse kann im Hinblick auf den jeweiligen Lerngegenstand u. a. anhand folgender Kriterien untersucht werden: Größe, Zusammensetzung, Vorgeschichte, Aufgeschlossenheit, Leistungsbereitschaft, Problemverständnis, soziales Klima, allgemeiner Leistungsstand, gewohnter Unterrichtsstil, Verhalten, institutionelle Voraussetzungen, Cliquen, „Spitzenreiter“, Außenseiter u. v. a. (vgl. Witzenbacher 1994, S. 57ff). Meyer nennt in diesem Zusammenhang fünf Kriterien, die das Klassenklima beeinflussen: Gegenseitiger Respekt, das Einhalten von Regeln, Verantwortungsübernahme, Gerechtigkeit und Fürsorge (Meyer 2004, S. 47ff). Ihnen kommt eine besondere Bedeutung zu, weil sie ein lernförderliches Klima schaffen können, indem sie Schüler hinsichtlich des Selbstvertrauens, der Leistungsbereitschaft, der Einstellung zur Schule und zum Unterricht, das Sozialverhalten und die Interessenbildung beeinflussen. Dies konnte in empirischen Forschungen belegt werden (ebd. S. 47-54).^[11]

Die Berücksichtigung von Klassenvoraussetzung und -besonderheiten bei der Unterrichtsplanung erfolgt für einen Lehrer natürlich schneller und mit weniger Mühe, wenn es eine Klasse betrifft, die er bereits länger unterrichtet und ihm bekannt ist. Anderenfalls gibt es erprobte Möglichkeiten, unbekannte Klassen zu untersuchen, wie beispielsweise eigene Beobachtungen zu unternehmen, Klassenlehrer und Schüler zu befragen, Klassenbücher und Akten einzusehen oder soziometrische Test durchzuführen. Jedoch kann keine Möglichkeit für sich alleine betrachtet zu einem differenzierten Ergebnis führen. Um auf zulässige Schlussfolgerungen für die Planung von Unterricht zu kommen, gilt es daher, möglichst viele dieser Mittel zu verwenden.

Konstruiert man für eine große Menge von Schülern eine einzelne Aufgabe^[12], ist es schwierig, auf Ebene der Zielgruppenanalyse den individuellen Ansprüchen jedes Schülers Genüge zu tun. Deswegen sollten bei Konstruktionen solcher Aufgaben nicht die Schüler im Einzelnen, sondern die Schülermenge als soziales Gebilde untersucht werden. Die Analyse der Klasse ist für die Konstruktion solcher Mathematikaufgaben insofern von Bedeutung, als dass sie auf diverse Faktoren^[13], insbesondere wegen der zu verwendeten Sozialform, bzw. Gruppenbildung, Einfluss nimmt.

2.2.2 Analyse des Schülers

Die Untersuchung der Lernvoraussetzungen einzelner Schüler bezieht sich auf deren „entwicklungs- und umweltbedingte(n) Situation“ (Witzenbacher 1994, S. 62). Deshalb sollen an dieser Stelle verschiedene entwicklungs-psychologische Theorien über das Lernen vorgestellt werden, die nach wie vor aktuellen Bezug zur heutigen Unterrichtsgestaltung haben.

Piaget entwickelte die Theorie des „genetischen Lernens“. Er untersuchte die Zusammenhänge zwischen kindlichem Denken und der körperlich-seelischen Entwicklung. Aufgrund seiner Beobachtungen entwickelte er das Model der vier Entwicklungsstufen, die ein Kind von Geburt bis zum fünfzehnten Lebensjahr durchläuft. Diese sind die s ensomotorische Periode, die präoperationale Periode, die k onkret- operationale Periode und die f ormal-operationale Periode (vgl. Topsch 2004, S. 27ff). Bei der Zielgruppenanalyse spielt die konkret-operationale Periode eine tragende Rolle, da sie vom siebten bis zum elften Lebensjahr reicht und somit im Wesentlichen dem Grundschulalter entspricht.^[14] In dieser Phase entwickelt das Kind wichtige Kompetenzen, wovon einige im Besonderen für das mathematische Verständnis äußerst bedeutsam sind, wie beispielsweise die Reversibilität (Umkehrbarkeit), die Seriation (Fähigkeit, Objekte anhand von Merkmalen in einer Reihe zu ordnen) oder die Fähigkeit zu klassifizieren.

Die geistige Entwicklung vollzieht sich nach Piaget im Wechselspiel von Assimilation und Akkomodation.

Wendet man für die Bearbeitung eines neuen oder vertrauten Problems eine bekannte Denkweise an, so löst man das Problem auf dem Wege der Assimilation. Gelingt diese Angleichung nicht, muss die bekannte Denkweise verändert werden, um dem jeweiligen Problem gerecht zu werden. Diese Veränderung der kognitiven Strukturen bezeichnet die Akkomodation. Lernen resultiert nach Piaget aus der Wechselwirkung des Individuums mit seiner Umwelt. Da diese Begegnung andauernd Reaktionen des Menschen provoziert, löst sie den Prozess von Assimilation und Akkomodation aus.^[15]

Eine andere Theorie zur lernpsychologischen Entwicklung ist von Wygotski, die primär von der „Zone der nächsten Entwicklung“ handelt. Er definiert: „Das Gebiet der noch nicht ausgereiften, jedoch reifenden Prozesse ist die Zone der nächsten Entwicklung des Kindes“ (Wygotski 1987, S. 83)

Im Gegensatz zu Piaget beschäftigt sich Wygotski nicht konkret mit dem aktuellen, sondern viel mehr mit dem nächst erreichbarem Entwicklungsstand des Kindes. Hierbei kommt dem Lehrer eine tragende Rolle zu. Er muss die Zone der nächst erreichbaren Entwicklungsstufe eines Kindes erkennen und genügend Unterstützung bieten, damit es in diese Zone gelangen und anschließend selbstständig arbeiten kann. „Was das Kind heute in Zusammenarbeit und unter Anleitung vollbringt, wird es morgen selbständig ausführen können. Und das bedeutet: Indem wir die Möglichkeiten eines Kindes in der Zusammenarbeit ermitteln, bestimmen wir das Gebiet der reifenden geistigen Funktionen, die im allernächsten Entwicklungsstadium sicherlich Früchte tragen und folglich zum realen geistigen Entwicklungsniveau des Kindes werden. Wenn wir also untersuchen, wozu das Kind selbstständig fähig ist, untersuchen wir den gestrigen Tag. Erkunden wir jedoch, was das Kind in Zusammenarbeit zu leisten vermag, dann ermitteln wir damit seine morgige Entwicklung" (Wygotski 1987, S. 83).

Für Entscheidungen auf der Ebene der Zielgruppenanalyse sollten beide Theorien nicht als unvereinbar betrachtet werden, da sie einander ergänzen können. Die bei Piaget gewonnenen Erkenntnisse darüber, was ein Kind in einem gewissen Lebensabschnitt zu lernen und leisten im Stande ist, können mit der von Wygotski genannten Methode konkretisiert und erreichbar gemacht werden. Eine Analyse des aktuellen Leistungsstandes eines Kindes sowie dessen Lernfähigkeit geht hierbei der Analyse von Zonen der nächsten Entwicklung voraus. Auch wenn Wygotski dies etwas abwertend mit einer Untersuchung des gestrigen Tages vergleicht, sollte sich der Lehrer jederzeit darüber im Klaren sein, was ein Schüler bereits selbständig zu leisten im Stande ist, wie hoch sein Lerntempo und seine Lernbereitschaft sind und wie seine üblichen Lerngewohnheiten aussehen. Erst auf diesen Erkenntnissen aufbauend, kann sich der Lehrer Gedanken darüber machen, wozu der Schüler am morgigen Tag befähigt werden kann und soll. Demnach spielen beide Analysen eine tragende Rolle und können helfen, eine optimale Entwicklung des Schülers in Gang zu setzen.

[...]

^[1] Gemeint sind Schülerinnen und Schüler. Aus Gründen der Leseflüssigkeit soll in dieser Arbeit ausschließlich die männliche Form gewählt werden. Dies gilt auch für „Lehrerinnen“ und „Lehrer“.

^[2] Unter anderem an personellen, zeitlichen und organisatorischen Faktoren.

^[3] Die Verwendung dieser geographischen Metapher in ähnlicher Form lässt sich auch in Phrasen wie „Wer nicht weiß, wohin er will…“ (Witzenbacher S. 77) oder „den Schüler da abholen, wo er steht“ wieder finden.

^[4] z. B. gesellschaftlich oder geschichtlich.

^[5] Und daraus resultierend auch für die Aufgabenkonstruktion.

^[6] Beispielsweise fordern Aufgaben die Kompetenz des Problemlösens nur dann, wenn der Schüler das beschriebene Problem auch wirklich als ein solches wahrnimmt, was die Wirkung der Kompetenzen auf die Ebene der Zielgruppenanalyse zeigen würde.

^[7] Anstatt die enge Beziehung der fünf genannten allgemeinen mathematischen Kompetenzen zueinander darzulegen, soll aus ökonomischen Gründen lediglich eine Kompetenz exemplarisch, aber in ausreichender Länge, erläutert werden.

^[8] Büchter unterscheidet zusätzlich auch das ungerichtete Probieren.

^[9] Eine Frage, der in dieser Arbeit nicht nachgegangen werden kann.

^[10] Im Konkreten die Förderung der inhaltsbezogenen und allgemeinen mathematischen Kompetenzen.

^[11] Bei dieser Analyse richten sich Überlegungen auf die Zielgruppe von Mathematikunterricht und -aufgaben. Diese umfasst nicht nur die Schüler im Einzelnen, sondern auch die Klasse als soziales Gebilde, weshalb ich beide Bereiche in diesem Kapitel behandeln möchte.

^[12] Dies könnte sich beispielsweise beim Erforschen eines unbekannten mathematischen Themas anbieten.

^[13] Beispielsweise die Planung der Lernziele oder die Wahl der Methode.

^[14] Da es bezüglich der Alterszuordnung Unsicherheiten gibt, haben die Angaben lediglich orientierenden Wert.

^[15] Es obliegt deswegen im Besonderen dem Aufgabenbereich des Mathematikunterrichts der Grundschule, zuvor beschriebene Kompetenzen auszuprägen.