Nachfolgend wird der Begriff des Vektorraumbündel genauer erläutert.
Nach einer kurzen Einführung folgen die wesentlichen
Definitionen wie auch ein Lemma. Anspruchsvolle
Definitionen werden mittels Abbildungen veranschaulicht.
Wo immer angebracht, werden Beispiele widergegeben sowie auf Anwendungen und externe Ressourcen aufmerksam gemacht.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Vektorraumbündel und Bündelkarte
- Bündelhomomorphismus und Teilbündel
- Einschränkung und Schnitt
- Fazit
- Literaturverzeichnis
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit führt den Leser in das mathematische Konzept des Vektorraumbündels ein. Sie dient als Einführung in die Differentialtopologie und baut auf den Grundlagen aus den Werken von Bröcker und Jänich (1990) sowie Lang (1962) auf. Der Fokus liegt auf der Konstruktion des Tangentialraums, der an jeden Punkt einer Mannigfaltigkeit einen Vektorraum anheftet. Die Arbeit beleuchtet die allgemeine Anheftungsprozedur, die zur Erzeugung von Vektorraumbündeln in der Differentialtopologie verwendet wird.
- Definition und Eigenschaften von Vektorraumbündeln
- Bündelkarten und Trivialität
- Bündelhomomorphismen und Teilbündel
- Einschränkungen und Schnitte von Vektorraumbündeln
- Anwendungen und Beispiele in der Differentialtopologie
Zusammenfassung der Kapitel
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Einleitung
Die Einleitung gibt einen Überblick über das Thema der Arbeit und stellt die Motivation für die Untersuchung von Vektorraumbündeln dar. Sie erläutert die grundlegende Idee, an jeden Punkt einer Mannigfaltigkeit einen Vektorraum anzuheften, um ein Vektorraumbündel zu erzeugen. Die Einleitung verweist auf die relevanten Quellen und stellt die wichtigsten Konzepte vor, die im weiteren Verlauf der Arbeit behandelt werden.
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Vektorraumbündel und Bündelkarte
Dieses Kapitel definiert den Begriff des Vektorraumbündels formal. Es wird die Definition eines n-dimensionalen reellen topologischen Vektorraumbündels als Tripel (E, π, X) eingeführt, wobei π : E → X eine stetige surjektive Abbildung ist und jedes Ex =(x) mit der Struktur des n-dimensionalen reellen Vektorraumes versehen ist. Das Axiom der lokalen Trivialität wird erläutert und anhand einer Abbildung veranschaulicht. Die Definition der Bündelkarte wird eingeführt und der Begriff des trivialen Bündels erklärt.
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Bündelhomomorphismus und Teilbündel
Dieses Kapitel behandelt die Morphismen von Vektorraumbündeln, die als Bündelhomomorphismen bezeichnet werden. Es wird ein Diagramm vorgestellt, das die Beziehung zwischen den Vektorraumbündeln E und E' über X veranschaulicht. Die Definition des Bündelhomomorphismus wird gegeben und die Kommutativität des Diagramms sowie die Linearität der Abbildung fx : Ex → E¼ werden erläutert. Der Begriff des Teilbündels wird eingeführt und anhand einer Abbildung veranschaulicht. Das Lemma 5 wird vorgestellt, das einen Zusammenhang zwischen dem Kern (respektive Bild) eines Bündelhomomorphismus f: E →F und dem Begriff des Teilbündels herstellt. Die Beweisidee des Lemmas wird skizziert.
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Einschränkung und Schnitt
Dieses Kapitel behandelt die Einschränkung eines Vektorraumbündels auf eine Teilmenge Xo C X des Basisraums X. Die Definition der Einschränkung wird gegeben und die Notation Exo eingeführt. Der Begriff des Schnitts eines Vektorraumbündels wird definiert und ein Beispiel wird angeführt.
Schlüsselwörter
Die Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes umfassen Vektorraumbündel, Differentialtopologie, Tangentialraum, Mannigfaltigkeit, Bündelkarte, Bündelhomomorphismus, Teilbündel, Einschränkung, Schnitt, lokale Trivialität, topologischer Raum, Vektorraum, Basis, Faser, Projektion, Isomorphismus, Homöomorphismus, Kategorie, Kern, Bild, Beweisidee, Lemma, Definition, Beispiel, Anwendung.
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- David Stadelmann (Autor), 2007, Vektorraumbündel: Ein Tutorial, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/113635
