Die Arbeit gibt einen Überblick über das mathematische SIR-Modell, welches in der Epidemiologie zum Verständnis von epidemischen Verläufen verwendet wird. Das Ziel der Bachelorarbeit ist es, die Anwendbarkeit der Modelle zu untersuchen und damit verbunden die Stärken und Schwächen der Modelle auszuarbeiten. Dabei werden zwei unterschiedliche SIR-Modelle, welche speziell für das Dengue Fieber entwickelt worden sind, vorgestellt und mithilfe der Modelle werden numerische Experimente durchgeführt.
Außerdem wird der Verlauf des Dengue Fiebers in Selangor, Malaysia aus dem Jahre 2008 nachmodelliert. Hierbei wird deutlich, dass die Modellierung der Realität eine große Schwierigkeit darstellt und beide Modelle unterschiedliche Verläufe darstellen. Das Derouich Modell weist in den Simulationen unterschiedlicher Szenarien eine große Schwäche auf, da mehr Menschen erkranken, als in der Gesamtpopulation vorhanden sind. Die Simulation der Epidemie in Selangor mithilfe des Feng Modells hingegen erreicht enorm hohe Zahlen an infizierten Menschen, die nicht der Realität entsprechen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Motivation
1.2 Epidemiologische Modelle in der Mathematik
1.3 Dengue Fever
2 Modellansatz
2.1 Das Susceptible-Infected-Recovered-Model
3 Modellierung von Dengue Fieber
3.1 Derouich Model of Dengue Fever
3.2 Feng Model of Dengue Fever
4 Numerische Experimente
4.1 Simulationen des Derouich Modells
4.2 Simulationen des Feng Modells
4.3 Simulation des Dengue Fiebers in Selangor, Malaysia
4.4 Theoretische Betrachtung der Modelle
5 Diskussion
5.1 Derouich Modell
5.2 Feng Modell
5.3 Simulation des Dengue Fiebers in Selangor
5.4 Zusammenfassung
Zielsetzung & Themen
Das Hauptziel dieser Bachelorarbeit ist die Untersuchung der Anwendbarkeit mathematischer SIR-Modelle zur Beschreibung epidemiologischer Verläufe von Dengue Fieber sowie die kritische Ausarbeitung der Stärken und Schwächen dieser Modelle mittels numerischer Simulationen.
- Mathematische Modellierung von Infektionskrankheiten basierend auf SIR-Ansätzen
- Vergleichende Analyse des Derouich-Modells und des Feng-Modells
- Einfluss von Impfquoten und Mückenpopulationen auf den Krankheitsverlauf
- Nachmodellierung der Dengue-Epidemie in Selangor, Malaysia (2008)
- Bewertung der Modell-Eignung für reale epidemiologische Szenarien
Auszug aus dem Buch
1.2 Epidemiologische Modelle in der Mathematik
Modelle haben meist eine bestimmte Funktion. Sie dienen als Darstellung von Geschehnissen in der Natur oder als Vereinfachung von Sachverhalten. Die meisten Menschen denken bei Modellen an Gegenstände, die sie anfassen können, wie etwa das Herz-Modell. Modelle sind aber viel mehr als nur Gegenstände. Mithilfe von Modellen lassen sich Geschehnisse verstehen und vorhersagen. Auch bestimmte Theorien können mithilfe von Modellen widerlegt werden. Mit der Entwicklung der Technik blühte auch die Zeit der Modellierung. Aufgrund der hohen Anwendungsfreundlichkeit von Rechenprogrammen können Biologen und Mediziner mit einer gewissen Vorliebe zur Mathematik ohne großes Vorwissen modellieren, sodass Modelle in unterschiedlichen Bereichen Anwendung gefunden haben, wie in der Modellierung von Krankheiten.
Epidemiologische Modelle liefern viele Informationen über Krankheiten, deren Verläufe und Möglichkeiten der Intervention und Bekämpfung. Die Darstellung der Wirkung von Abwehrmaßnahmen oder auch die Optimierung ist mithilfe der mathematischen Modellierung möglich. Im Jahre 1906 entwickelte Dr. W. H. Hamer ein Modell, welches die Beziehung zwischen gesunden und infizierten Menschen beschrieb [Ham06]. Später wurde dieses Modell von Kermack und McKendrick [KM27, KM32, KM33] weiterentwickelt. Die Ansätze von Kermack und McKendrick werden auch heute noch verwendet, wie im weiteren Verlauf der Arbeit zu erkennen sein wird. Für unterschiedliche Modelle, wie z.B. das SI-Modell oder SEIR-Modell, bieten sie eine Grundlage. Die kontinuierlichen Modelle werden als Differentialgleichungen dargestellt.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in die Bedeutung mathematischer Modelle für biologische Prozesse ein und erläutert die Besonderheiten des Dengue Fiebers als Viruserkrankung.
2 Modellansatz: Das Kapitel beschreibt die theoretischen Grundlagen des SIR-Modells und stellt die mathematischen Gleichungen vor, die das Infektionsgeschehen beschreiben.
3 Modellierung von Dengue Fieber: Hier werden zwei spezifische Modell-Erweiterungen (Derouich und Feng) zur Untersuchung von Dengue-Epidemien detailliert hergeleitet.
4 Numerische Experimente: In diesem Teil werden Simulationen durchgeführt, um das Verhalten der Modelle unter variierenden Parametern und anhand realer Daten aus Selangor zu testen.
5 Diskussion: Dieses Kapitel wertet die Simulationsergebnisse aus, identifiziert die Stärken und Schwächen der Modelle und vergleicht sie hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit auf die Realität.
Schlüsselwörter
Mathematische Modellierung, Epidemiologie, SIR-Modell, Dengue Fieber, Derouich-Modell, Feng-Modell, Infektionsdynamik, Impfquote, Selangor, Differentialgleichungen, Mückenpopulation, Aedes aegypti, Primärinfektion, Sekundärinfektion, Simulationsdaten.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Bachelorarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht die mathematische Modellierung epidemiologischer Prozesse, speziell am Beispiel der Dengue-Fieber-Ausbreitung, durch den Einsatz von SIR-basierten Modellen.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die zentralen Themen sind die mathematische Beschreibung von Infektionskrankheiten, der Vergleich von zwei speziellen Modellen (Derouich vs. Feng) und die numerische Simulation unter Einbeziehung realer Umwelt- und Bevölkerungsdaten.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist es, die Anwendbarkeit und die Stärken sowie Schwächen der gewählten SIR-Modelle zu prüfen, um deren Aussagekraft für reale Epidemieverläufe zu bestimmen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt mathematische Modellierung mittels Differentialgleichungen, die durch das Softwareprogramm Mathematica numerisch gelöst und simuliert werden.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst die theoretische Herleitung der Modelle, die Durchführung zahlreicher numerischer Experimente mit variierenden Parametern (wie Impfquoten oder Mückenaktivität) und die Anwendung auf das Fallbeispiel Selangor, Malaysia.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den wichtigsten Begriffen gehören SIR-Modell, Dengue Fieber, Infektionsdynamik, Mückenpopulation und mathematische Simulation.
Warum wird zwischen Primär- und Sekundärinfektionen unterschieden?
Diese Differenzierung ist notwendig, da das Feng-Modell unterschiedliche Dengue-Stämme berücksichtigt und Sekundärinfektionen klinisch oft schwerwiegendere Verläufe zeigen.
Wie unterscheidet sich das Derouich-Modell vom Feng-Modell?
Das Derouich-Modell ist einfacher strukturiert und betrachtet nur einen Stamm, während das Feng-Modell komplexer ist und verschiedene Serotypen sowie unterschiedliche Infektionsstadien beim Menschen abbildet.
Warum wird die Epidemie in Selangor, Malaysia, nachmodelliert?
Selangor dient als reales Fallbeispiel, um zu prüfen, ob die mathematischen Modelle die tatsächlichen Meldezahlen und Epidemieverläufe eines spezifischen Jahres (2008) plausibel widerspiegeln können.
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- Rojbine Yigit (Autor), 2019, Mathematische Modellierung von epidemiologischen Prozessen am Beispiel von Dengue Fieber, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1140941
