Dieser Text soll eine Brückenfunktion zwischen dem (notwendigerweise elementaren) Niveau eines Schulbuches und dem abstrakten Niveau eines wissenschaftsorientierten Lehrbuchs zur Linearen Algebra wahrnehmen. Er geht über den üblicherweise in den Schulbüchern dargestellten Stoff hinaus, bleibt aber dennoch hinreichend konkret und anschaulich, um sowohl Lehrkräften als auch begabten und interessierten SchülerInnen eine wissenschaftspropädeutische Grundlegung des Themas "Lineare Abbildungen und Matrizen" anzubieten. Obwohl fast alle Ausführungen und Resultate dieses Textes problemlos auf beliebige endliche Dimensionen übertragen werden können, werden sie hier bewusst nur für die Dimension unseres Anschauungsraumes formuliert, um anschaulich zu bleiben und damit auch interessierten SchülerInnen einen verdaubaren Zugang zu ermöglichen.
Der Exkurs über eine axiomatische Grundlegung der Quantenmechanik hat lediglich den Charakter eines ersten unvollständigen und eher heuristischen Überblicks. Er soll verdeutlichen, dass die Konzepte der Spektraltheorie linearer Abbildungen – wenn auch in viel abstrakteren Räumen – auch im Zusammenhang mit Modellbildungen in der Physik eine Rolle spielen.
Das Thema "Lineare Abbildungen und Matrizen" ist in fast allen deutschen Bundesländern fester Bestandteil des Curriculums der Linearen Algebra in den Mathematik-Leistungskursen der gymnasialen Oberstufe. Ein Blick in die Schulbücher zeigt allerdings, dass von diesem thematischen Aspekt der Raumgeometrie und der Linearen Algebra nur die einfachsten Grundlagen im Oberstufenunterricht vorkommen – von einem gewissen Tiefgang im Wechselspiel von Geometrie und Algebra kann hier nicht die Rede sein! Diese Beschränkung auf die Oberfläche des Themas ist angesichts der Situation der deutschen Gymnasien und der aktuellen Diskussionen über ihren Bildungsauftrag verständlich. Dies ändert jedoch nichts an der Notwendigkeit, dass die Lehrkräfte der mathematischen Leistungskurse einen tieferen Einblick in die Theorie der linearen Abbildungen und ihrer Anwendungen inner- und außerhalb der Mathematik benötigen, um zu diesem Thema einen fachlich guten Unterricht organisieren und umsetzen zu können.
Inhaltsverzeichnis
- Vorwort
- Affine Abbildungen und Abbildungsmatrizen
- Lineare und affine Abbildungen
- Die Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen
- Die Darstellung von affinen Abbildungen durch Matrizen (homogene Koordinaten)
- Bewegungen im Raum
- Bewegungen und ihre Abbildungsmatrizen
- Die Geometrie der orthogonalen Matrizen
- Drehungen in der Ebene und im Raum
- Projektionen und Projektionsmatrizen
- Parallelprojektionen auf eine Ebene im Raum
- Ein Beispiel aus der Computergrafik
- Orthogonale Projektionen, Schrägbilder
- Zentralprojektionen, Perspektive
- Eigenwerte und Spektralzerlegungen von Matrizen
- Eigenwerte und Eigenvektoren
- Symmetrische Matrizen und ihre Spektralzerlegungen
- Die Diagonalisierung und die Polarzerlegung einer linearen Abbildung
- Exkurs: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Der Text verfolgt das Ziel, ein tieferes Verständnis der linearen Abbildungen und ihrer Anwendungen in der Raumgeometrie zu vermitteln. Dies erfolgt auf einem anschaulichen und konkreten Niveau, das sowohl für Lehrkräfte als auch für interessierte SchülerInnen geeignet ist. Die Ausführungen beschränken sich auf die Dimension n = 3, um die Anschaulichkeit zu gewährleisten.
- Darstellung von linearen und affinen Abbildungen mit Hilfe von Matrizen
- Analyse von Bewegungen im Raum (Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen)
- Untersuchung von Projektionen auf Ebenen und deren Anwendungen in der Computergrafik
- Einführung in Eigenwerte und Spektralzerlegungen von Matrizen
- Exemplarische Anwendung der Spektraltheorie in der Quantenmechanik
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel befasst sich mit linearen und affinen Abbildungen und deren Darstellung mittels Matrizen. Es werden die grundlegenden Eigenschaften dieser Abbildungen erläutert und anhand von Beispielen veranschaulicht. Das zweite Kapitel behandelt Bewegungen im Raum, insbesondere Drehungen und Spiegelungen. Dabei werden die entsprechenden Abbildungsmatrizen hergeleitet und deren geometrische Interpretation diskutiert. Das dritte Kapitel widmet sich Projektionen, insbesondere Parallel- und Zentralprojektionen. Es werden die verschiedenen Projektionstypen und ihre Anwendungen in der Computergrafik erklärt. Das vierte Kapitel führt den Leser in die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen ein und stellt wichtige Konzepte wie die Spektralzerlegung vor.
Schlüsselwörter
Der Text behandelt zentrale Themen der linearen Algebra wie lineare und affine Abbildungen, Matrizen, Bewegungen im Raum, Projektionen, Eigenwerte, Eigenvektoren, Spektralzerlegung, Quantenmechanik. Darüber hinaus werden wichtige Konzepte aus der Geometrie wie Parallelogramme, Drehungen, Spiegelungen, Ebenen, Geraden und Projektionen diskutiert. Die Ausführungen sind bewusst auf das Niveau der gymnasialen Oberstufe ausgerichtet und eignen sich daher besonders für Lehrkräfte und interessierte SchülerInnen.
- Citation du texte
- Jürgen Vaupel (Auteur), 2021, Elementare Raumgeometrie mit linearen Abbildungen und Matrizen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1158134
