Theoretische Grundlagen der Fourier-Zerlegung unter Verwendung von MATLAB

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Zielsetzung
1.2 Aufbau des Assignments

2 Begriffe und Grundlagen
2.1 Fourier-Entwicklung und Fourier-Transformation
2.2 Approximationseigenschaften
2.3 MATLAB

3 Fourier-Zerlegung
3.1 Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals
3.2 Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourier-Koeffizienten
3.3 Berechnung der Spektrallinien

4 Resümee und Zusammenfassung

Anhang

Fourierzerlegung_Rechtecksignals.m

Dreieckfunktion_Fourierkoeffizienten.m

Berechnung Spektrallinien.m

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1- Fourier-Transformation

Abbildung 2 - MATLAB Bedienoberfläche

Abbildung 4 - Rechtecksignal

Abbildung 6 - Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals

Abbildung 7 - Approximation einer Dreieckfunktion

Abbildung 8 - Darstellung Spektrallinien

1 Einleitung

Der Begriff „Fourier“ findet seinen Ursprung im Jahre 1822 durch den französischen Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Fourier (1768-1830). Fourier beschäftigte sich mit der Wärmeausbreitung in Festkörpern und stieß dabei auf einen Lösungsansatz mit trigonometrischen Reihen die Fourier-Reihen. Mit seinem Buch „Théorie analytique de la chaleuer“, zu Deutsch, die analytische Theorie der Wärme, konnte er nachweisen, dass jede periodische Funktion durch die Überlagerung harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen beschrieben werden kann (vgl. Weber & Ulrich, 2012, S. 1). Harmonische Schwingungen, auch harmonische Oszillation genannt, bezeichnet man wiederum sinusförmige Schwingungen wie z.B. solche, die durch die Zinken einer Stimmgabel entstehen. Anders ausgedrückt, lässt sich eine periodische Schwingung durch eine Sinusfunktion darstellen, so ist sie harmonisch (vgl. Zeitler & Simon, 2013, S. 263-264). Schwingungen im Allgemeinen haben einen großen Stellenwert in der Natur und in unserem Alltag. Sie sind die Grundlage unseres Universums, allerdings ist die menschliche Wahrnehmung der verschiedenen Frequenzen eher begrenzt. Einige Schwingungen wie Licht, Schall und Wärme kann der Mensch über seine Sinnesorgane wahrnehmen. In der Tierwelt ist diese Wahrnehmung der Schwingungen schon ausgeprägter (vgl. www.aqua-egeo.de, 2012). Spinnen z.B. nutzen Schwingungen zur Jagd und zur Verteidigung, wie die große Zitterspinne, die bei Bedrohung ihr Netz in Schwingungen versetzen kann. Dadurch verschwinden die Umrisse der Spinne und der potentielle Räuber wird in der Beutefanghandlung gestört und lässt von der Beute ab (vgl. www.nabu.de, 2014). Trotz der eingeschränkten menschlichen Wahrnehmung spielt die Signal-und Systemtheorie eine wichtige Rolle. Dies beinhaltet auch die Fourier-Transplantation, ohne die alle modernen digitalen Techniken, sei es die digitale Ton-und Bildaufzeichnung, das digitale Fernsehen, der digitale Mobilfunk und die digitale Signalübertragung nicht denkbar wären (vgl. Lange & Lange, Fourier-Transformation zur Signal- und Systembeschreibung, 2018, S. 1).

1.1 Zielsetzung

Gegenstand dieses Assignments ist es, sich mit dem Thema Fourier-Zerlegung auseinanderzusetzten. Dabei ist es das Ziel, sich unter zur Hilfenahme des Programmes MATLAB, unter gewissen Prämissen, verschiedene periodische Signale mittels Fourier-Reihen anzunähern und graphisch darzustellen.

1.2 Aufbau des Assignments

Dieses Assignment ist in 4 Kapitel gegliedert. Nach dem einleitenden Kapitel 1 werden im Kapitel 2 zunächst Grundlagen und Begriffe erläutert um diese dann in Kapitel 3, dem Kernpunkt der Arbeit, mit einzubeziehen. Dabei soll der Schwerpunkt auf die Programmierung und graphischen Darstellung der vorgegebenen Funktionen mittels MATLAB fallen. Die Rahmenbedingungen der Aufgaben sind in dem jeweiligen Teilkapitel kurz dargestellt. Die dazugehörigen Script-Dateien der entsprechenden Teilaufgaben werden im Anhang zur Verfügung gestellt. Abschließend ist dem Kapitel 4 eine Zusammenfassung der gewonnen Erkenntnisse sowie einem Fazit gewidmet.

2 Begriffe und Grundlagen

Zum besseren Verständnis werden vorab einige Begriffe und Grundlagen vermittelt, die der darauffolgenden Aufgabenbearbeitung dienen. Dabei wird auf die Fourier-Entwicklung und Transformation sowie auf das Programm MATLAB eingegangen.

2.1 Fourier-Entwicklung und Fourier-Transformation

Die Grundidee der Fourier-Reihe geht von der Annahme aus, dass die trigonometrischen Funktionen eine sehr bedeutende Rolle für alle periodischen Funktionen spielen. Mit trigonometrischen Funktionen sind die grundlegenden Funktionen zur Beschreibung periodischer Vorgänge wie z.B. die Sinus- und Kosinus-Funktion gemeint. Man kann also periodische Funktionen aus skalierten Sinus- und Kosinus-Bausteinen zusammensetzten. Der Gedanke eine Funktion mit Hilfe einer Linearkombination darzustellen, ist in der Mathematik bereits geläufig. Am bekanntesten ist die Darstellung mittels Taylorreihe, bei der eine Funktion in eine Potenzreihe entwickelt wird. Die Fourier-Reihe verwendet hingegen keine Potenzfunktionen, sondern bildet eine unendliche Reihe aus Sinus- und Kosinus-Funktionen (vgl. Breitenstein & Fritscher, 2008, S. 12). Die Fourier-Entwicklung lässt sich mathematisch folgendermaßen ausdrücken:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Berechnung der Fourier-Koeffizienten und in der Funktion 1 nennt man Fourier-Analyse. Hierfür wird zunächst die Funktion über eine gesamte Periode von 2 im Bereich integriert, um die entsprechenden Koeffizienten zu ermitteln. Nach Integration über die Periode ergeben sich folgende Koeffizienten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Fourier-Koeffizienten können in der Praxis mit Rechensystemen ermittelt werden, dessen Methode schnelle Fourier-Transformation genannt wird (vgl. Goebbels & Ritter, 2013, S. 815 ff.). Im Gegensatz zur Fourier-Reihe kann die Fourier-Transformation auch bei nicht-periodischen Funktionen eingesetzt werden. Eine Funktion die nicht periodisch ist, ist eine Funktion mit einer unendlichen Periode. Die Fourier-Transformation ist ein mathematisches Verfahren, mit dem Signale aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich transformiert werden. Sie dient somit der Bestimmung des Frequenzspektrums eines zeitbezogenen Signals. Eine Frequenz, oder auch Schwingungszahl genannt, ist die Anzahl der vollen Schwingungen pro Zeiteinheit. Sie ist der Kehrwert der Periodendauer (vgl. www.spektrum.de, 1998) . Die Fourier-Transformation eines reinen Sinus-Signals von der Zeitebene in die Frequenzebene hat eine einzelne Spektrallinie zur Folge. Wie in Abbildung 1 ersichtlich, stellen die Spektrallinien im Frequenzbereich die Amplitude der unterschiedlichen Signale dar. Sie bilden die Fourier-Reihen. Der Frequenzbereich gibt dabei an, wie stark die im Signal vorkommenden Frequenzen sind. Alle anderen nicht sinusförmigen Signale wie z.B. Rechtecksignale bestehen aus einer Grundwelle und mehreren in der Amplitude unterschiedlichen Oberwellen (vgl. www.itwissen.info.de, 2018).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1- Fourier-Transformation¹

Zu der Fourier-Transformation gehören noch die diskrete und die schnelle Fourier-Transformation. Die diskrete Fourier-Transformation unterscheidet sich von der einfachen Transformation dadurch, dass das Spektrum mit Abtastwerten berechnet wird, während das Spektrum bei der einfachen Transformation aus einer kontinuierlichen Funktion berechnet wird. Bei der schnellen Transformation hingegen handelt es sich um einen besonderen Rechenalgorithmus der diskreten Fourier-Transformation, die zwar das Spektrum ebenfalls mit Abtastwerten berechnet aber nur ihre Anwendung findet, wenn die Anzahl der Abtastpunkte N durch eine Zweierpotenz als N= und x eine natürliche Zahl ist (vgl. Thuselt & Gennrich, 2013, S. 295 ff.). Im Kapitel 3 wird die schnelle Fourier-Transformation in Bezug auf Spektrallinien noch einmal aufgeführt.

2.2 Approximationseigenschaften

Approximation (lateinisch proximus, „der Nächste“) wird in der Mathematik als Näherungsverfahren präzisiert. Bezugnehmend auf Fourier versteht man unter Approximation die Annäherung an eine Zielfunktion z.B. einer Rechteckfunktion, wie sie noch im Kapitel 3.1 genauer erläutert wird. Man kann sagen, dass die Ausführung der Fourier-Reihe für ein Summenglied zu einer klaren Sinusfunktion führt. Erhöht man die Anzahl der Summanden, findet eine immer genauere Annäherung also eine Approximation an die Zielfunktion statt.

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¹ Eigene Darstellung