Gegenstand dieses Assignments ist es, sich mit dem Thema der Fourier-Zerlegung auseinander zusetzten. Dabei ist es das Ziel, sich unter zur Hilfenahme des Programmes MATLAB, unter gewissen Prämissen, verschiedene periodische Signale mittels Fourier-Reihen anzunähern und graphisch darzustellen.
Der Begriff "Fourier" findet seinen Ursprung im Jahre 1822 durch den französischen Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Fourier (1768-1830). Fourier beschäftigte sich mit der Wärmeausbreitung in Festkörpern und stieß dabei auf einen Lösungsansatz mit trigonometrischen Reihen die Fourier-Reihen. Mit seinem Buch "Théorie analytique de la chaleuer", zu Deutsch, die analytische Theorie der Wärme, konnte er nachweisen, dass jede periodische Funktion durch die Überlagerung harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen beschrieben werden kann. Harmonische Schwingungen, auch harmonische Oszillation genannt, bezeichnet man wiederum sinusförmige Schwingungen wie z.B. solche, die durch die Zinken einer Stimmgabel entstehen. Anders ausgedrückt, lässt sich eine periodische Schwingung durch eine Sinusfunktion darstellen, so ist sie harmonisch. Schwingungen im Allgemeinen haben einen großen Stellenwert in der Natur und in unserem Alltag. Sie sind die Grundlage unseres Universums, allerdings ist die menschliche Wahrnehmung der verschiedenen Frequenzen eher begrenzt. Einige Schwingungen wie Licht, Schall und Wärme kann der Mensch über seine Sinnesorgane wahrnehmen. In der Tierwelt ist diese Wahrnehmung der Schwingungen schon ausgeprägter.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Zielsetzung
1.2 Aufbau des Assignments
2 Begriffe und Grundlagen
2.1 Fourier-Entwicklung und Fourier-Transformation
2.2 Approximationseigenschaften
2.3 MATLAB
3 Fourier-Zerlegung
3.1 Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals
3.2 Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourier-Koeffizienten
3.3 Berechnung der Spektrallinien
4 Resümee und Zusammenfassung
Zielsetzung & Themen
Das Ziel dieses Assignments ist die theoretische Auseinandersetzung mit der Fourier-Zerlegung, wobei die praktische Umsetzung und graphische Darstellung verschiedener periodischer Signale unter der Verwendung der Software MATLAB im Vordergrund steht.
- Grundlagen der Fourier-Entwicklung und Transformation
- Approximationseigenschaften periodischer Funktionen
- Programmierung in MATLAB für Signalanalysen
- Fourier-Zerlegung von Rechtecksignalen
- Berechnung von Dreieckfunktionen und Spektrallinien
Auszug aus dem Buch
3.1 Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals
Das Rechtecksignal oder auch Rechteckschwingung genannt, ist ein periodisches Signal, das zwischen zwei Signalen hin und her schaltet und, wie in der Abbildung 4 ersichtlich, in einem Diagramm einen rechteckigen Verlauf aufweist.
Diese Messung lässt sich mit Hilfe eins Oszilloskops darstellen. Dabei handelt es sich um ein Messgerät, das den zeitlichen Verlauf der Spannung sichtbar macht. Rechteckschwingungen sind die Grundlage der digitalen Signalverarbeitung und treten unter anderem als Taktsignal für digitale Prozessoren und Controller oder als einfaches, digital erzeugbares Tonsignal, z.B. bei Kinderspielzeugen auf (vgl. www.deacademic.com, 2019). Signale mit einem idealen rechteckigen Verlauf existieren allerdings nur in der Theorie. Signalflanken, also die Übergänge zwischen den Signalzuständen, können nicht senkrecht ansteigen und somit einen unendlich steilen Sprung ausführen. Es kommt zur Unstetigkeit an den Übergangsbereichen. Die Rechteckschwingung besitzt folgende Fourier-Reihe:
y = 4a/pi (sin x + sin 3x / 3 + sin 5x / 5 + ...)
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in die historische Herkunft des Fourier-Begriffs ein und definiert die zentrale Forschungsfrage und Zielsetzung der Arbeit.
2 Begriffe und Grundlagen: In diesem Kapitel werden die mathematischen und technischen Grundvoraussetzungen, wie die Fourier-Reihen und die MATLAB-Bedienoberfläche, erläutert.
3 Fourier-Zerlegung: Dies ist der Kernteil der Arbeit, in dem die Fourier-Zerlegung von Rechteck- und Dreiecksignalen sowie die Berechnung von Spektrallinien praktisch umgesetzt wird.
4 Resümee und Zusammenfassung: Das abschließende Kapitel fasst die gewonnenen Erkenntnisse über die Approximationsfähigkeit von Fourier-Reihen zusammen und reflektiert die Ergebnisse.
Schlüsselwörter
Fourier-Zerlegung, MATLAB, Signalverarbeitung, Fourier-Reihe, Rechtecksignal, Dreieckfunktion, Spektrallinien, Approximation, harmonische Schwingungen, schnelle Fourier-Transformation, Frequenzbereich, Gibbs’sches Phänomen, Systemtheorie, M-Files, Signalflanken
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit den theoretischen Grundlagen der Fourier-Zerlegung und deren praktischer Anwendung zur Signalanalyse mithilfe der Software MATLAB.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Arbeit fokussiert sich auf die Fourier-Entwicklung, die Approximationseigenschaften von Funktionen sowie die Umsetzung von Algorithmen zur Zerlegung periodischer Signale.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist es, verschiedene periodische Signale mittels Fourier-Reihen mathematisch anzunähern und diese Berechnungen programmiertechnisch in MATLAB umzusetzen und zu visualisieren.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine mathematische Herleitung der Fourier-Reihen genutzt, kombiniert mit einer rechnergestützten Implementierung in MATLAB, um Signale in den Frequenzbereich zu transformieren.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil befasst sich mit der Fourier-Zerlegung von Rechteck- und Dreiecksignalen sowie der Berechnung von Spektrallinien unter Einsatz der schnellen Fourier-Transformation.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Fourier-Zerlegung, MATLAB, Signalverarbeitung, Approximation, Frequenzspektrum und harmonische Schwingungen.
Warum spielt das Gibbs’sche Phänomen bei Rechtecksignalen eine Rolle?
Das Gibbs’sche Phänomen beschreibt ein Überschwingen an den unstetigen Übergangsbereichen des Rechtecksignals, das auch bei einer hohen Anzahl von Termen in der Fourier-Reihe nicht vollständig verschwindet.
Wie unterscheidet sich die Vorgehensweise bei der Dreieckfunktion?
Im Gegensatz zum Rechtecksignal ist die Dreieckfunktion stetig, weshalb das Gibbs’sche Phänomen hier nicht auftritt und eine Approximation bereits mit wenigen Summanden zu einem sehr guten Ergebnis führt.
- Citation du texte
- Jean Sabrina Brückmann (Auteur), 2019, Theoretische Grundlagen der Fourier-Zerlegung unter Verwendung von MATLAB, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1161179
