Die Interpolation von numerischen Daten zu einer Funktion ist eine klassische Aufgabe der numerischen Mathematik und wird in ihren Grundlagen bereits in der Schule behandelt. Für die Lösung solcher Interpolationsaufgaben gibt es Standardverfahren, die bereits auf elementarem Niveau verdeutlichen, dass eine geschickte Wahl des Lösungsansatzes eine erhebliche Reduktion des Rechenaufwandes zur Folge haben kann.
Im ersten Kapitel werden die Interpolationsverfahren von Newton, Lagrange und Hermite überblickartig vorgestellt sowie die zugehörigen Quadraturformeln entwickelt. Der Fokus des zweiten Kapitels liegt auf der Approximation von Funktionen durch Polynome. Gegenstand des dritten Kapitels sind die Theorie und die Praxis der Interpolation mit Splinefunktionen, insbesondere mit natürlichen kubischen Splines, welche eine bemerkenswerte Minimaleigenschaft besitzen.
Von einfachen "Steckbriefaufgaben" aus dem Mathematikunterricht der Oberstufe bis zu den NURBS-Flächen: so lässt sich die inhaltliche Spannweite dieses Textes beschreiben, der sich an Lehrerinnen und Lehrer, mathematisch interessierte Oberstufenschülerinnen und -schüler, aber auch an Studierende der MINT-Fächer wendet.
Inhaltsverzeichnis
- Interpolation und Modellierung von Kurven und Flächen
- Überblick
- Polynominterpolation von Punkten
- Die direkte Methode zur Bestimmung eines Interpolationspolynoms
- Die NEWTON-Interpolation
- Die LAGRANGE-Interpolation
- Bemerkungen zur Interpolation mit angepassten Basisfunktionen
- Die HERMITE-Interpolation
- Exkurs: Quadraturformeln
- Die Erzeugung von Raumkurven durch Interpolation
- Die Interpolation von Punkten
- Die HERMITE-Interpolation
- Die Erzeugung von Flächenstücken durch Interpolation
- Die Interpolation von Punkten
- Die HERMITE-Interpolation
- Approximation von Funktionen
- Approximation durch Interpolation
- Exkurs: Fehlerabschätzungen für die Quadraturformeln
- Approximationen durch die BERNSTEIN-Polynome und der Approximationssatz von WEIERSTRASS
- Interpolation mit Splines
- Der Begriff einer Splinefunktion und der Spezialfall der kubischen Splines
- Eine Minimaleigenschaft der natürlichen kubischen Splines
- Die numerische Berechnung der natürlichen kubischen Splines
- Alternative Berechnungsverfahren
- Natürliche kubische Splinekurven im Raum
- Zweidimensionale Spline-Interpolation: Bikubische Splineflächen
- Ausblick: Modellieren von Kurven und Flächen mit Béziermethoden
- Bézierkurven
- Das Aneinanderfügen von Bézierkurven; Béziersplines
- Bézierflächen
- Ein kurzer Blick auf neuere Béziermethoden
- Rationale Bézierkurven und Bézierflächen
- B-Splines, NURBS
- Polynominterpolation und ihre Anwendung auf die Erzeugung von Raumkurven und Flächenstücken
- Approximation von Funktionen durch Polynome und die Bedeutung der BERNSTEIN-Polynome
- Interpolation mit Splinefunktionen, insbesondere mit natürlichen kubischen Splines
- Modellierung von Kurven und Flächen mit Béziermethoden, einschließlich Bézierkurven, Bézierflächen und Béziersplines
- Einleitung in die Theorie der NURBS-Flächen, die im Computer-Aided Geometric Design (CAGD) breite Anwendung finden
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Der Text befasst sich mit der Interpolation und Modellierung von Kurven und Flächen und richtet sich an Lehrerinnen und Lehrer, mathematisch interessierte Oberstufenschülerinnen und -schüler sowie Studierende der MINT-Fächer. Ziel ist es, die grundlegenden Konzepte der Interpolation und Approximation von Funktionen zu erläutern und deren praktische Anwendungen in der Modellierung von Kurven und Flächen aufzuzeigen.
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel 1: Interpolation und Modellierung von Kurven und Flächen
Dieses Kapitel behandelt die Grundlagen der Polynominterpolation, einschließlich der Methoden von NEWTON, LAGRANGE und HERMITE. Es werden die zugehörigen Quadraturformeln entwickelt und die Möglichkeiten zur Erzeugung von Raumkurven und Flächenstücken mit diesen Methoden untersucht. Darüber hinaus werden die Grenzen dieser Methoden für praktische Anwendungen diskutiert.
Kapitel 2: Approximation von Funktionen
Das zweite Kapitel befasst sich mit der Approximation von Funktionen durch Polynome. Es werden Möglichkeiten zur Konstruktion von Näherungspolynomen durch Interpolation und Abschätzungen für die Näherungsfehler vorgestellt. Die Bedeutung der BERNSTEIN-Polynome für die Approximation stetiger Funktionen und der Approximationssatz von WEIERSTRASS werden ebenfalls diskutiert.
Kapitel 3: Interpolation mit Splines
Dieses Kapitel erläutert die Theorie und Praxis der Interpolation mit Splinefunktionen, insbesondere mit natürlichen kubischen Splines. Es wird eine bemerkenswerte Minimaleigenschaft dieser Splines hervorgehoben und ein Berechnungsalgorithmus vorgestellt, der sich auf die Bestimmung natürlicher bikubischer Splineflächen übertragen lässt.
Kapitel 4: Ausblick: Modellieren von Kurven und Flächen mit Béziermethoden
Das vierte Kapitel bietet einen Überblick über die Theorie der Bézierkurven, Bézierflächen und Béziersplines. Es werden die Grundlagen des Computer-Aided Geometric Design (CAGD) erläutert und die Bedeutung der NURBS-Flächen im modernen Design hervorgehoben.
Schlüsselwörter
Die zentralen Themen des Textes umfassen Interpolation, Approximation, Polynome, Splinefunktionen, natürliche kubische Splines, Bézierkurven, Bézierflächen, Béziersplines, NURBS-Flächen, Computer-Aided Geometric Design (CAGD), Raumkurven und Flächenstücke.
- Quote paper
- Jürgen Vaupel (Author), 2022, Interpolation und Modellierung von Kurven und Flächen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1164798
