Diese Arbeit behandelt die explizite Darstellung aller Nullstellen der Weierstraß’schen p‑Funktion auf Basis der von Martin Eichler und Don Zagier gewonnenen Erkenntnisse. Im ersten Abschnitt werden zunächst grundlegende, wohlbekannte Resultate aus der Funktionentheorie rekapituliert. Diese beziehen sich zum einen unmittelbar auf die Weierstraß’sche p‑Funktion, und zum anderen auf die Theorie der Modulformen.
Darauf aufbauend wird die Überlagerungstheorie eingeführt, um nützliche Aussagen über die als analytisches Gebilde aufgefasste Nullstellenmenge der p‑Funktion zu treffen. Es werden verzweigte und unverzweigte Überlagerungen behandelt, die die Angabe einer Laurentreihe zu der lokal definierten z0‑Funktion ermöglichen. Der dritte Teil der Arbeit behandelt Jacobiformen, die als Erweiterung der Modulformen in zwei Variablen verstanden werden.
Im Zentrum steht hier, dass die p‑Funktion eine meromorphe Jacobiform vom Gewicht 2 und dem Index 0 ist und dass eine konkrete Fourierentwicklung angegeben werden kann. All diese vorher erarbeitenden Erkenntnisse werden im konkreten Beweis der Nullstellenformel nach D.Zagier und M.Eichler im vorletzten Kapitel zusammengebracht. In einem kurzen, abschließenden Ausblick wird eine weiterführende Aussagen formuliert und hervorgehoben, dass auch andere Funktionen die gleichen Nullstellen wie p(z, τ ) haben können.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einleitung
- 2 Grundlagen
- 2.1 Abel'sches Theorem
- 2.2 Algebraische Differentialgleichung der p-Funktion
- 2.3 Modulformen
- 3 Überlagerungstheorie
- 3.1 Verzweigte Überlagerungen
- 3.2 Satz von Riemann-Hurwitz
- 3.3 Reihenentwicklungen der zo- und z₁-Funktion
- 4 Jacobiformen
- 4.1 Definition von Jacobiformen
- 4.2 Strichoperator für Jacobiformen
- 4.3 Fourierentwicklung der p-Funktion
- 5 Beweis der Nullstellenformel
- 6 Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Bachelorarbeit hat zum Ziel, alle Nullstellen der Weierstraß'schen p-Funktion explizit darzustellen. Sie baut auf den Arbeiten von M. Eichler und D. Zagier auf und nutzt bekannte Resultate aus der Theorie der Modulformen und der Funktionentheorie. Die Weierstraß'sche p-Funktion wird als meromorphe Jacobiform verstanden.
- Explizite Darstellung der Nullstellen der Weierstraß'schen p-Funktion
- Anwendung der Theorie der Modulformen
- Verwendung von Resultaten der Funktionentheorie, insbesondere der Theorie der Riemann'schen Flächen
- Interpretation der Weierstraß'schen p-Funktion als meromorphe Jacobiform
- Herleitung der Fourierentwicklung der p-Funktion
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Einleitung skizziert die historische Entwicklung der Theorie elliptischer Funktionen, beginnend mit den Arbeiten von Fagnano und Euler zu elliptischen Integralen und der darauf folgenden Forschung von Abel und Jacobi. Sie führt die Weierstraß'sche p-Funktion als zentrale elliptische Funktion ein und hebt deren Bedeutung für die gesamte Theorie hervor. Die Einleitung motiviert die Arbeit und stellt den Kontext der Forschung dar, indem sie die historische Entwicklung der Theorie elliptischer Funktionen beleuchtet und die zentrale Bedeutung der Weierstraß'schen p-Funktion hervorhebt.
2 Grundlagen: Dieses Kapitel legt die mathematischen Grundlagen für die spätere Berechnung der Nullstellen der Weierstraß'schen p-Funktion. Es umfasst das Abel'sche Theorem, die algebraische Differentialgleichung der p-Funktion und grundlegende Konzepte der Theorie der Modulformen. Diese Kapitel liefert die notwendigen mathematischen Werkzeuge und Definitionen, auf denen die spätere Analyse der Weierstraßschen p-Funktion aufbaut. Die Integration des Abel'schen Theorems, der Differentialgleichung und der Modulformen schafft eine solide Basis für die folgenden Kapitel.
3 Überlagerungstheorie: Dieses Kapitel befasst sich mit der Überlagerungstheorie, insbesondere verzweigten Überlagerungen und dem Satz von Riemann-Hurwitz. Es werden Reihenentwicklungen der zo- und z₁-Funktion eingeführt, die für die spätere Analyse unerlässlich sind. Die Überlagerungstheorie bietet einen geometrischen Rahmen für das Verständnis der Weierstraß'schen p-Funktion und ihrer Eigenschaften. Der Satz von Riemann-Hurwitz liefert wichtige Beziehungen zwischen den Eigenschaften der Überlagerung und der zugrundeliegenden Riemann'schen Fläche. Die Reihenentwicklungen der zo- und z₁-Funktion liefern konkrete Werkzeuge für die spätere Berechnung.
4 Jacobiformen: Dieses Kapitel definiert Jacobiformen und den Strichoperator für Jacobiformen. Die Fourierentwicklung der p-Funktion wird im Kontext der Jacobiformen hergeleitet. Dieses Kapitel stellt die Verbindung zwischen der Weierstraß'schen p-Funktion und der Theorie der Jacobiformen her. Die Definition der Jacobiformen und des Strichoperators bilden die Grundlage für die Analyse der p-Funktion als Jacobiform. Die Herleitung der Fourierentwicklung ist ein zentraler Beitrag des Kapitels und essentiell für die weitere Analyse.
5 Beweis der Nullstellenformel: Dieses Kapitel präsentiert den Beweis der Formel für die Nullstellen der Weierstraß'schen p-Funktion. Es kombiniert die Ergebnisse der vorherigen Kapitel, um die explizite Darstellung der Nullstellen zu erreichen. Dieses Kapitel ist das Kernstück der Arbeit und stellt das Hauptresultat dar. Es zeigt die Anwendung der in den vorherigen Kapiteln entwickelten Methoden und liefert die explizite Formel für die Nullstellen der Weierstraß'schen p-Funktion.
Schlüsselwörter
Weierstraß'sche p-Funktion, Nullstellen, Modulformen, Jacobiformen, Riemann'sche Flächen, Überlagerungstheorie, Fourierentwicklung, Abel'sches Theorem, elliptische Funktionen.
Häufig gestellte Fragen zur Bachelorarbeit: Explizite Darstellung der Nullstellen der Weierstraß'schen p-Funktion
Was ist das Thema der Bachelorarbeit?
Die Bachelorarbeit behandelt die explizite Darstellung aller Nullstellen der Weierstraß'schen p-Funktion. Sie verwendet Methoden aus der Theorie der Modulformen und der Funktionentheorie, insbesondere der Theorie der Riemann'schen Flächen, und interpretiert die Weierstraß'sche p-Funktion als meromorphe Jacobiform.
Welche Methoden werden in der Arbeit verwendet?
Die Arbeit stützt sich auf die Theorie der Modulformen, die Funktionentheorie (insbesondere die Theorie der Riemann'schen Flächen und verzweigten Überlagerungen), und die Theorie der Jacobiformen. Das Abel'sche Theorem und die algebraische Differentialgleichung der p-Funktion spielen ebenfalls eine wichtige Rolle. Die Fourierentwicklung der p-Funktion wird hergeleitet und verwendet.
Welche Ergebnisse werden erzielt?
Das Hauptresultat der Arbeit ist die explizite Formel für die Nullstellen der Weierstraß'schen p-Funktion. Der Beweis dieser Formel wird Schritt für Schritt in den Kapiteln dargelegt und kombiniert die Ergebnisse aus den verschiedenen theoretischen Bereichen.
Welche Kapitel beinhaltet die Arbeit?
Die Arbeit ist in sechs Kapitel gegliedert: Einleitung, Grundlagen (Abel'sches Theorem, algebraische Differentialgleichung der p-Funktion, Modulformen), Überlagerungstheorie (verzweigte Überlagerungen, Satz von Riemann-Hurwitz, Reihenentwicklungen), Jacobiformen (Definition, Strichoperator, Fourierentwicklung der p-Funktion), Beweis der Nullstellenformel und Ausblick.
Welche Schlüsselbegriffe sind relevant?
Wichtige Schlüsselbegriffe sind: Weierstraß'sche p-Funktion, Nullstellen, Modulformen, Jacobiformen, Riemann'sche Flächen, Überlagerungstheorie, Fourierentwicklung, Abel'sches Theorem, elliptische Funktionen.
Auf welchen Arbeiten baut die Bachelorarbeit auf?
Die Arbeit baut auf den Arbeiten von M. Eichler und D. Zagier auf und nutzt bekannte Resultate aus der Theorie der Modulformen und der Funktionentheorie.
Welche Zielsetzung verfolgt die Arbeit?
Die Zielsetzung ist die explizite Darstellung der Nullstellen der Weierstraß'schen p-Funktion. Die Arbeit demonstriert die Anwendung verschiedener mathematischer Konzepte und Techniken auf ein konkretes Problem aus der Theorie der elliptischen Funktionen.
Wie wird die Weierstraß'sche p-Funktion in der Arbeit interpretiert?
Die Weierstraß'sche p-Funktion wird als meromorphe Jacobiform interpretiert, was die Anwendung der Theorie der Jacobiformen ermöglicht.
Welche Bedeutung hat die Fourierentwicklung der p-Funktion?
Die Fourierentwicklung der p-Funktion ist ein wichtiges Werkzeug für die Analyse und die Herleitung der Formel für die Nullstellen.
Gibt es einen Ausblick auf zukünftige Forschung?
Das letzte Kapitel enthält einen Ausblick auf mögliche zukünftige Forschungsrichtungen, die auf den Ergebnissen der Arbeit aufbauen könnten. (Der genaue Inhalt des Ausblicks ist im gegebenen Textfragment nicht detailliert beschrieben).
- Citation du texte
- Dominik Seel (Auteur), 2021, Die Nullstellen der Weierstraß'schen p-Funktion nach Martin Eichler und Don Zagier. Überlagerungstheorie und Jacobiformen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1168684
