Vergleichende Fehleranalyse zu Prozentrechenaufgaben in den Jahrgangsstufen 7 und 8

Universität Passau
Schriftliche Hausarbeit für die Zulassung zur Ersten Staatsprüfung für das
Lehramt an Hauptschulen

im Fach Didaktik der Mathematik

Vergleichende Fehleranalyse zu Prozentrechenaufgaben
in den Jahrgangsstufen 7 und 8

Verfasser: Simone Hedtke

Inhaltsverzeichnis

1. Gedanken zur Fehleranalyse im Fach Mathematik 3
2. Didaktische Aspekte zum Prozentrechnen 5
2.1 Sachanalyse 5
2.2 Pädagogische Aspekte 13
2.3 Psychologische Aspekte 13
3. Empirisch-praktische Fehleranalyse 14
3.1 Untersuchungsgegenstand 14
3.2 Analysen der einzelnen Aufgaben des ersten Tests 16
3.2.1 Aufgabe 1 16
3.2.2 Aufgaben 2, 3 und 4 23
3.2.3 Aufgaben 5, 6 und 7 51
3.2.4 Aufgabe 8 67
3.2.5 Aufgaben 9, 10 und 11 72
3.3 Vergleich der beiden Tests 81
3.3.1 Aufgabe 1 81
3.3.2 Aufgaben 2, 3 und 4 87
3.3.3 Aufgaben 5, 6 und 7 114
3.3.4 Aufgabe 8 131
3.3.5 Aufgaben 9, 10 und 11 136
3.4 Gesamtauswertung 144
4. Möglichkeiten zum weiteren Vorgehen 144
5. Literaturverzeichnis 146

1. Gedanken zur Fehleranalyse im Fach Mathematik

In allen Bereichen des täglichen Lebens findet man Fehler der Menschen vor. So ist es auch in der Mathematik. Ganz gleich in welcher Altersstufe, zu welchem Thema oder bei welchem Lehrer, Fehler werden jederzeit gemacht. Diese Fehler kann man jedoch unterschiedlich einschätzen. Während sie in den ersten Phasen des Lernprozesses noch als ,,fruchtbare, lernwirksame Momente"1 betrachtet werden, die Anlass zu weiteren Erklärungen bieten, werden sie nach der Übungsphase als störend und vom Schüler verursacht angesehen. Nach Beendigung des Lernprozesses, sind sie bei Leistungstests sogar notwendig zur differenzierenden Notengebung.

Allgemein kann gesagt werden, dass es zwei unterschiedliche Ansätze gibt, mit Fehlern umzugehen: Der erste ist der sog. ,,Defizitansatz". Hier dominiert der Leistungsgedanke. Die Punkte ,,Fordern, Bewerten, Prüfen" stehen im Vordergrund, deshalb werden bei diesem Ansatz Fehler als Mängel angesehen. Hieraus resultiert die Strategie der Vermeidung von Fehlern. Ein anderer hingegen ist der konstruktive Ansatz. Im Gegensatz zum Defizitansatz ist hier der Gedanke des Lernens und Förderns maßgebend. Es wird von Vorerfahrungen und eigenen Denkwegen der Schüler ausgegangen, die sich dann das mathematische Wissen aktiv aneignen und es nach und nach durch Ausdifferenzierung verfeinern. Aus diesem Ansatz geht die Strategie ,,der produktiven Auseinandersetzung und des explorativen Umgangs mit Fehlern"1 hervor.

Bemerkung zum Text: In der gesamten Arbeit werden aus Vereinfachungsgründen mit dem

Begriff ,,Schüler" sowohl männliche als auch weibliche Schüler bezeichnet.

^{1 Ludwig Bauer: Aus Fehlern lernen! Überlegungen zu Lernschwierigkeiten und Fehlern im Mathematikunterricht der Hauptschule, In: Schubert A. (Hrsg.): Mathematik lehren wie Kinder lernen, Braunschweig 2002, S.58}

Keiner der beiden Ansätze ist in der Mathematik wegzudenken. Jede Situation fordert seinen eigenen Ansatz. So ist in Lernsituationen wohl der konstruktive, in Prüfungssituationen hingegen der Defizitansatz zu befürworten.

Warum jedoch wird überhaupt so viel über Fehler in der Mathematik nachgedacht? Schon im Lehrplan der Hauptschulen steht: ,,Der individuellen Förderung dienen sorgfältige Fehleranalysen [...]. ", d.h., dass die Analyse von Fehlern ein wichtiges Prinzip der Planung und Durchführung von Mathematikunterricht darstellt. Sie wird genutzt2

- als Grundlage für eine innere Differenzierung

- um didaktische Schwierigkeiten bewusst zu machen (und Konsequenzen daraus zu ziehen)

- um mathematische Teilleistungsschwächen sowie tiefere Ursachen für Lernschwierigkeiten aufzudecken;

Es gibt im Wesentlichen vier Methoden der Fehleranalyse (Brueckner):

- Analyse von Schülerfehlern aus schriftlichen Aufgabenlösungen (z.B. Probearbeiten, Hausaufgaben, diagnostischen Tests usw.)

- diagnostische Gespräche zwischen dem Lehrer und dem einzelnen Schüler

- ,lautes Denken" des Schülers beim Lösen von Aufgaben

- Beobachtungen während des Bearbeitens einer Aufgabe;

Vor allem die Analyse schriftlicher Aufgaben und die diagnostischen Gespräche lassen einen Schluss auf die Art des Fehlers zu. Hierzu gibt es verschiedene Unterteilungen. Erstens kann man in Flüchtigkeitsfehler, Zufalls- bzw. Probierfehler und systematische Fehler unterteilen, zweitens kann man nach der Häufigkeit der Fehler gliedern, oder drittens nach inhaltlichen Gesichtspunkten in:

- Fehler im kognitiven Bereich (Teilleistungsschwächen)

- Fehler im Bereich der rechnerisch-mathematischen Grundfertigkeiten (Dyskalkulie, Rechenschwäche usw.)

- Fehler in spezifischen mathematischen Teilgebieten (z.B. Sachaufgaben, Geometrie ...);

^{2 Radatz, H.: Möglichkeiten und Grenzen der Fehleranalyse im Mathematikunterricht. In: Der Mathematikunterricht, Heft 6. 1985, S.19}

Bei der folgenden Analyse der diagnostischen Tests kann weder nach den inhaltlichen Gesichtspunkten, noch nach der Häufigkeit der Fehler vorgegangen werden, da erstens nur ein Teilbereich der Mathematik geprüft wurde und zweitens die Häufigkeit keine Antwort auf den Grund der Fehler beim einzelnen Schüler liefert.

Bevor jedoch diese Analyse erfolgt, sollen im folgenden Kapitel zunächst die didaktischen Aspekte zum Thema ,,Prozentrechnen" kurz dargestellt werden.

2. Didaktische Aspekte zum Prozentrechnen
2.1 Sachanalyse

Das Wort ,,Prozent" lässt sich aus dem italienischen Begriff ,,per cento" oder dem lateinischen Begriff ,,pro centum" ableiten und bedeutet ,,für hundert". Die Prozentrechnung ist eine rechnerische Methode des Vergleichens von Größen oder Zahlen. Man unterscheidet dabei einen absoluten und einen relativen Vergleich. Beim absoluten Vergleich werden die Werte an sich verglichen, man berechnet die Differenz.

Bsp.: In den 7. Klassen werden Fahrräder auf Mängel untersucht. In der Klasse 7a hatten 21 von 28 Fahrrädern keine Mängel, in der Klasse 7b hingegen 12 von 20.

absoluter Vergleich:

Beim relativen Vergleich stellt man dagegen die Anteile fest, d.h. man bildet das Verhältnis der Größen (= Herstellen von Brüchen).
relativer Vergleich:
Klasse 7a: 21 von 28 21/28=3/44