Portfoliotheorie II. Einführung in das Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Inhaltsverzeichnis

1. Einführung

2. Das Capital Asset Pricing Model (CAPM)
2.1. Die Portfoliooptimierung nach MARKOWITZ
2.2. Die Annahmen des Capital Asset Pricing Models (CAPM)
2.3. Die Kapitalmarktlinie
2.3.1 Das Marktportfolio und seine Charakteristik
2.3.2 Die Herleitung der Kapitalmarktlinie
2.3.3 Interpretation der Kapitalmarktlinie
2.4. Die Wertpapierlinie
2.4.1 Theoretische Interpretation der Wertpapierlinie: Der ß-Faktor
2.4.2 Das systematische Risiko und der ß-Faktor
2.4.3 Das Marktmodell

3. Das CAPM und Modigliani-Miller: Ermittlung der Eigenkapitalkosten einer Unternehmung im Verschuldungsfall

4. Fazit: CAPM in der Realität?

1. Einführung

Diese Seminararbeit erklärt das Capital Asset Pricing Model (CAPM), ein Kapitalmarktgleich- gewichtsmodell, das von William F. Sharpe (1964)¹, Jan Mossin (1966)² und John Lintner (1965)³, getrennt voneinander, entwickelt wurde. Die Arbeiten von Harry M. Markowitz, der seine Epoche machenden Ergebnisse mit Hilfe des „Portfolio-Selection-Models“ verdeutlichte, bilden die theoretische Grundlage des CAPM.

Das CAPM bildet - innerhalb seiner Prämissen - eine mathematisch ableitbare Grundlage, die eine gute Approximation der Realität darstellt und einen großen Einfluss auf das praktische Portfoliomanagement der Banken ausübt. Dort findet das CAPM bis heute beispielsweise im Bereich der Performance-Messung / Depotoptimierung eine breite Anwendung.

Einen Anwendungsfall aus der Praxis liefert die Werbung der SEB AG - eines führenden nordeuropäischen Finanzkonzerns - welche Neukunden einen kostenlosen Depotcheck mit entsprechenden Optimierungsvorschlägen anbietet:

„ Wir erstellen für Sie auf Grundlage der modernen Portfolio-Theorie nach Harry M. Markowitz (1990 Nobelpreis) ein individuelles Gutachten Ihres Depots und optimieren es nach Chancen-Risiko- Aspekten. Ziel ist immer eine Steigerung der Rendite bei gleich bleibendem Risiko oder eine gleich bleibende Renditeerwartung bei sinkendem Risiko. “⁴

Dem logischen und mathematischen Ablauf der vorliegenden Arbeit ist es geschuldet, dass ich zunächst - in knapper Form - auf die grundlegenden Erkenntnisse der Portfoliotheorie von Markowitz (vgl. Kapitel 2.1) eingehe und anschließend die Prämissen des CAPM (vgl. Kapitel 2.2) erläutere. Den Schwerpunkt der Arbeit bilden die Kapitel 2.3 und 2.4 zur Herleitung und Interpretation der CAPM- Gleichung(en). Das dritte Kapitel veranschaulicht dem Leser die Bedeutung der kapitalmarkttheoretischen Erkenntnisse des CAPM anhand der Thesen von Modigliani und Miller und zeigt eine interessante Möglichkeit auf, Eigenkapitalkosten von verschuldeten Unternehmen zu berechnen.

2. Das Capital Asset Pricing Model (CAPM)

2.1 Die Portfoliooptimierung nach MARKOWITZ

Harry M. Markowitz (1927 - ), der Begründer der modernen Portfoliotheorie, stützt sein einperiodiges Modell auf risikoaverse und nutzenmaximierende Individuen, die ihre Investmententscheidung einzig auf der Basis von Mittelwert und Varianz der Verteilung von Aktienrenditen treffen.

Das Risiko wird durch die Streuung σ bzw. die Varianz σ 2 der Aktienrenditen um ihren Mittelwert bzw. Erwartungswert µ erfasst. Folglich ist das Risiko einer Investitionsalternative positiv mit der Streuung ihrer erwarteten Erträge korreliert. Dieser Ansatz wird als µ σ - Prinzip bezeichnet und liefert somit eine Grundlage des Markowitz-Modells.

Markowitz war es, der in seiner Portfoliotheorie erstmals die Aspekte der Bildung von Portfolios aus nicht vollkommen unabhängigen Risiken systematisch untersuchte und enträtselte. Er zeigte, dass effiziente Risikosenkung nur dann möglich ist, wenn das Ausmaß der Abhängigkeit (Korrelation) der einzelnen Anlagen bei der Zusammenstellung des Portfolios berücksichtigt wird. Risikosenkung durch Risikostreuung ist eine wesentliche Erkenntnis der Portfoliotheorie.

Mit Hilfe dieser Theorie sind Investoren in der Lage, risikobehaftete Wertpapiere so miteinander zu mischen, „dass für ein gegebenes Risikoniveau die zu erwarteten Gewinne maximiert werden.“⁵ Portfolios mit dieser Eigenschaft liegen auf der so genannten Effizienzkurve, dem geometrischen Ort aller risikoeffizienten Portfolios. „ Ein Portfolio ist, nach Markowitz, effizient, wenn es kein anderes Portfolio gibt, das 1) bei gleichem s ein höheres m oder 2) bei gleichem m ein niedriges s oder ein höheres m und ein niedrigeres s aufweist. “⁶ In Abbildung 1 ist die Effizienzkurve somit der obere Ast der Hyperbel, beginnend beim so genannten „ Minimum Varianz Portfolio “ (MVP).

Welches Portfolio am Ende des Optimierungsprozesses des Investors gewählt wird, hängt von seiner Präferenzfunktion Øi ab, in die wiederum sein Grad der Risikoaversion mit eingeht. Demnach benötigt der Investor Kenntnisse über seine individuelle Risikoneigung. Grafisch ist das optimale Portfolio leicht bestimmbar, da die Präferenzordnung des Investors durch eine Geradenschar (Indifferenzkurvensystem) illustriert werden kann, wobei die Steigung der Geraden von der Präferenzfunktion des jeweiligen Investors abhängt. Bei gegebener Präferenzfunktion wählt der Anleger das Portfolio C, bei dem die Indifferenzkurve⁷ Ø 2 mit dem höchsten erreichbaren Nutzenniveau die Effizienzkurve tangiert (vgl. Abbildung 1).

Abbildung 1 : Portfoliooptimierung nach Markowitz Quelle: Bieg, H. / Kußmaul, H. (2000), S. 123

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der Realität sind die mittels der Indifferenzkurven abgebildeten Risiko- neigungen der Investoren schwer zu quantifizieren bzw. zu schätzen. Die Anwendung des Modells erschwert sich dadurch erheblich.

Das CAPM hingegen verzichtet auf die komplexe Modellierung der individuellen Risikopräferenzen der Anleger zur Bestimmung der optimalen Portfolios und liefert deshalb die bekannteste Erklärung für die Austauschbeziehung („ Trade- off “) zwischen Rendite und Risiko im Kapitalmarktgleichgewicht.

2.2 Die Annahmen des Capital Asset Pricing Models (CAPM)

Die Prämissen dieser Modellwelt bauen auf den bereits in Kapitel 2.1 beschriebenen Grundsätzen von Markowitz auf. Der Übersichtlichkeit halber seien die zentralen Annahmen des CAPM an dieser Stelle nochmals aufgeführt. Die Reihenfolge der einzelnen Punkte ist zufällig gewählt:

1) Alle Anleger sind risikoavers, maximieren ihren Nutzenerwartungswert und haben den gleichen einperiodigen Planungszeitraum.⁸
2) Alle Investoren haben homogene Erwartungen bezüglich der Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen der Wertpapierrenditen.⁹ Bedingung für diese einheitliche Erwartungsbildung ist jedoch ein informationseffizienter Kapitalmarkt, d.h. die Wertpapierkurse reflektieren zu jedem Zeitpunkt den Stand der vorhandenen relevanten Informationen.
3) Es existiert eine risikofreie Kapitalanlage- und Kreditaufnahmemöglichkeit zu einem sicheren Zinssatz.¹⁰
4) Alle Wertpapiere auf dem Kapitalmarkt werden gehandelt und sind beliebig teilbar. Die Wertpapiere weisen eine Normalverteilung ihrer Renditen auf.
5) Die Marktpreise der Wertpapiere werden von jedem Investor als von seinen Dispositionen unabhängig angesehen, d.h. nicht durch die einzelnen Investitionen beeinflusst.
6) Der Kapitalmarkt ist frei von Friktionen aller Art (Transaktionskosten, Steuern, ...) und kann somit als vollkommener Kapitalmarkt angesehen werden.¹¹ Übrigens zählen zu den Transaktionskosten nicht nur diverse Gebühren für die Abwicklung einer Order, etc., sondern auch die Kosten, die der Investor für die Beschaffung von Informationen im Zusammenhang mit seinem Portfolio aufwendet.

Um das Kernstück des CAPM - die Wertpapierlinie - in seiner Gänze herleiten zu können, ist es unerlässlich, zuerst die so genannte Kapitalmarktlinie einzuführen.

2.3 Die Kapitalmarktlinie

In der Portfolio-Selection-Theorie von Markowitz wird ausschließlich mit riskanten Wertpapieren gehandelt. James Tobin erweitert diese Modellwelt, indem er die Möglichkeit der risikolosen Geldanlage zu einem Sicherheitszinssatz µ F einführt. Eine risikolose Kapitalanlage garantiert dem Investor mit Sicherheit eine bestimmte Rendite.

Hiermit soll eine Aussage darüber getroffen werden, „ welche kapitalmarkttheoretisch fundierte Risikoprämie ein Investor beim Erwerb eines unsicheren Zahlungsstromes über den sicheren Zinssatz [ m ] hinaus erwarten kann. “¹²

Alle rationalen Investoren werden eine Kombination aus dem riskanten Portfolio T und der risikolosen Anlage F halten. Lediglich die Aufteilung des gesamten Investitionsbudgets auf das riskante, unsichere Wertpapierportfolio T und die sichere, risikolose Anlage F gibt Aufschluss über die individuelle Risikoneigung des Investors. So zerfällt die Portfolioselektion in zwei voneinander unabhängige Prozesse:

Einerseits in die allgemeine Ermittlung des riskanten Portfolios T und andererseits in die Bestimmung des optimalen „Risikoexposures“ gegenüber riskanten Wertpapieren in Abhängigkeit der individuellen Risikopräferenz.

Diese Trennbarkeit der Entscheidung über die Zusammensetzung eines Portfolios risikobehafteter Wertpapiere von der Risikopräferenz des Investors mündet in das so genannte „ Separationstheorem “ von Tobin.¹³

2.3.1 Das Marktportfolio und seine Charakteristik

Da dieses Szenario der Tobin-Separation für alle Marktteilnehmer zutrifft, ihnen homogene Erwartungen unterstellt werden und für jeden Anleger der gleiche Sicherheitszinssatz µ F gilt, halten sämtliche Investoren im Marktgleichgewicht ein strukturidentisches riskantes Wertpapierportfolio T, gleichgültig, welches Ausmaß an Risikoaversion sie an den Tag legen (€ Tobin-Separation).¹⁴

Im Marktgleichgewicht besteht weder eine Übernachfrage noch ein Überangebot an riskanten Investitionsmöglichkeiten, und folglich befinden sich alle Wertpapiere in den Portfolios der Anleger.

„Daraus folgt, dass die Gewichtung der Wertpapiere in jedem Portfolio gemäß der Kapitalisierung der jeweiligen Aktie erfolgen muss, sonst würde sich kein Kapitalmarktgleichgewicht einstellen.“¹⁵

Eine logische Folge daraus ist, dass das riskante Portfolio T strukturell mit dem so genannten Marktportfolio M übereinstimmt. „ Unter dem Marktportfolio ist die Summe aller am Markt vorhandenen riskanten Finanztitel zu verstehen. “¹⁶ Die Konvergenz des riskanten Portfolios T mit dem Marktportfolio M ist eine zentrale Bedingung dafür, dass es zu Markträumung kommt.

Alle Investoren halten also lediglich eine Kombination aus dem Marktportfolio M und der sicheren Anlage F. Sämtliche dieser Kombinationen liegen auf der „ Kapitalmarktlinie “ bzw.

„ Effizienzgeraden “ oder auch „ Capital Market Line “ (CML). Die Erklärung hierfür lässt sich grafisch gut veranschaulichen (siehe Abbildung 2 auf Seite 7).

Die Linearkombination aus sicherer Anlage F und dem Marktportfolio M dominiert alle „früheren“ Portfolios auf der Effizienzlinie (z.B. Portfolio „Y“ in Abbildung 2). Dieses Marktportfolio M liegt am Tangentialpunkt eines Strahls von µ F aus an die Effizienzkurve der riskanten Wertapiere.¹⁷ Der rationale Investor kann folglich mit keiner anderen Anlagealternative eine höhere Rendite bei gleichem Risiko erzielen.

2.3.2 Die Herleitung der Kapitalmarktlinie

Werfen wir einen Blick auf die mathematische Herleitung der Kapitalmarktlinie, um oben genannte Zusammenhänge zu veranschaulichen. Wir konstruieren ein Portfolio X, das das Marktportfolio M mit dem Anteil α und eine risikolose Anlage mit Anteil 1- α beinhaltet:

Erwartete Rendite des Portfolios: (1.1) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Varianz des Portfolios: (1.2) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Zusätzlich gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

In Folge lässt sich die Portfoliovarianz zu [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] vereinfachen. Nach dem Auflösen dieser Gleichung nach α erhalten wir:

(1.3) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Wenn wir nun die Gleichung (1.3) in die Gleichung (1.1) einsetzen, ergibt sich schließlich folgender funktionaler, linearer Zusammenhang, der die Kapitalmarktlinie (CML) definiert:

(1.4) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Die folgende Grafik illustriert diesen positiven, linearen Zusammenhang zwischen Rendite und Risiko im Kapitalmarktgleichgewicht. „ Die Risikoeinstellung eines Investors wird durch die Wahl des in die riskanten Anlageformen investierten Anteils ausgedrückt. “¹⁸

Anschaulich formuliert, „ wandert “ der Investor je nach persönlicher Risikoneigung durch die Punkte (0, µ F) und (µ M, σ M) auf der Kapitalmarktlinie nach oben:

[...]

¹ Vgl. Sharpe, W. (1964), S. 425 ff.

² Vgl. Mossin, J. (1966), S. 768 ff.

³ Vgl. Lintner, J. (1965), S. 13 ff.

⁴ Internetquelle: https://www.seb-bank.de/specials/depotwechsel/DepotWechsel.html (aufgerufen am 7.10.2008)

⁵ Kruschwitz, L. (2004), S. 169

⁶ Dorfleitner, G. (2008), S. 25

⁷ Die Indifferenzkurve (IK) beschreibt alle Kombinationen von Ertrag und Risiko, die für den Investor den gleichen erwarteten Nutzen stiften. Je weiter eine IK vom Koordinatenursprung entfernt ist, desto höher ist das erreichte Nutzenniveau (D. Diedrichs / M. Ehmer / N. Rollwage (2004), S. 10)

⁸ Vgl. Obermaier, R. (2004), S. 295

⁹ Vgl. Franke, G. / Hax, H. (2004), S. 351

¹⁰ Vgl. Hamerle, A. (2005), S. 11

¹¹ Vgl. Perridon, L. / Steiner, M. (2004), S.276

¹² Obermaier, R. (2004), S. 276

¹³ Vgl. Tobin, J. (1958), S. 82 f.

¹⁴ Kruschwitz, L. (2004), S 190

¹⁵ Röder, K. (2007/08), S. 56

¹⁶ Kruschwitz, L. (2004), S.190

¹⁷ Vgl. Hamerle, A. (2005), S. 13

¹⁸ Hamerle, A. (2005), S. 13