Mathematik ohne Zahlen

GLIEDERUNG

Einleitung

1. historische Entwicklung mathematischen Denkens
1.1. Ethnomathematik

2. mathematisches Denken bei Kleinkindern

3. Zusammenhänge und Schlussfolgerungen

Bibliografie und Bildnachweise

Anlagen: Handout

EINLEITUNG

Der Mensch unterscheidet sich vom Tier, weil er sich die Welt ordnet, um sich in ihr zurecht zu finden. Er gebraucht Muster, katalogisiert und schafft Symmetrien. Beginnend bereits im Kleinstkindalter sortiert er und sucht in seiner Umwelt Ähnlichkeiten und Strukturen, die ihm Orientierung geben sollen. Hilfreich kann ihm dabei alles sein – bunte Becher, Steine, Äste, Knöpfe und viele andere Dinge, die eng mit seiner Lebenswelt verbunden sind. Spätestens aber dann mit Eintritt in die Schule wird aus diesem freien und spielerischen Umgang der Kinder mit Zahlen, Formen und Mustern ein vorgegebener Akt, meist beschränkt auf den Mathematikunterricht. Aus dem alltäglichen Umgang mit mathematischen Gesetzmäßigkeiten und Formen, wie sie für Kinder jeden Tag und überall erfahrbar sind, und ihrer Lust, mit Geometrie und Zahlen zu experimentieren, sie sogar zu fühlen oder anzufassen, wird eine

„Wissenschaft von [...] abstrakten Strukturen und logischen Folgerungen“ (vgl. http://lexikon.meyers.de/index.php?title=Mathematik&oldid=281212), die bei vielen Erwachsenen, die mit Mathematik vielleicht nur reines Abstrahieren und Rechnen verbinden, zu einer Vorstellung der „trainierten Fertigkeiten [führt], die kaum mit der Spiel- und Lebenswelt der Kinder verbunden sind“ (vgl. Wollring 2006, In: Grüßing; Peter-Koop S.80). Denn dass kleinste Kinder bereits, auf ihre eigene Weise, mit Mathematik experimentieren und dass sie, wenn auch individuell auf unterschiedlichem Niveau, mathematisches Verständnis haben und dieses weiterentwickeln, ist für viele (Erwachsene) kaum zu glauben. Und so verwundert es nicht, dass eine gezielte Förderung von Kindern mit besonderer mathematischer Begabung als auch von Kindern mit erheblichen Defiziten selten schon rechtzeitig im Kindergarten beginnt, sondern meist erst in der Schule erkannt und aufgegriffen wird.

Ähnlich nun der kindlichen, allmählich und schrittweise anwachsenden Entwicklung mathematischen Denkens kann auch der historische Prozess der sich entwickelten Mathematik betrachtet werden, denn auch hier begann mathematisches Verständnis mit konkreten Anwendungen, wie der Viehbestandserfassung und der Landvermessung, bevor die daraus entstandene Wissenschaft zur abstrakten Forschung übergehen konnte. Die Ergebnisse dieser Anwendungen und Forschungen werden heute noch weltweit in Schulen und Universitäten gelehrt und sorgen unter Kulturanthropologen und auch Pädagogen vermehrt zu kritischen Äußerungen. Hierbei ist besonders das Konzept der Ethnomathematik hervor zu heben, welches unterschiedliche mathematische Ideen, Vorstellungen und deren Gebrauch aufspürt und besonders in kultureller Hinsicht untersucht. Es „kritisiert arrogante [...] Haltungen [...] der Industrieländer, die in Geringschätzung gegenüber dem Mathematikunterricht in anderen Teilen der Welt [...] zum Ausdruck kommen“ (vgl. http://www.sub.uni- hamburg.de/opus/volltexte/1997/5/html/232(Ethnomathematik ).html#Zurentwicklung) und verweist auf die divergenten Herangehensweisen unterschiedlichster Kulturen an geometrische und arithmetische Zusammenhänge. Auch hier wird, sowohl von wissenschaftlicher Seite als auch von der breiten Öffentlichkeit, die Vielzahl mathematischer Anwendungen, wie sie bereits von Urvölkern gehandhabt wurden, eher als primitive Anpassung an geografische und gesellschaftliche Umstände betrachtet, denn als Verwendung konkreter Mathematik in seiner Komplexität.

Offensichtlich liegt nun hierin eine grundsätzliche und entscheidende Gemeinsamkeit der Ansätze der Ethnomathematik und des kindlichen Mathematikverständnisses: die offene und sehr weit gefasste Vorstellung, inwiefern sich mathematische Anwendungen konkret in der Praxis äußern und was in diesem Zusammenhang als mathematisch korrekt gilt. Sowohl kleine Kinder als auch die untersuchten Kulturen der Ethnomathematik sind in der Lage mathematische Operationen, wie vermessen, notieren, sortieren oder ordnen zu verwenden, ohne dabei Kenntnisse über den abstrakten Charakter der Mathematik zu haben. Und dennoch ist es Mathematik, dessen sie sich bedienen.

In der folgenden Ausarbeitung soll nun versucht werden, die Art und Weise, wie in beiden Ansätzen mathematische Entwicklung verstanden wird, zu analysieren und kurz darzustellen. Kritische Betrachtungen, die es vor allem in der Ethnomathematik bezogen auf die aus ihr resultierenden didaktischen Konsequenzen hauptsächlich in Latein- und Südamerika gibt, sollen jedoch bewusst ausgelassen werden, da diese zusätzliche Auseinandersetzung den hier gesetzten Rahmen sprengen würde.

Aufbauend auf den beiden unterschiedlichen Darstellungen über mathematische Vielfalt in seiner Praxis wird im letzten Teil der Arbeit kurz, anhand der sich heraus kristallisierten Gemeinsamkeiten und Zusammenhänge, nach praxisbezogenen Möglichkeiten der mathematischen Frühförderung von Kindern in Deutschland gesucht, die sich an didaktischen Hinweisen und Vorschlägen der Ethnomathematik orientieren. Dabei wird Hauptaugenmerk auf die Frage gelegt, inwiefern Mathematik auch ohne die Verwendung von Arithmetik Mathematik sein kann – eben eine Mathematik ohne Zahlen.

1. historische Entwicklung mathematischen Denkens

„Nur wer die Vergangenheit kennt, hat eine Zukunft.“ Wilhelm von Humboldt (1767-1835) Ein Versuch, die Ursprünge mathematischen Denkens auf einen genauen Zeitpunkt festzulegen, scheitert allein daran, dass sich grundsätzlich zwei verschiedene Annahmen gegenüber stehen, wann und wo die Anfänge der Mathematik zu finden sind. Denn grundsätzlich muss festgestellt werden, dass es an Dokumenten und Fundstücken aus der damaligen Zeit mangelt, die den Beginn mathematischen Denkens, wie wir es heute kennen und anwenden, belegen. Die immer noch am häufigsten vertretende Annahme, dass sich rund 4000 Jahre v. Chr. in Mesopotamien und 3000 Jahre v. Chr. in Babylonien und annähernd gleichzeitig auch in Ägypten erste mathematische Vorgehensweisen, die die Basis der heute weltweit anerkannten und praktizierten Mathematik sind, entwickelt haben, um beispielsweise den Bestand von Vieh, Land und Lohn zu erfassen, ist durch unterschiedliche Tontafeln und Papyrusrollen der einzelnen damaligen Kulturen bewiesen.

Die Sumerer in Mesopotamien interessierten sich bereits für Astronomie und konstruierten statisch korrekte Gewölbedecken in ihren Tempeln, während sich beispielsweise die Babylonier vornehmlich mit ebenerdigen geometrischen Zusammenhängen befassten, da diese beim Häuserbau und der Berechnung und Vermessung von Ackerland äußerst hilfreich und notwendig waren (vgl. www.mathematik.de/spudema/spudema_beitraege/stumpf/Wettbewerb_Spuren%20der %20Mathematik.html). Als eine der bekanntesten Errungenschaften ist in diesem Zusammenhang die von den Babylonier ca. 2000 v. Chr. verwendete Keilschrift, die mit unterschiedlich großen Holzkeilen in Tontafeln gedruckt wurde und mit der unter anderem geometrische Gesetzmäßigkeiten, wie der Volumenberechnung eines Kegelstumpfes, notiert werden konnten, die heute noch ihre Gültigkeit haben.

Auch die Ägypter gebrauchten Mathematik - hauptsächlich für das Vermessen von Land, da es in Nähe zum Nildelta entscheidend war, wo Ackerbau betrieben wurde und wo man das Land lieber brach liegen ließ. Bereits der griechische Historiker Herodot schrieb, „dass 'geometria' im alten Ägypten benutzt wurde, um nach der Überflutung des Nils die richtige Aufteilung des Landes zu finden“ (vgl. Hansen 2006, Kapitel 2.1). Andere weitaus berühmtere Beispiele ägyptischer Mathematik- und Messkenntnisse sind die Pyramiden. Vor allem die Cheopspyramide in Gizeh, die größte Steinpyramide der Welt, zeigt durch ihre Messgenauigkeit mit nur 0.01% Abweichung bei den Seitenlängen der quadratischen Basis mit 230 Metern, wie ausgereift die mathematischen Fertigkeiten der Ägypter waren (vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Cheops-Pyramide).

Nach Sumerern, Babyloniern und Ägyptern begannen ca. 600 v. Chr. auch die Griechen Überlegungen zu mathematischen Verhältnissen anzustellen und heute immer noch geltende Gesetzmäßigkeiten zu entdecken, wie beispielsweise den Goldenen Schnitt - ein Wert, der sich ergibt, wenn zwei Strecken so im Verhältnis zueinander stehen, dass sich die größere zur kleinen verhält, wie die Summe aus beiden zur größeren, und der heute in Architektur und Kunst als das ideale Proportionsverhältnis gilt. Die bedeutendsten Repräsentanten mögen wahrscheinlich Euklid, Thales und Pythagoras sein, deren Lehrsätze immer noch fester Bestandteil jeden Geometrieunterrichts sind. Außerdem waren es die Griechen, die als erste „nach [logischen] Erklärungen für natürliche Phänomene such[t]en“ (vgl. Hansen 2006, Kapitel 3).

Vom 9. Jahrhundert an bis weit ins 14. Jahrhundert n. Chr. waren neben den chinesischen und den indischen die arabischen Mathematiker führend in der Forschung und ebenso in der Entdeckung neuer Formeln. Die arabischen Mathematiker hatten einen wichtigen Anteil an Theorien zur Geometrie, Trigonometrie, Reihenlehre und in der Astronomie. Auch findet man hier den Ursprung des Wortes Algebra. „Das Wort al-jabr bedeutet im Arabischen soviel wie 'Wiederherstellen', hier [...], die Wiederherstellung des Gleichgewichts in einer Gleichung, indem man auf eine Seite einen Term stellt, der auf der anderen Seite entfernt wurde“ (vgl. Hansen 2006, Kapitel 4.2).

Warum sich die Europäer erst viele Jahre später mit mathematischen Belangen befassten, ist noch ungeklärt. Aber erst im 10. Jahrhundert n. Chr. wurde durch Gerbert von Aurillac und seines Entwurfs eines Abakus' das Interesse für Zahlen und Formen geweckt (vgl. Hansen 2006, Kapitel 4.3). Nach und nach hielten die mathematischen Werke unter anderem der Griechen, Hindus und Araber Einzug in die neu entstehenden Universitäten Europas und wurden von Gelehrten, wie Leonardo von Pisa, besser bekannt als Fibonacci, übersetzt und bearbeitet. Die nach ihm benannte Fibonaccifolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21..., eine aufeinander folgende Reihe nicht negativer Zahlen, bei der jede Zahl die Summe ihrer beiden Vorgänger ist, ist zum Beispiel in der Natur von Bedeutung, denn „[v]iele Pflanzen weisen in ihrem Bauplan Spiralen auf, deren Anzahl durch Fibonacci-Zahlen gegeben sind, wie [...] bei den Samen in Blütenständen“ (vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge).

Ab ca. 1600 aber waren die europäischen Wissenschaftler von der Bedeutsamkeit der Mathematik besonders im Zusammenhang mit der Erforschung von naturwissenschaftlichen Phänomenen überzeugt und explosionsartig überrollten die revolutionären Ideen und Hypothesen, wie von Kepler, Kopernikus, Galilei, Leibniz oder Newton den europäischen Kontinent.

Die wissenschaftliche Beschäftigung mit Geometrie, Algebra, Trigonometrie und anderen in dieser Zeit neu entstandenen Bereichen der Mathematik, so wie sie heute auch an Schulen und Universitäten gelehrt werden, konzentrierte sich nun über die Jahrhunderte vermehrt auf den europäischen und nordamerikanischen Raum, wobei die Mathematik als solche immer abstrakter wurde. Berühmte wissenschaftliche Vertreter waren unter anderem die Brüder Bernoulli, Leonhard Euler, dessen Erkenntnisse auf dem Gebiet der Infinitisimalrechnung heute noch von großer Bedeutung sind, Carl Friedrich Gauss und Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre.

Diese anfangs erwähnte eine Möglichkeit der historischen Einordnung der Mathematik, die sich doch hauptsächlich auf die mathematische Entwicklung im europäischen und dem Mittelmeerraum konzentriert und sehr eng verbunden ist mit konkretem Zahlengebrauch und einer mehr oder weniger abstrakten Vorstellung von Geometrie, beweist die „unbestreitbare kulturelle Dominanz des Westens“ (vgl. D'Ambrosio 2006, In: Spektrum der Wissenschaft, S.8). Denn weltweit beschränken sich die direkten mathematischen Anwendungen immer noch auf eben diese über Jahrhunderte entwickelten Methoden, die gegenwärtig in Europa und Amerika als die besten gelten und „es [wird] der Eindruck vermittelt [...], daß Europa das Zentrum der Entwicklung mathematischer Ideen gewesen [ist]“ (vgl. http://www.sub.uni- hamburg.de/opus/volltexte/1997/5/html/232(Ethnomathematik).html#Zurentwicklung).

1.1. Ethnomathematik

Entgegen dieser doch sehr historisch einseitigen, eurozentrischen Darstellung stellt sich seit den 70er Jahren der Fachbereich der Ethnomathematik. Als einer der Gründerväter dieser Fachrichtung erklärt Ubiratan D'Ambrosio, Ethnomathematik sei ein Gebiet, das sich mit Mathematiken befasst, „die sich in spezifischen natürlichen und kulturellen Kontexten entwickelt haben“ (vgl. D'Ambrosio 2006, In: Spektrum der Wissenschaft S.6). Denn so, wie es mehrere Religionen und mehrere Wertesysteme gäbe, könne es auch mehr als eine Art und Weise geben, die Realität zu erklären, zu verstehen und in ein System zu integrieren (vgl. ebd., S.9). Orientiert man sich an der Definition populärwissenschaftlicher Internetlexika, so untersuchen Ethnomathematiker grundsätzlich die Symbolisierung von Zahlen, Mengen und Verhältnissen, die Gliederung von Raum und Zeit oder andere auf mathematische Konzepte zurückführbare kognitive oder physische Praktiken wie Spiel, Tanz, Musik und rituelle Handlungen, in der Ordnung von Verwandtschafts- und Sozialbeziehungen, in Wirtschaft und Landwirtschaft, Handwerk, Kunst und Architektur (vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Ethnomathematik). Das Ziel dieser Forschung ist, „die mathematischen Kenntnisse und die Formen der Anwendung und der Vermittlung von Mathematik in spezifischen Bevölkerungsgruppen deutlich zu machen“ (vgl. http://www.sub.uni-hamburg.de/opus/volltexte/1997/5/html/232(Ethnom athematik).html#Zurentwicklung). Beispiele für die frühe Anwendung von Mathematik in anderen Kulturen als der westeuropäischen können die Quipus (Knotenschnüre der Inkas), Kolams (indische Muster), oder auch die Stickarbeiten der Ureinwohner Nordamerikas sein. Der Vielfältigkeit der möglichen zu untersuchenden, zum Teil Jahrhunderte lang praktizierten Mathematiken sind keine Grenzen gesetzt, denn Ethnomathematik repräsentiere, laut führenden Wissenschaftlern des Fachbereichs,

„[...] multiple examples or ways to produce mathematics as an explanation for the plurality and contextualization of this science“ (vgl. Oliveras 1999, S.89). Diese Wissenschaft sieht sich als Gegenentwurf zu dem Eurozentrismus der Industrieländer und ihrer dominierenden Auffassung von richtiger Mathematik und ihrer historischen Entwicklung.

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