Als sich Henri Lebesgue 1902 in seiner Doktorarbeit Gedanken über ein sinnvolles und praktisch einsetzbares Konzept eines Maßes machte, ahnte er nicht, welche Größe das Problem haben würde, an dem er sich versuchte. Er suchte nach einer Funktion, welche jeder Menge von reellen Zahlen einen rellen Wert zuordnete, den man das „Maß der Menge“ nennen konnte. Diese Funktion sollte positiv, abzählbar additiv und invariant unter längentreuen Abbildungen sein. Die Definition einer Maßfunktion mit diesen drei Eigenschaften, welche man als erwartbar ansah, schien auf den ersten Blick völlig natürlich und leicht durchführbar, stellte sich aber schon bald als schwere Aufgabe heraus, die vielleicht sogar unlösbar war. In dieser Arbeit wird die Frage nach der Lösbarkeit des Maßproblems behandelt. Neben dem historischen Kontext stehen dabei hauptsächlich die beiden Ergebnisse im Vordergrund, welche diese Frage beantworteten. Wie sich zwischen 1970 und 1984 entgegen den Erwartungen vieler Mathematiker zeigte, ist es nicht möglich, in ZF + DC die Lebesguemessbarkeit aller Teilmengen der reellen Zahlen zu fordern, ohne auch die Konsistenz von ZFC mit der Existenz einer unerreichbaren Kardinalzahl einzugestehen. Da jedoch diese Existenz nach den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen in ZFC nicht entscheidbar ist, bedeutet dies, dass man sich für die Existenz eines vollen Lebesguemaßes auf eine Theorie stützen muss, die echt stärker ist als die übliche Grundlage ZFC, nämlich ZFC + „Es existiert eine unerreichbare Kardinalzahl“.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung - Die Geschichte des Maßproblems
1.1 Die Begriffe Maß und Inhalt
1.2 Die negative Antwort auf die Frage des Maßproblems
1.3 Lösungen des Maßproblems
2 Die Lebesguemessbarkeit aller Mengen reeller Zahlen
2.1 Das Vorgehen im Beweis
2.2 Bekanntes der Forcingmethode
2.3 Das Modell
2.4 Schrittweise generische Erweiterung
2.5 Kodierung von Borelmengen
2.6 Die Rolle der Random Reals
2.7 ZF + DC + LM
3 Die Notwendigkeit einer unerreichbaren Kardinalzahl
3.1 Das Vorgehen im Beweis
3.2 Benötigtes Wissen über Bäume auf 2
3.3 Generische Bäume für Arme
3.4 Konstruktion des Forcing
3.5 ZF + DC + ¬LM
4 Thesen, Resümee und Anmerkungen
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Lösbarkeit des Maßproblems und untersucht, unter welchen theoretischen Voraussetzungen die Lebesguemessbarkeit aller Teilmengen der reellen Zahlen konsistent ist bzw. welche Bedingungen deren Nicht-Existenz implizieren.
- Historische Entwicklung und Grundbegriffe von Maß und Inhalt
- Die Forcingmethode zur Erzeugung konsistenter Modelle für das Lebesguemaß
- Die Rolle großer Kardinalzahlen bei der Existenz von Lebesguemaßen
- Die Bedeutung des Auswahlaxioms und dessen Alternativen
Auszug aus dem Buch
1.2 Die negative Antwort auf die Frage des Maßproblems
Schon kurze Zeit nachdem Herr Lebesgue das Maßproblem aufstellte, wurde es gelöst. Giuseppe Vitali bewies 1905, dass es, wenn die Benutzung des Auswahlaxioms zugelassen ist, also gewissermaßen mit den argumentativen Standards der Zeit, nicht möglich ist, eine Maßfunktion für alle Teilmengen reeller Zahlen A ⊆ R zu definieren, welche translationsinvariant, σ-additiv und positiv ist. Herr Vitali zeigte, dass ein vollständiges Repräsentantensystem der Äquivalenzrelation, unter welcher alle jene reellen Zahlen äquivalent sind, die sich durch Addition einer rationalen Zahl auseinander bilden lassen, eine nicht lebesguemessbare Menge sein musste.
Theorem 1.2.1 (Vitali, 1905). Es gibt eine Teilmenge G ⊆ R1, die nicht messbar ist bezüglich eines Maßes, welches den Bedingungen des Maßproblems genügt.
Sei ∼V die folgende Äquivalenzrelation: Es gelte für zwei reelle Zahlen r, s ∈ R: r ∼V s ⇔ ∃q ∈ Q (r = s + q). Es wird nun ein vollständiges Repräsentantensystem ausgewählt. Sei Ar = {s ∈ R : s ∼V r} die Äquivalenzklasse einer reellen Zahl r unter ∼V . Für s = r gilt As = Ar oder As ∩ Ar = ∅. Das ist leicht zu sehen, denn angenommen es sei t ∈ As ∩ Ar. Dann existiert für ein beliebiges Element s1 ∈ As eine rationale Zahl q1, so dass t = s1 + q1 ist, und gleichzeitig eine rationale Zahl q2, so dass t = r + q2 ist. Dann ist q = q2 − q1 ∈ Q und s1 = r + q, also liegt s1 in Ar und es gilt As ⊆ Ar. Umgekehrt funktioniert das Argument ebenso, daher sind die Äquivalenzklassen von s und r identisch. Wähle nun aus jedem Ar einen Repräsentanten α ∈ (0, 1/2) aus und benenne das vollständige Repräsentantensystem von ∼V als G := {α ∈ (0, 1/2) : ∃r ∈ R α ist Repräsentant der Menge Ar}.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung - Die Geschichte des Maßproblems: Historischer Überblick über die Entwicklung des Maßbegriffs von der Antike bis zu den ersten negativen Ergebnissen durch Vitali und Hausdorff sowie dem positiven Ergebnis durch Banach.
2 Die Lebesguemessbarkeit aller Mengen reeller Zahlen: Untersuchung des Modells von Solovay, das die Konsistenz der Lebesguemessbarkeit aller reellen Mengen in ZF + DC unter der Voraussetzung einer unerreichbaren Kardinalzahl zeigt.
3 Die Notwendigkeit einer unerreichbaren Kardinalzahl: Analyse der Umkehrung, die zeigt, dass die Lebesguemessbarkeit aller Mengen reeller Zahlen die Konsistenzstärke einer unerreichbaren Kardinalzahl erfordert.
4 Thesen, Resümee und Anmerkungen: Zusammenfassende Betrachtung der Ergebnisse und Einordnung der Bedeutung für die moderne Mengenlehre und Gruppentheorie.
Schlüsselwörter
Maßproblem, Lebesguemessbarkeit, Auswahlaxiom, Forcing, unerreichbare Kardinalzahl, ZF, ZFC, Solovay-Modell, Banach-Tarski-Paradox, Vitali-Menge, Random Reals, Borelmengen, Nullmenge, Mengenlehre, Kardinalzahlen
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Fragestellung, ob man jeder Teilmenge der reellen Zahlen ein sinnvolles „Maß“ (Volumen) zuordnen kann, ohne in Widersprüche zu geraten.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themen sind die Maßtheorie, die Grundlagen der Mengenlehre, die Rolle des Auswahlaxioms sowie die Konsistenzmodelle der Mengenlehre mittels Forcing.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Die Forschungsfrage ist, ob die Lebesguemessbarkeit aller Mengen reeller Zahlen mit den Standard-Axiomen der Mathematik (ZFC) vereinbar ist oder ob stärkere Annahmen wie die Existenz einer unerreichbaren Kardinalzahl benötigt werden.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden fortgeschrittene Methoden der Mengenlehre eingesetzt, insbesondere die Forcingtechnik zur Konstruktion von Modellen sowie die Untersuchung von Modellen mittels deskriptiver Mengenlehre.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Konstruktion von Modellen für die Lebesguemessbarkeit (Solovay) und den Beweis der notwendigen Konsistenzstärke dieser Aussage durch die Konstruktion nicht-messbarer Mengen (Shelah).
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit ist durch Begriffe wie Maßproblem, Lebesguemessbarkeit, Forcing, unerreichbare Kardinalzahl und Auswahlaxiom charakterisiert.
Warum spielt das Auswahlaxiom eine so zentrale Rolle?
Das Auswahlaxiom ermöglicht die Konstruktion "pathologischer" Mengen wie der Vitali-Menge, die zeigen, dass ohne Einschränkungen nicht alle Teilmengen messbar sein können.
Was bedeutet das Banach-Tarski-Paradox im Kontext der Arbeit?
Es dient als Beispiel für eine paradoxe Zerlegung von Mengen, die die Unmöglichkeit eines konsistenten Maßbegriffs für alle Mengen in höheren Dimensionen verdeutlicht.
- Quote paper
- Christof Fiedler (Author), 2008, Das Maßproblem, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/119405
