Numerische Bewertung von Optionen mit Hilfe der Methode der Endlichen Differenzen

Katholischen Universität Eichstätt-Ingolstadt
Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät
Lehrstuhl für Wirtschaftstheorie

Proseminar Wirtschaftstheorie: Theorie und Empirie internationaler Kapitalmärkte

Numerische Bewertung von Optionen mit Hilfe der Methode der Endlichen Differenzen

Steffen Büchner, Georgi Dimitrov

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung ... 1

2 Optionsarten ... 2

2.1 Europäische Optionen ... 3
2.2 Put-Call-Parität ... 4
    2.2.1 Einfluss von Dividendenzahlungen ... 4
2.3 Amerikanische Optionen ... 5
    2.3.1 Amerikanischer Call ... 5
    2.3.2 Amerikanischer Put ... 6
2.4 Sonstige Optionen ... 6
2.5 Einflussfaktoren des Optionspreises ... 7

3 Black-Scholes-Modell ... 7

3.1 Statistische Grundlagen ... 8
    3.1.1 Markov-Eigenschaft ... 8
    3.1.2 Wiener-Prozess ... 8
3.2 Itös Lemma ... 9
    3.2.1 Itö-Prozess ... 10
3.3 Herleitung der Black-Scholes-Gleichung ... 11
    3.3.1 Implizite Volatilität ... 12
    3.3.2 Dividendenzahlungen ... 12
    3.3.3 Explizite Formeln ... 13
3.4 Absicherungsgeschäfte ... 14
    3.4.1 Delta ... 14
    3.4.2 Theta ... 14
    3.4.3 Gamma ... 15
    3.4.4 Vega ... 15
    3.4.5 Rho ... 15
3.5 Kritik des Modells ... 15

4 Jump-Diffusion-Modelle ... 16

4.1 Jump-Diffusion-Modell nach Merton ... 16
4.2 Jump-Diffusion-Modell nach Kou ... 17

5 Varianz-Gamma-Modell ... 18

6 Finite Differenzen ... 20

6.1 Von der Black-Scholes-PDGL zur Diffusionsgleichung ... 21
    6.1.1 Approximation der Differenzquotienten erster Ordnung ... 22
    6.1.2 Approximation der Differenzquotienten zweiter Ordnung ... 23
6.2 Explizite Methode ... 24
6.3 Implizite Methode ... 24
6.4 Crank-Nicolson-Schema ... 26
6.5 Festlegung der Bedingungen für europäische Optionen ... 27

7 Implementation ... 28

7.1 Excel/VBA ... 29
7.2 Matlab ... 29

8 Fazit ... 30

A Anhang: Diagramme ... I

B Anhang: Beweis der Lognormalverteilung der Basiswertpreise ... II

C Anhang: Codes ... IV

1 Einleitung

Die Bewertung von Optionen ist aufgrund ihrer Relevanz für die Kapitalmärkte seit Anfang des letzten Jahrhunderts Gegenstand empirischer Kapitalmarktforschung gewesen. Über erste Formeln von Bachelier [1], [10] hin zu dem seit Anfang der 1970er Jahre populären Modell von Black, Merton und Scholes [2] ist aber die grundlegende Problematik weitgehend ähnlich geblieben: Der zufallsverteilte Wachstumsprozess des Underlyings muss entsprechend abgebildet und berechnet werden, um valide Optionspreise angeben zu können. Dabei ergeben sich bei analytischen Lösungen Probleme durch die Stetigkeit der Zeit und Randwertproblematiken. Auch die faire Preissetzung von Optionen ist für einen effizienten Kapitalmarkt äußerst wichtig. Diese Proseminar-Arbeit stellt die wichtigsten Optionsarten kurz vor, geht genauer auf das Black-Scholes-Modell, das Jump-Diffusion-Modell nach Merton und Kou und das Varianz Gamma-Modell ein und stellt die Methode der finiten Differenzen vor, um die Black-Scholes-Differentialgleichung numerisch zu lösen.
Hier ergeben sich aus den mathematischen Eigenschaften des Black-Scholes-Modells verschiedene Möglichkeiten, die Approximation der partiellen Differentialgleichung (PDGL) vorzunehmen. Neben der Option, die ursprüngliche PDGL direkt durch Differenzgleichungen zu lösen, werden wir auch noch die Umwandlung der PDGL in eine reine Diffusionsgleichung vornehmen, was das Potential, aber auch weitere Problematiken sowohl des Modells als auch der Methoden aufzeigt.

2 Optionsarten

Optionen sind an Finanzmärkten handelbare Rechte, deren Wert von dem Wert des Basiswerts abhängt. Diese Derivate lassen sich vom jeweiligen Optionshalter ausüben und werden üblicherweise vom vertraglichen Gegenpart in bar ausgeglichen. Da die Option nur ein Recht, nicht aber die Verpflichtung zur Lieferung enthält, wird sie rationalerweise nur ausgeübt, wenn ihr Wert größer 0 ist (Die Option ist dann `im Geld′). Optionen unterscheiden sich durch den Basiswert, von dem ihr Wert abgeleitet wird, dem Expirationszeitpunkt, nach dem sie wertlos verfallen, der Auszahlungsfunktion, die angibt, wie sich der Wert der Option zum Ausübungszeitpunkt entwickelt, sogenannte Calls oder Puts. Ein Call gibt dem Käufer das Recht, den Basiswert zum vorher festgelegten strike price (K) zum Zeitpunkt T zu kaufen, während ein Put das Recht beinhaltet, den Basiswert zum Strike zu verkaufen. Weiterhin kann man in der jeweiligen Optionsart eine Long- oder Short-Position haben, also eine Kaufposition oder eine Verkaufsposition. Die wichtigsten Optionen sind die `klassischen′ europäischen (auch als vanillas bezeichnet) und amerikanischen Optionen, die durch eine institutionalisierte Handelsplattform wie z.B. den Börsen Eurex, CBOT, Nymex hochliquide und -fungibel sind. Abseits dieser Großkontrakte hat sich aber z.B. an der Börse Stuttgart (Euwax) oder der Frankfurter Börse (scoach) ein reger Handel mit derivativen Produkten zwischen Emittenten und Privatanlegern gebildet. Für den Emittenten ergeben sich hierbei durch die einseitig vorteilhafte Strukturierung derivativer Produkte interessante Gewinnmöglichkeiten auf dem Sekundärmarkt. Dafür ist es aber unerlässlich, auf dem Primärmarkt faire Preise erzielen zu können.
Ein weiteres Unterscheidungsmerkmal ist der Zeitpunkt, zu dem eine Ausübung möglich ist.
Bei europäischen Optionen besteht diese Möglichkeit nur zum Ende der Laufzeit, amerikanische Optionen können zu beliebigen Zeitpunkten ausgeübt werden.

Folgend gelten bestimmte Annahmen:

1. Es gibt keine Transaktionskosten
2. Auf Netto-Profite aus Handelsgeschäften wird der gleiche Steuersatz erhoben
3. Kreditvergabe und -nahme sind zum risikofreien nominalen Zinssatz r möglich, der für alle Laufzeiten identisch ist
4. Alle Märkte sind arbitrage-frei, es sind also keine risikofreien Gewinne möglich
5. kontinuierliche Verzinsung mit nominalem Zinssatz r, so dass für den Betrag y gilt: [Formel nur in der Download-Version verfügbar]
6. Assets sind beliebig fein teilbar
7. Handel findet kontinuierlich statt
8. Leerverkäufe sind möglich

Je nach Konstellation werden wir diese Annahmen entschärfen beziehungsweise die Ergebnisse dahingehend kommentieren.

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