Die Bewertung von Optionen ist aufgrund ihrer Relevanz für die Kapitalmärkte seit Anfang
des letzten Jahrhunderts Gegenstand empirischer Kapitalmarktforschung gewesen. Über erste Formeln von Bachelier [1], [10] hin zu dem seit Anfang der 1970er Jahre populären Modell von Black, Merton und Scholes [2] ist aber die grundlegende Problematik weitgehend ähnlich geblieben: Der zufallsverteilte Wachstumsprozess des Underlyings muss entsprechend abgebildet und berechnet werden, um valide Optionspreise angeben zu können. Dabei ergeben sich bei analytischen Lösungen Probleme durch die Stetigkeit der Zeit und Randwertproblematiken.
Auch die faire Preissetzung von Optionen ist für einen effizienten Kapitalmarkt äußerst wichtig. Diese Proseminar-Arbeit stellt die wichtigsten Optionsarten kurz vor, geht genauer auf das Black-Scholes-Modell, das Jump-Diusion-Modell nach Merton und Kou und das Varianz Gamma-Modell ein und stellt die Methode der finiten Differenzen vor, um die Black-Scholes- Differentialgleichung numerisch zu lösen.
Hier ergeben sich aus den mathematischen Eigenschaften des Black-Scholes-Modells verschiedene Möglichkeiten, die Approximation der partiellen Differentialgleichung (PDGL) vorzunehmen.
Neben der Option, die ursprüngliche PDGL direkt durch Differenzgleichungen zu
lösen, werden wir auch noch die Umwandlung der PDGL in eine reine Diffusionsgleichung vornehmen, was das Potential, aber auch weitere Problematiken sowohl des Modells als auch der Methoden aufzeigt.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Optionsarten
2.1 Europäische Optionen
2.2 Put-Call-Parität
2.2.1 Einfluss von Dividendenzahlungen
2.3 Amerikanische Optionen
2.3.1 Amerikanischer Call
2.3.2 Amerikanischer Put
2.4 Sonstige Optionen
2.5 Einflussfaktoren des Optionspreises
3 Black-Scholes-Modell
3.1 Statistische Grundlagen
3.1.1 Markov-Eigenschaft
3.1.2 Wiener-Prozess
3.2 Itōs Lemma
3.2.1 Itō-Prozess
3.3 Herleitung der Black-Scholes-Gleichung
3.3.1 Implizite Volatilität
3.3.2 Dividendenzahlungen
3.3.3 Explizite Formeln
3.4 Absicherungsgeschäfte
3.4.1 Delta
3.4.2 Theta
3.4.3 Gamma
3.4.4 Vega
3.4.5 Rho
3.5 Kritik des Modells
4 Jump-Diffusion-Modelle
4.1 Jump-Diffusion-Modell nach Merton
4.2 Jump-Diffusion-Modell nach Kou
5 Varianz-Gamma-Modell
6 Finite Differenzen
6.1 Von der Black-Scholes-PDGL zur Diffusionsgleichung
6.1.1 Approximation der Differenzquotienten erster Ordnung
6.1.2 Approximation der Differenzquotienten zweiter Ordnung
6.2 Explizite Methode
6.3 Implizite Methode
6.4 Crank-Nicolson-Schema
6.5 Festlegung der Bedingungen für europäische Optionen
7 Implementation
7.1 Excel/VBA
7.2 Matlab
8 Fazit
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit untersucht die numerische Bewertung von Finanzoptionen, wobei der Schwerpunkt auf der Anwendung der Methode der finiten Differenzen (FDM) liegt. Die zentrale Forschungsfrage ist, wie die Black-Scholes-Differentialgleichung durch Diskretisierung numerisch gelöst werden kann, um eine effiziente und präzise Preisfindung für europäische und amerikanische Optionen zu ermöglichen.
- Theoretische Grundlagen und mathematische Herleitung des Black-Scholes-Modells
- Analyse alternativer Preisbildungsmodelle wie Jump-Diffusion und Varianz-Gamma
- Detaillierte Implementierung der Methode der finiten Differenzen (FDM)
- Vergleich numerischer Lösungsansätze (explizit, implizit, Crank-Nicolson)
Auszug aus dem Buch
3.2.1 Itō-Prozess
Die im allg. Wiener-Prozess (3.1) konstanten Faktoren a und b sind im Itō-Prozess Funktionen der Zeit und der Zufallsvariable x:
dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz
a(x, t) und b(x, t) sind also in T durchaus variabel und wachsen mit a(x, t)Δt und b(x, t)√Δt für eine Änderung der Zufallsvariable Δx. Angenommen wird weiterhin, dass Drift und Varianz im Intervall Δt konstant bleiben und sich erst wieder zu Beginn von Δt2 ändern können.
Die Faktoren a und b wollen wir im Folgenden durch μS und σS ersetzen, um die erwartete Veränderung von S sinnvoller darstellen zu können: Ein rationaler Anleger hat unabhängig von dem Preis des Basiswertes S0 eine gleichartige Erwartung bezüglich Rendite und Volatilität. Er erwartet also für ein Underlying mit dem Preis von 10€ den gleichen prozentualen Drift wie für ein Underying mit S = 100€. Es ist also sinnvoll, die Höhe des Drift und der Varianz proportional zum Wert des Underlyings zu notieren:
dS = μS dt + σS dz (3.2)
Diese geometrische Brownsche Bewegung lässt sich zeitdiskret auch so darstellen:
ΔS / S = μΔt + σ√Δt
Dabei gilt, dass dS normalverteilt ist:
dS / S ~ N(μΔt, σ√Δt)
Durch die Anwendung des Lemma kann der Itō-Prozess in eine Form überführt werden, in der die Funktion V (hier also der Prozess des Optionswertes) von x und t abhängig ist:
dV = (∂V/∂x a + ∂V/∂t + 1/2 ∂^2V/∂x^2 b^2) dt + b ∂V/∂x dz (3.3)
Integriert man (3.2) in (3.3), erhält man den Prozess, der V in Abhängigkeit von S und t darstellt:
dV = (∂V/∂S μS + ∂V/∂t + 1/2 ∂^2V/∂S^2 σ^2S^2) dt + ∂V/∂S σS dz (3.4)
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in die Relevanz der Optionsbewertung ein und stellt das Ziel der Arbeit sowie die zu untersuchenden Modelle vor.
2 Optionsarten: Hier werden die theoretischen Grundlagen und die wesentlichen Charakteristika verschiedener Optionsformen sowie die geltenden Marktannahmen definiert.
3 Black-Scholes-Modell: Dieses Kapitel erläutert die stochastischen Grundlagen, die Herleitung der Black-Scholes-Gleichung sowie die Bedeutung der Greeks und die Kritik am Modell.
4 Jump-Diffusion-Modelle: Hier wird der Fokus auf Modelle gelegt, die empirisch beobachtbare Phänomene wie 'fat tails' und Volatilitäts-Smile durch Sprungprozesse nach Merton und Kou integrieren.
5 Varianz-Gamma-Modell: Das Kapitel führt einen rein auf Sprüngen basierenden Prozess ein, der als Alternative zur Brownschen Bewegung für die Optionsbewertung dient.
6 Finite Differenzen: Dieser Abschnitt beschreibt die numerische Transformation der partiellen Differentialgleichung in Differenzengleichungen unter Verwendung verschiedener Schemata.
7 Implementation: Die praktische Umsetzung der theoretischen Modelle in Excel/VBA und Matlab wird hier dokumentiert und die Konvergenz der Ergebnisse analysiert.
8 Fazit: Das Fazit fasst die Eignung der Methode der finiten Differenzen als flexibles Verfahren für die Bewertung komplexer Derivate zusammen.
Schlüsselwörter
Optionsbewertung, Black-Scholes-Modell, Methode der finiten Differenzen, FDM, Jump-Diffusion, Varianz-Gamma, Itōs Lemma, Delta-Hedging, Numerische Approximation, Crank-Nicolson-Schema, Finanzderivate, Volatilitäts-Smile, Risikoneutrale Bewertung, Stochastische Prozesse, MATLAB
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die numerische Bewertung von Finanzoptionen unter Verwendung der Methode der finiten Differenzen als Lösungsansatz für die Black-Scholes-Differentialgleichung.
Welche zentralen Themenfelder werden abgedeckt?
Zentral sind die theoretische Modellierung von Optionspreisen, mathematische stochastische Prozesse, die Analyse von Marktanomalien mittels Jump-Diffusion-Modellen sowie die praktische numerische Programmierung.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, den mathematischen Rahmen für Optionsmodelle zu erläutern und aufzuzeigen, wie man diese mittels numerischer Verfahren effizient am Computer umsetzen kann.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es wird eine Kombination aus theoretischer Finanzmathematik, statistischer Analyse stochastischer Prozesse und numerischer Mathematik mittels finiter Differenzen (FDM) angewandt.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil widmet sich der Herleitung des Black-Scholes-Modells, der Diskussion erweiterter Modelle (Jump-Diffusion, Varianz-Gamma) und der detaillierten numerischen Diskretisierung der Preis-Zeit-Ebene.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Kernbegriffe sind Optionsbewertung, FDM, stochastische Prozesse, Black-Scholes und numerische Simulation.
Welche Vorteile bietet die Methode der finiten Differenzen laut dem Fazit?
Sie ist ein flexibles und leistungsfähiges Verfahren, das besonders bei komplexen Problemen mit mehr als zwei unabhängigen Variablen vorteilhaft ist und oft schneller als Monte-Carlo-Simulationen agiert.
Wie werden die theoretischen Modelle in der Arbeit validiert?
Die numerisch gewonnenen Ergebnisse aus der FDM-Implementierung in Matlab werden mit analytisch errechneten Werten aus dem Black-Scholes-Modell verglichen, um die Konvergenz und Genauigkeit zu verifizieren.
- Quote paper
- Steffen Büchner (Author), Georgi Dimitrov (Author), 2008, Numerische Bewertung von Optionen mit Hilfe der Methode der Endlichen Differenzen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/121827
