Numerische Bewertung von Optionen mit Hilfe der Methode der Endlichen Differenzen

Exposé Écrit pour un Séminaire / Cours , 2008 , 42 Pages , Note: 1,3

Gestion d'entreprise - Banque, Bourse, Assurance

Die Bewertung von Optionen ist aufgrund ihrer Relevanz für die Kapitalmärkte seit Anfang
des letzten Jahrhunderts Gegenstand empirischer Kapitalmarktforschung gewesen. Über erste Formeln von Bachelier [1], [10] hin zu dem seit Anfang der 1970er Jahre populären Modell von Black, Merton und Scholes [2] ist aber die grundlegende Problematik weitgehend ähnlich geblieben: Der zufallsverteilte Wachstumsprozess des Underlyings muss entsprechend abgebildet und berechnet werden, um valide Optionspreise angeben zu können. Dabei ergeben sich bei analytischen Lösungen Probleme durch die Stetigkeit der Zeit und Randwertproblematiken.
Auch die faire Preissetzung von Optionen ist für einen effizienten Kapitalmarkt äußerst wichtig. Diese Proseminar-Arbeit stellt die wichtigsten Optionsarten kurz vor, geht genauer auf das Black-Scholes-Modell, das Jump-Diusion-Modell nach Merton und Kou und das Varianz Gamma-Modell ein und stellt die Methode der finiten Differenzen vor, um die Black-Scholes- Differentialgleichung numerisch zu lösen.
Hier ergeben sich aus den mathematischen Eigenschaften des Black-Scholes-Modells verschiedene Möglichkeiten, die Approximation der partiellen Differentialgleichung (PDGL) vorzunehmen.
Neben der Option, die ursprüngliche PDGL direkt durch Differenzgleichungen zu
lösen, werden wir auch noch die Umwandlung der PDGL in eine reine Diffusionsgleichung vornehmen, was das Potential, aber auch weitere Problematiken sowohl des Modells als auch der Methoden aufzeigt.

Inhaltsverzeichnis

• 1 Einleitung
• 2 Optionsarten
  • 2.1 Europäische Optionen
  • 2.2 Put-Call-Parität
    • 2.2.1 Einfluss von Dividendenzahlungen
  • 2.3 Amerikanische Optionen
    • 2.3.1 Amerikanischer Call
    • 2.3.2 Amerikanischer Put
  • 2.4 Sonstige Optionen
  • 2.5 Einflussfaktoren des Optionspreises
• 3 Black-Scholes-Modell
  • 3.1 Statistische Grundlagen
    • 3.1.1 Markov-Eigenschaft
    • 3.1.2 Wiener-Prozess
  • 3.2 Itōs Lemma
    • 3.2.1 Itō-Prozess
  • 3.3 Herleitung der Black-Scholes-Gleichung
    • 3.3.1 Implizite Volatilität
    • 3.3.2 Dividendenzahlungen
    • 3.3.3 Explizite Formeln
  • 3.4 Absicherungsgeschäfte
    • 3.4.1 Delta
    • 3.4.2 Theta
    • 3.4.3 Gamma
    • 3.4.4 Vega
    • 3.4.5 Rho
  • 3.5 Kritik des Modells
• 4 Jump-Diffusion-Modelle
  • 4.1 Jump-Diffusion-Modell nach Merton
  • 4.2 Jump-Diffusion-Modell nach Kou
• 5 Varianz-Gamma-Modell
• 6 Finite Differenzen
  • 6.1 Von der Black-Scholes-PDGL zur Diffusionsgleichung.
    • 6.1.1 Approximation der Differenzquotienten erster Ordnung
    • 6.1.2 Approximation der Differenzquotienten zweiter Ordnung.
  • 6.2 Explizite Methode
  • 6.3 Implizite Methode
  • 6.4 Crank-Nicolson-Schema
  • 6.5 Festlegung der Bedingungen für europäische Optionen
• 7 Implementation
  • 7.1 Excel/VBA
  • 7.2 Matlab.
• 8 Fazit

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Proseminararbeit befasst sich mit der numerischen Bewertung von Optionen. Ziel ist es, verschiedene Modellierungsansätze und deren numerische Umsetzung zu untersuchen. Dabei wird insbesondere auf die Methode der finiten Differenzen eingegangen.

• Numerische Optionspreisbewertung
• Das Black-Scholes-Modell und dessen Erweiterung
• Jump-Diffusion-Modelle
• Methode der finiten Differenzen
• Anwendung in Excel und Matlab

Zusammenfassung der Kapitel

Kapitel 1 führt in die Thematik der Optionspreisbewertung ein und skizziert den methodischen Ansatz der Arbeit. Kapitel 2 beschreibt verschiedene Arten von Optionen. Kapitel 3 behandelt das Black-Scholes-Modell detailliert, inklusive statistischer Grundlagen und der Herleitung der Gleichung. Kapitel 4 befasst sich mit Jump-Diffusion-Modellen nach Merton und Kou. Kapitel 5 stellt das Varianz-Gamma-Modell vor. Kapitel 6 erklärt die Methode der finiten Differenzen zur numerischen Lösung der Black-Scholes-Gleichung, einschließlich expliziter, impliziter und Crank-Nicolson Verfahren. Kapitel 7 beschreibt die Implementierung in Excel und Matlab.

Schlüsselwörter

Optionspreisbewertung, Black-Scholes-Modell, Jump-Diffusion-Modelle, Varianz-Gamma-Modell, Finite Differenzen, Numerische Methoden, Optionen, Kapitalmärkte.

• Université: Catholic University Eichstätt-Ingolstadt (Lehrstuhl für Wirtschaftstheorie)
• Cours: Proseminar Wirtschaftstheorie: Theorie und Empirie internationaler Kapitalmärkte
• Note: 1,3
• Auteurs: Steffen Büchner (Auteur), Georgi Dimitrov (Auteur)
• Année de publication: 2008
• Pages: 42
• N° de catalogue: V121827
• ISBN (ebook): 9783640266289
• Langue: allemand
• mots-clé: Numerische, Bewertung, Wirtschaftstheorie, Kapitalmärkte, FDM, Optionspreistheorie, Black-Scholes, Implementation, Finite Differenzen