Die hyperbolische Geometrie - axiomatische Entwicklung und das Poincaré-Modell

Inhaltsverzeichnis

A. Umbruch des Verständnisses der Geometrie

B. Die hyperbolische Geometrie
I. Entwicklung der hyperbolischen Geometrie
^[s]+|[s]+$ 1. Euklids fünf Axiome
^[s]+|[s]+$ a) Problematik des 5. Axioms
b) Alternative 5. Axiome
2. Der Thibautsche Scheinbeweis
3. Entstehung der hyperbolischen Geometrie
II. Eigenschaften der hyperbolischen Geometrie
^[s]+|[s]+$ 1. Parallele Geraden
2. Flächeninhalt und Winkelsumme des Dreiecks
^[s]+|[s]+$ a) Entartete Dreiecke
b) Die direkten Abhängigkeit Fläche - Winkelsumme
^[s]+|[s]+$ 3. Absolute Längeneinheit
4. Hyperbolische Geometrie in der Realität
^[s]+|[s]+$ III. Das Poincaré-Modell
^[s]+|[s]+$ 1. Modelle in der Mathematik
2. Definition des Poincaré-Modells
3. Die Axiome im Modell
4. Untersuchung des Dreiends
5. Die Metrik des Modells

C. Schlussbemerkung über den Wert dieser Arbeit

D. Literaturverzeichnis
Anhang:
A1. Inversion am Kreis
A2. Beweis: Die Winkelsumme im Dreieck ist nicht größer als 180°

A. Umbruch des Verständnisses der Geometrie

Verfolgt man die Mathematik bis zu ihren Ursprüngen zurück, so lässt sich die Geometrie als die erste mathematische Disziplin erkennen. Die Realität lieferte durch Anschauung Erkenntnisse, welche die Wirklichkeit beschrieben, wie sie die Menschen ursprünglich empfanden. Die Mathematik sollte die Schönheit und Symmetrie der Natur wiederspiegeln. Erst ungelöste Problemstellungen der Geometrie resultierten in der Entwicklung weiterer mathematischer Disziplinen. Die Ergebnisse der antiken bzw. euklidischen Geometrie wurden jahrtausendelang als absolut anerkannt. Doch mit der Entwicklung der hyperbolischen beziehungsweise nicht-euklidischen Geometrie änderte sich dies. Gauß entdeckte zuerst, dass auch eine andere Art von Geometrie denkbar ist, die nicht auf Anschauung basiert, aber dennoch in sich schlüssig ist. Aus Angst um seinen Ruf entschied er sich gegen die Veröffentlichung seine Erkenntnisse. Erst Bolyai und Lobatschevski, die unabhängig voneinander fast zeitgleich die neue Geometrie entwickelten, machten ihre Arbeiten publik und lösten heftige Reaktionen aus. Selbst berühmte Lyriker beschäftigten sich mit diesem weltbildveränderten Thema. Folgender Dramenauszug ist aus Kurt Lasswitz Faustparodie(vgl. [7]):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tatsächlich ist die hyperbolische Geometrie unanschaulich, schwer zu verstehen und für den Philosophen mit einer Vielzahl unser Weltbild betreffenden Fragen verbunden. Das erste Kapitel dieser Arbeit soll deshalb dem Leser die Grundlagen und die Entwicklung dieser neuartigen Geometrie vermitteln, das Zweite auf dessen Eigenschaften eingehen und die philosophische Frage nach Realitätsbezug mathematisch klären und das Letzte soll anhand des Poincaré-Modells die zuvor erarbeiteten Erkenntnisse veranschaulichen und vertiefen.

B. Die hyperbolische Geometrie

I. Die Entwicklung der hyperbolischen Geometrie

Für das Verständnis der hyperbolischen Geometrie sind Kenntnisse über den Aufbau der - auch in der Schule gelehrten - euklidischen Geometrie unabdingbar.

300 v. Chr. verfasste Euklid sein berühmtes Werk „Elemente”. Soweit bekannt, war Euklid der Erste, der die Geometrie deduktiv aufbaute. Ausgehend von wenigen elementaren Aussagen entwickelte der Grieche immer komplexere Sätze, die aufeinander aufbauen. Die so entstehende Geometrie nennt man heute euklidische Geometrie.

1. Euklids fünf Axiome

Die gesamte Geometrie Euklids lässt sich also auf wenige elementare Aussagen zurückführen, die Axiome genannt werden. Diese kann man nicht mit anderen grundlegenden Tatsachen beweisen und sie müssen deshalb ihre Richtigkeit von selbst erkennen lassen. Die fünf Axiome von Euklid sollen wegen ihrer Wichtigkeit im Folgenden genannt werden (vgl. [4]):

1. Axiom:

Für jeden Punkt P und jeden Punkt Q gibt es genau eine Strecke, die P und Q verbindet.

2. Axiom: Eine begrenzte gerade Linie kann zusammenhängend gerade verlängert werden.

3. Axiom: Für jeden Punkt B und jeden Punkt A … B gibt es einen Kreis mit Mittelpunkt B und Radius r = AB.

4.Axiom: Alle rechten Winkel sind kongruent.

5. Axiom: Die Geraden g, h und k verlaufen in einer Ebene, wobei g und h von k geschnitten werden. Ist die Summe der zwei inneren Schnittwinkel kleiner als zwei rechte Winkel, so haben g und h einen Schnittpunkt auf dieser Seite von k.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: 5. Axiom α + β < 180°

Diese Axiome entsprechen nur sinngemäß denen Euklids, sind also des einfacheren Verständnisses wegen so umformuliert, dass die mathematische Aussage die gleiche bleibt. Ausgehend von den fünf Axiomen Euklids entsteht die euklidische Geometrie, die dem Leser wohlbekannt sein sollte, da sie in der Schule gelehrt wird und dem mathematisch weniger bewanderten Menschen nicht bewusst ist, dass es auch alternative Geometrien gibt.

a) Problematik des fünften Axioms

Das fünfte Axiom, welches auch Parallelenaxiom genannt wird, unterscheidet sich sowohl in Länge als auch in seiner unmittelbaren Einsichtigkeit deutlich von den anderen vier Axiomen und wurde deshalb immer gesondert betrachtet. So stützt bereits Euklid seine ersten 28 Sätze ausschließlich auf die ersten vier Axiome und beginnt erst dann das letzte Axiom in seine Beweise zu integrieren.(vgl. [6]) Dies lässt schließen, dass er, wie auch viele Mathematiker nach ihm, unzufrieden mit diesem Postulat war. Bis zur Entwicklung der hyperbolischen Geometrie scheiterten die größten Geister jahrhundertelang an der Aufgabe dieses Axiom zu ersetzen. Man ging davon aus, dass das fünfte Axiom aus den anderen vier hervorgehen würde, also selbst kein Axiom sondern ein Satz wäre. Doch alle Versuche, dies zu beweisen, mussten, wie wir heute wissen, scheitern.

b) Alternative 5. Axiome

Wie auch bei den anderen Axiomen ist zwar die mathematische Aussage des Parallelenaxioms eindeutig. Allerdings gibt es zahlreiche Alternativen, die gleichwertig sind. Einige dieser mathematisch äquivalenten Aussagen sollen nun dargestellt werden:

1. Alternative: Zu einer Geraden g und einen Punkt P gibt es nur genau eine Gerade h, die zu g parallel ist und P enthält.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3

Beweis: Gegeben seien der Punkt P und die Gerade g. Das Geradenbüschel durch P besteht aus unendlich vielen Geraden. Jede dieser Geraden lässt sich einem eindeutigen Schnittwinkel mit dem Lot durch P auf g zuordnen.

Ist dieser Schnittwinkel auf der zu g hingewandten Seite kleiner (größer) als 90°, so schneidet die Gerade des Geradenbüschels g auf dieser (der anderen) Seite des Lotes(5. Axiom). Ist der Schnittwinkel mit dem Lot ungleich 90°, so hat die Gerade einen Schnittpunkt mit g, ist also nicht parallel zu g. Daraus folgt, es gibt nur genau eine Gerade des Geradenbüschels, die parallel zu g ist, nämlich die, welche senkrecht auf dem Lot zu g steht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4

Abb. 5

Ähnlich kann man zeigen, dass die Forderung nach nur einer Parallelen das 5. Axiom Euklids zur Folge hat.

2. Alternative: Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°. Beweis: Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC.

Man bestimme die Parallele zu c durch C. Davon gibt es, wie oben bewiesen, genau eine. Die Winkel α, β und γ finden sich nun alle bei C wieder und ergeben zusammen 180°. Wechselwinkel ergeben sich unmittelbar aus dem 5. Axiom.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 6: Winkelsumme im Dreieck

Ebenso folgt aus der Forderung einer Winkelsumme von 180°, dass das Parallelenaxiom gilt. Die zwei hier vorgestellten Sätze der Innenwinkelsumme und der eindeutigen Parallelen sind also äquivalente Aussagen zu dem 5. Axiom Euklids.

2. Der Thibautsche Scheinbeweis

In der Geschichte der Geometrie gab es viele Versuche das sogenannte Parallelen- problem zu lösen. Zahlreiche Ansätze das Parallelenaxiom durch die ersten vier Axiome zu beweisen und es so zu einem Satz zu machen, wurden lange als richtig angesehen. Doch waren es immer versteckte Fehler, welche zunächst übersehen wurden. Einer dieser gescheiterten Versuche, der Thibautsche Scheinbeweis, wird nun dargestellt, um das axiomatische System weiter zu erläutern und die Wichtigkeit ordentlichen Arbeitens für dieses zu illustrieren (vgl. [1], S. 7,8):

Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC. Man nehme die Gerade AB und drehe sie um A bis sie auf AC fällt, also um den Winkel α. Nun drehe man die Gerade um C bis sie auf BC fällt, also um den Winkel γ. Anschließend dreht man noch um den Punkt B, mit Drehwinkel β, bis die Gerade wieder mit sich selbst in ihrer ursprünglichen Position AB zusammenfällt. Dann scheint offensichtlich, dass α + β + γ = 180° gilt , denn die drei Drehungen um die Punkte A, B und C entsprechen einer Drehung um 180° am Punkt A. So wäre bewiesen, dass die

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb.7: Der Thibautsche Scheinbeweis

Innenwinkelsumme im Dreieck 180° ist. Indirekt wäre also auch das Parallelenaxiom bewiesen und somit kein Axiom mehr, sondern ein Satz, da es sich aus den anderen Axiomen beweisen lässt. Doch bei genauerem Hinsehen stellen sich dem Mathematiker einige Probleme dieses Beweises dar. Dass er falsch sein muss, erkennt man zunächst an der Tatsache, dass man in dieser Weise auch in der Geometrie der Kugeloberfläche eine Winkel- summe von 180° voraussagen kann, obwohl dies offensichtlich nicht der Fall ist, da die Winkel- summe dort größer als 180° ist.

(Abb. 8 zeigt ein Gegenbeispiel auf der Kugel- oberfläche: Der Äquator wird von zwei Groß- kreisen geschnitten, welche im Nordpol senkrecht aufeinander stehen. Dieses Dreieck hat die Winkelsumme 3 x 90° …180°.)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 8: Kugelgeometrie

Betrachtet man den Sachverhalt auf der Kugeloberfläche genauer, so ist der Fehler leicht zu erkennen: Die Drehung zweier paralleler Geraden um verschiedene Dreh- zentren ist nicht gleichzusetzen. Deutlich wird dies aber nicht nur auf dem Modell der Kugeloberfläche, sondern auch bei genauerem Betrachten des abstrakten Beweises. Wie oben gesehen ist das Parallelenaxiom mit der Aussage äquivalent, dass es zu einer Geraden durch einen Punkt, welcher nicht auf der Geraden liegt, nur eine Parallele gibt (vgl. Kapitel I, b). Will man nun dieses Axiom beweisen, so darf man selbst- verständlich nicht annehmen, dass eine Aussage, hier die Eindeutigkeit der Parallelität, welche sich erst aus dem Axiom ergibt, wahr ist.

Wie wichtig ordentliches und fehlerfreies Arbeiten im axiomatischen Aufbau einer Geometrie ist, kann leider nicht durch absolut lückenlose Herleitungen gezeigt werden. Allerdings wurde hier deutlich, dass man die Zusammenhänge stets bis aufs Kleinste ausleuchten muss und niemals Tatsachen als gegeben oder offensichtlich annehmen darf, welche nicht ein Axiom sind oder aus diesen hervorgehen.

3. Entstehung der hyperbolischen Geometrie

Ein anderer Ansatz für das Parallelenproblem war der Versuch Geometrien, in denen das fünfte Axiom durch ein anderes ersetzt wird zu einem Widerspruch zu führen und so indirekt das Parallelenaxiom zu beweisen. So entstanden neben der euklidischen Geometrie zwei weitere Geometrien, die man nicht-euklidisch nennt. Sie haben die ersten vier Axiome mit denen der euklidischen gemein, wobei bei einer auf das 2. Axiom verzichtet werden muss. Sie besitzen allerdings beide ein anderes 5. Axiom. Hier sind zwei Alternativen, die Parallelität betreffend, denkbar:

1. Zu einer Geraden g gibt es keine parallele Gerade, welche durch einen Punkt P geht. ( P ó g)

Aus diesem Axiom lässt sich die sogenannte elliptische Geometrie entwickeln. Diese lässt sich, sofern man am 2. Axiom festhält zu einem Widerspruch führen. Das 2. Axiom besagt, dass eine Gerade unendlich lang ist. Dennoch ist die elliptische Geometrie in sich schlüssig und wiederspruchsfrei, wenn man das 2. Axiom weglässt. Ein Modell für diese Geometrie ist die Kugeloberfläche, wobei die Geraden durch Großkreise dargestellt werden (siehe Abb. 8).