Asiatische Optionen zählen zu den bekanntesten und meist verwendeten exotischen Optionen im Over-the-Counter Handel. Ihre erwartete Auszahlung hängt vom Mittelwert der Preise, die der Basiswert im betrachteten Zeitraum
realisiert hat, ab, daher werden sie in die Kategorie der pfadabhängigen Optionen eingeordnet. Der Mittelwert kann arithmetisch oder geometrisch gebildet werden, wobei die geometrische Bildungsweise in der Praxis den Ausnahmefall darstellt.
Der Name asiatische Optionen wurde diesen Derivaten von Mitarbeitern der Investmentbank Bankers Trust verliehen, die diesen Optionstyp zum ersten Mal handelten. Der Anwendungsbereich war die Absicherung von Wechselkursrisiken japanischer Firmen, die ihren Jahresabschluss auf Basis durchschnittlich realisierter Wechselkurse aufstellten. Damit ist bereits eines der wichtigsten Anwendungsgebiete asiatischer Optionen, die Absicherung von Wechselkursrisiken, genannt. Weitere Anwendungsmöglichkeiten sind unter Anderem die Absicherung durchschnittlicher Aktien- und Rohstoffpreise und die Sicherung eines bestimmten Zinsniveaus. Letzterer Verwendungsbereich wird in der Literatur nur relativ selten genannt.
Die vorliegende Arbeit konzentriert sich auf die Betrachtung asiatischer Optionen europäischen Typs. Da der eigentliche Absicherungszweck einer asiatischen Option bei Ausübung vor Fälligkeit verloren geht, wird auf die Betrachtung asiatischer Optionen amerikanischen Typs verzichtet. In Abschnitt 2 wird zunächst eine Einleitung in die Bewertung von Optionen gegeben, wobei die
Black-Scholes-Dierentialgleichung hergeleitet wird und die wichtigsten Eigenschaften des zugrundeliegenden Preisprozesses des Basiswertes definiert werden. Eine Erweiterung auf pfadabhängige Optionen erfolgt im Anschluss. Aus den Ergebnissen dieser Herleitungen, lässt sich zeigen, dass eine Bewertung von Optionen durch Diskontieren der erwarteten Optionsauszahlung mit dem risikolosen Zinssatz unter einem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß erfolgen kann. Eine detaillierte Einführung in asiatische Optionen erfolgt in Abschnitt 3.1. Es werden die Auszahlungsstrukturen asiatischer fixed und average strike Optionen definiert und auf die arithmetische und geometrische Mittelwertbildung eingegangen. Darauf folgt eine Darstellung der Hedging- und Anwendungsmöglichkeiten asiatischer Optionen. Die Put-Call-Paritäten für asiatische fixed und average strike Optionen werden in Abschnitt 3.3 hergeleitet.[...]
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Einführung in die Bewertung von Optionen
2.1. Die Black und Scholes Differentialgleichung
2.1.1. Preisprozess des betrachteten Basiswertes
2.1.2. Herleitung der Bewertungsgleichung
2.1.3. Pfadabhängige Optionen
2.2. Risikoneutrale Bewertung
2.2.1. Die geometrisch Brownsche Bewegung unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß
2.2.2. Risikoneutrale Bewertung anderer Assetgruppen
3. Asiatische Optionen
3.1. Einführung in die Funktionsweise asiatischer Optionen
3.1.1. Auszahlungsstruktur
3.1.2. Mittelwertbildung
3.2. Hedging und Anwendung asiatischer Optionen
3.2.1. Absicherung von Wechselkursrisiken mit asiatischen fixed strike Optionen
3.2.2. Kurssicherung durch asiatische average strike Optionen
3.3. Put-Call-Parität asiatischer Optionen
4. Bewertung asiatischer Optionen
4.1. Geometrische asiatische Optionen
4.1.1. Geometrische asiatische Optionen mit diskreter Mittelwertbildung
4.1.2. Kontinuierliche Mittelwertbildung
4.2. Arithmetische asiatische Optionen
4.2.1. Approximation durch logarithmische Normalverteilung
4.2.2. Geometric Conditioning
4.3. Äquivalenz von fixed und average strike Optionen
4.4. Monte-Carlo-Simulation
4.4.1. Monte-Carlo-Simulation - Vorgehensweise in Matlab
4.4.2. Resultate der Monte-Carlo-Simulation
5. Schlussbemerkungen
A. Mathematischer Anhang
A.1. Wichtige Theoreme
A.2. Zusammenfassung verwendeter Integralregeln
B. Anhang - Beispielberechnung von Abschnitt 3.2.1
C. Anhang - Partielle Differentialgleichung
D. Anhang - Herleitung zu den Bewertungsgleichungen
D.1. Asiatische fixed strike Call-Option mit diskreter, geometrischer Mittelwertbildung
D.2. Asiatische Optionen mit kontinuierlicher, geometrischer Mittelwertbildung
D.3. Asiatische Optionen mit arithmetischer Mittelwertbildung
D.3.1. Approximation durch Annahme der Log-Normalverteilung
D.3.2. Geometric Conditioning
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht die Bewertung asiatischer Optionen, deren Auszahlung vom Durchschnittspreis des Basiswertes über einen bestimmten Zeitraum abhängt. Das Hauptziel besteht darin, sowohl geschlossene Bewertungslösungen für geometrische Mittelwertoptionen als auch Approximationsverfahren für die in der Praxis relevanteren arithmetischen Mittelwertoptionen herzuleiten und zu vergleichen.
- Grundlagen der Optionsbewertung und der Black-Scholes-Differentialgleichung.
- Struktur und Funktionsweise asiatischer Optionen (fixed strike und average strike).
- Herleitung von Preisbeziehungen und Put-Call-Paritäten.
- Vergleich von Bewertungsansätzen (Approximationen versus Monte-Carlo-Simulation).
Auszug aus dem Buch
2.1. Die Black und Scholes Differentialgleichung
Das ursprüngliche Modell zur Bewertung von Optionen nach Fischer Black und Myron Scholes (Black-Scholes-Modell) stellt eine Bewertungsgleichung für Optionen dar, deren Wert nur von dem Preis einer dividendenlosen Aktie X und der Zeit t abhängt. Es ist möglich die Bewertungsgleichung durch zwei unterschiedliche Methoden herzuleiten. Zum Einen kann zur Bewertung eines Derivats ein Duplikationsportfolio, bestehend aus einem Bond und einer Aktie, aufgestellt werden. Zum Anderen wird ein Portfolio mit einer Aktien- und einer Optionsposition so gebildet, dass dieses risikolos wird. Der letztgenannte Weg wird weiter verfolgt.
Zur Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung werden die folgenden Annahmen getroffen:
1. Es existiert eine Anlage im Geldmarkt B(t), die mit dem risikolosen Zinssatz r, der konstant und identisch für alle Laufzeiten ist, verzinst wird. Die Wertänderung des Geldmarktkontos in einer infinitesimalen Zeiteinheit dt wird durch dB(t) = rB(t)dt beschrieben.
2. Risikolose Arbitragemöglichkeiten bestehen nicht.
3. Der Wertpapierhandel findet zu jedem Zeitpunkt t ∈ [0, T] statt und alle Wertpapiere sind beliebig oft teilbar.
4. Transaktionskosten, Steuern etc. werden nicht berücksichtigt.
5. Der Markt ist reibungslos.
6. Leerverkäufe von Wertpapieren sind möglich und unbeschränkt.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Diese Einleitung definiert asiatische Optionen als pfadabhängige Derivate und beschreibt deren Anwendungsgebiete, insbesondere zur Absicherung von Wechselkursrisiken.
2. Einführung in die Bewertung von Optionen: In diesem Kapitel werden die theoretischen Grundlagen für Standardoptionen, die Black-Scholes-Modellierung und die risikoneutrale Bewertung gelegt.
3. Asiatische Optionen: Dieses Kapitel erläutert die verschiedenen Auszahlungsstrukturen und Mittelwertbildungsarten asiatischer Optionen sowie deren Einsatzmöglichkeiten für Hedging-Strategien.
4. Bewertung asiatischer Optionen: Hier werden mathematische Methoden zur Bewertung geometrischer und arithmetischer Optionen sowie Monte-Carlo-Simulationen zur numerischen Analyse vorgestellt.
5. Schlussbemerkungen: Zusammenfassende Einschätzung der untersuchten Bewertungsverfahren und Ausblick auf die Relevanz der Approximationsmethoden in der Finanzpraxis.
Schlüsselwörter
Asiatische Optionen, Black-Scholes-Modell, Risikoneutrale Bewertung, Fixed Strike, Average Strike, Arithmetische Mittelwertbildung, Geometrische Mittelwertbildung, Pfadabhängigkeit, Monte-Carlo-Simulation, Hedging, Wechselkursrisiken, Finanzmathematik, Derivate, Finanzderivate, Optionspreisformel.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Bewertung und den Anwendungsfeldern von asiatischen Optionen, einer speziellen Kategorie von Derivaten.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die Herleitung von Preismodellen, der Umgang mit pfadabhängigen Variablen und der Vergleich von Approximationsmethoden für verschiedene Mittelwertbildungsarten.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Ziel ist es, die Möglichkeiten zur Bewertung asiatischer Optionen aufzuzeigen, wobei ein besonderer Schwerpunkt auf dem Vergleich zwischen theoretisch exakten Lösungen für geometrische Mittelwerte und numerischen Approximationen für arithmetische Mittelwerte liegt.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden finanzmathematische Methoden verwendet, insbesondere stochastische Prozesse, die Black-Scholes-Differentialgleichung, Girsanov-Theoreme sowie numerische Verfahren wie die Monte-Carlo-Simulation.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Fundierung (Black-Scholes), die Spezifikation asiatischer Optionen und die detaillierte mathematische Herleitung von Bewertungsgleichungen unter Berücksichtigung von Mittelwertbildungsprozessen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Asiatische Optionen, Finanzderivate, Risikoneutrale Bewertung, Monte-Carlo-Simulation, Pfadabhängigkeit und Hedging.
Welche Bedeutung hat das "Geometric Conditioning"?
Es ist ein effizientes Approximationsverfahren, das genutzt wird, um den Wert von Optionen mit arithmetischem Mittelwert unter Rückgriff auf die Eigenschaften geometrischer Mittelwerte präzise zu bestimmen.
Warum ist die Wahl der Bewertungsmethode für Exportunternehmen relevant?
Die Wahl ist entscheidend, da sie den Preis einer Absicherungsstrategie gegen Wechselkursrisiken maßgeblich beeinflusst, wobei asiatische Optionen häufig kostengünstiger sind als Standardoptionen.
- Citation du texte
- Alexander Lahmann (Auteur), 2008, Bewertung asiatischer Optionen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/123999
