Der Verhältnisaspekt der Bruchzahlen. Stoffanalyse und didaktische Fragestellungen

Inhaltsverzeichnis

I Einleitung
I.1 Die Legitimation der Bruchrechnung in der Schule
I.2 Die Voraussetzungen und Ergebnisse des gegenwärtigen Bruchrechenunterrichts

II Allgemeine didaktische Analyse des Bruchzahlbegriffs
II.1 Brüche im Alltag - Aspekte des Bruchzahlbegriffs
II.2 Größenbereiche und zugehörige Repräsentantenbereiche
II.3 Etablierte Konzepte zur Einführung des Bruchzahlbegriffs
II.3.1 Das Größenkonzept
II.3.2 Das Operatorkonzept
II.3.3 Das ‚Mischkonzept‘

III Der Verhältnisaspekt der Bruchzahlen
III.1 Über Verhältnisse
III.2 Der neue Kurs
III.2.1 Schritt 1: Vom Handeln mit Stäben zum Operieren mit Größen
III.2.2 Schritt 2: Verhältnisse von Längen
III.2.3 Schritt 3: Das Rechnen mit Brüchen
III.2.3.1 Die Multiplikation
III.2.3.2 Die Division
III.2.3.3 Die Addition und Subtraktion
III.2.4 Schritt 4: Von Symbolen zu Brüchen und Bruchzahlen

IV Ausblick

V Literaturverzeichnis

I Einleitung

Abbildung 1

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Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Geschichte der Auseinandersetzung der Menschen mit Verhältnissen und Proportionen ist uralt. Erste Proportionsstudien finden sich schon auf unvollendeten Reliefs im alten Ägypten, etwa im Grab des Königs Harem- hab im Tal der Könige (vgl. Abb. 1). Hier dienten sie vor allem als Mittel, die Wirklichkeit ‚verhältnisgetreu‘ auf einem Stück Felsen abzubilden. Später in der griechischen Antike, bei den Pythagoreern, erlangten Pro- portionen transzendente Bedeutung, nicht mehr im Stoff wird das Prinzip alles Seienden gesehen, sondern in der Form, repräsentiert durch Zahlen und vor allem durch Verhältnisse.¹ Ursache mag die für Pythagoras ge- radezu mystische Erfahrung gewesen sein, dass Akkorde angenehm klingen, „wenn die Saitenlängen oder die Frequenzen der Teiltöne im Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen“.²

Gut 2500 Jahre später bewertet der Begründer der modernen Physik, Werner Heisenberg, dieses Prinzip so:

Die pythagoreische Entdeckung gehört zu den stärksten Impulsen menschlicher Wissenschaft... wenn in einer musikalischen Harmonie... die mathematische Struk- tur als Wesenskern erkannt wird, so muß auch die sinnvolle Ordnung der uns um- gebenden Natur ihren Grund in dem mathematischen Kern der Naturgesetze haben.³

Letztlich waren also die in der Umwelt erkannten Verhältnisse und deren Untersuchung ein Initiator des immer weiter voranschreitenden Prozesses der ‚Mathematisierung‘ unserer Umwelt, für den man vor allem auch in Be- zug auf den Verhältnisbegriff im heutigen Alltag überall Indizien finden kann. Sei es bei einem Gewinnspiel, dessen ‚Gewinnverhältnis‘ 1 : 4 be- trägt, bei der Wahl des abendlichen Spielfilmformats, wo man bei moder- nen Fernsehgeräten zwischen den ‚Seitenverhältnissen‘ 4 : 3 oder 16 : 9 wählen kann, oder sei es beim Fußball, wo Italien Fußballweltmeister wurde, weil das ‚Torverhältnis‘ nach dem Spiel 6 : 4 für Italien betrug.

Aber wie ist es heute um die Kenntnisse über den ‚Wesenskern‘ dieser alltäglichen Verhältnisse bestellt? Immerhin hat sich seit Pythagoras die Mathematik erheblich weiterentwickelt und die pythagoreischen Verhältnisse natürlicher Zahlen haben sich in dem Begriff und der Struktur der positiven rationalen Zahlen niedergeschlagen, die nun in Form der Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen und Dezimalbrüchen schon seit einigen Generationen fester Bestandteil des Schulstoffs sind.

Leider muss man feststellen, dass es nicht gut um diese Kenntnisse be- stellt ist. Nicht nur, dass der altbewährte, so genannte ‚Verhältnisaspekt‘ der Bruchzahlen im Unterricht zu Gunsten anderer, vermeintlich einfache- rer ‚Aspekte‘ kaum mehr vorzufinden ist, so dass es selbst Abiturienten schwer fällt, die Frage zu beantworten, ob bei einem Gewinnverhältnis von 1 : 4 auf lange Sicht jeder vierte oder jeder fünfte Spieler gewinnt, die gesamte Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen wird auf Grund der technischen Entwicklung in Frage gestellt. So verkündete bereits vor knapp 30 Jahren, als die ersten erschwinglichen Taschenrechner auf den deutschen Markt kamen, der Berliner Mathematik-Didaktiker R.J.K. Sto- wasser in einem Pamphlet Wider die neuteut chen Bruchrechner das na- hende Ende der „numerischen BrR [Bruchrechnung, US] in der Schule“.⁴ Der deutsche Bruchrechenunterricht steckt, auch auf Grund mangelhafter Ergebnisse, in einer Legitimationskrise.

Ziel dieser Arbeit ist es, einen möglichen Ausweg aus dieser Krise aufzuzeigen, und zwar durch ein Plädoyer für eine Rückbesinnung der Didaktik der Bruchrechnung auf den Verhältnisaspekt der Bruchzahlen. Dies soll methodologisch folgendermaßen geschehen:

Schlägt man heute ein beliebiges, deutsches, mathematisches Unter- richtswerk für die sechste Jahrgangsstufe auf, etwa den L mb cher Schweizer 6 für das Gymnasium, so kann man feststellen, dass die Bruchrechnung immer noch der stoffliche Schwerpunkt des Mathematik- unterrichts dieser Jahrgangsstufe ist.⁵ Anscheinend gibt es hinreichend viele Gründe dafür, die Bruchrechnung auch im Computerzeitalter wei- terhin in dieser Breite in den Schulen zu unterrichten. Deshalb wird sich diese Arbeit zunächst in Kapitelabschnitt I.1 grundlegend mit der Frage beschäftigen, wie die ausführliche Behandlung der Bruchrechnung in der Sekundarstufe I legitimiert wird. Denn die Argumente für die Bruchrech- nung müssen zwangsläufig zu einer konkreten Liste mit Zielen führen, die der Bruchrechenunterricht in der Schule zu verfolgen hat und die somit auch bei den weiteren Überlegungen zum Verhältnisaspekt der Bruchzah- len nicht aus den Augen verloren werden sollen.

Nach dieser Sammlung von idealen Zielen soll in Kapitelabschnitt I.2 von einem Extrem ins andere gewechselt werden und ein Blick auf die Wirklichkeit in den deutschen Klassenzimmern geworfen werden. Beson- ders zu den Ergebnissen des Bruchrechenunterrichts gibt es eine Vielzahl von Studien, die typische Schülerfehler und Schülerkonzepte eruieren, aber auch ganz allgemein versuchen, die Entwicklung der Bruchvorstel- lung innerhalb eines Schuljahres oder einer Lernsequenz nachzuzeich- nen. Es kann schon vorweg genommen werden, dass die Ergebnisse des gegenwärtigen Bruchrechenunterrichts, gemessen an dem im vorherigen Kapitelabschnitt dargestellten Anspruch, höchst mangelhaft, wenn nicht gar desaströs sind. So kommt zum Beispiel eine breit angelegte empi- rische Studie zu dem Ergebnis, dass 70% der untersuchten Schüler zu Beginn des siebten Schuljahres mit Brüchen „überhaupt keine Vorstel- lung“⁶ im Sinne einer der unterrichteten Grundvorstellungen (Bruch als Mathematisches Unterrichtswerk für das Gymnasium. Ausgabe Nordrhein- Westfalen. Hrsg. von August Schmid und Ingo Weidig. 2. Aufl., Stuttgart 2004.] knapp 65% der Inhalte unter den Oberbegriff ‚Bruchrechnung‘ gefasst werden.

Teil eines Ganzen und Bruch als Teil mehrerer Ganzen) verbinden.⁷ Aus dieser Diagnose sollen in den folgenden Kapiteln die Konsequenzen gezogen werden.

Zunächst wird in Kapitelabschnitt II der Bruchzahlbegriff einer didak- tischen Analyse unterzogen werden. Hier ist zu untersuchen, welche all- täglichen Aspekte der Begriff in sich vereinigt und welche didaktischen Zu- gänge aus den einzelnen Aspekten abgeleitet werden können? Die Vor- und Nachteile der einzelnen Zugänge sollen gegeneinander abgewogen werden. Das Ergebnis wird sein, dass sich nur eine begrenzte Anzahl von Zugängen überhaupt in der Sekundarstufe I realisieren lassen, wovon einige zu den oben dargestellten mangelhaften Ergebnissen des Bruchre- chenunterrichts geführt haben. Nichts liegt näher, als sich auf den einzig verbleibenden und der historischen Begriffsgenese entsprechenden Verhältnisaspekt zu konzentrieren und diesen wieder in den Unterricht zu integrieren.

Wie dies geschehen kann, soll in Kapitel III dargestellt werden. Die um- fangreichen Untersuchungen in den Kapiteln I und II sollen die Grundlage für eine systematische Darstellung eines Bruchrechenlehrgangs mit besonderer Berücksichtigung des Verhältnisaspektes bilden, wie ihn Willi Dörfler in seinem Aufsatz Emergenz v n Brüchen und r ti n len Z hlen

u einem H ndlung y tem grob skizziert hat.⁸ Da jedoch das Wissen um Verhältnisse auch bei den Unterrichtenden nicht unbedingt vorausgesetzt werden kann, wird sich der Kapitelabschnitt III.1 zunächst allgemein mit Verhältnissen auseinandersetzen, bevor dann in Kapitelabschnitt III.2 der neue Kurs vorgestellt werden wird.

I.1 Die Legitimation der Bruchrechnung in der Schule

Wie bereits eingangs erwähnt, gibt es seit dem Aufkommen preisgünstiger und somit den Schülern zugänglicher Taschenrechner immer wieder Stimmen, die fordern, die Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen aus den Lehrplänen der Schulen zu streichen und sich stattdessen vertieft mit den für das alltägliche Leben vermeintlich relevanteren Dezimalbrüchen aus- einanderzusetzen. Friedhelm Padberg unterscheidet zwei Gruppen von Gegnern. Zum einen die Mitmenschen, die, wenn sie nach ihrer Meinung zur Notwendigkeit der Bruchrechnung in der Schule gefragt werden, meist antworteten, dass sie „im privaten wie beruflichen Leben bestens hne jegliche Bruchrechnung auskommen“.⁹ Zwar habe man es gelegentlich mit einfachen Brüchen wie etwa 1 1 2 2 , 4 oder 3 zu tun, ungemein häufiger je- doch mit Dezimalbrüchen, die „im Leben eine wichtige Rolle“¹⁰ spielten. Überhaupt sei es unverständlich, dass man sich für die rationalen Zahlen den „Luxus zweier völlig verschiedener Schreibwei en “¹¹ gönne. Die Bruchrechnung sei somit ein „Relikt aus längst vergangenen Tagen“.¹² Die andere Gruppe von Gegnern setze sich aus Kollegen Padbergs zu- sammen. Er zitiert vor allem Stowassers Pamphlet, das die Verdrängung des „ärgerliche[n] doppelzeilige[n] Zeichen[s]“ durch den Gebrauch von Taschenrechnern unvermeidlich nennt.¹³ Allein der so genannte ‚Traditionsgrund‘ könne diese Entwicklung noch eine Weile aufhalten. Denn die Bruchrechnung sei für die Lehrer ein „schon lange ‚praktikabler‘ Unterrichtsgegenstand mit ausgedehnten [...] Plantagen zurechtgemach- ter Aufgaben“.¹⁴

Auch Lothar Profke argumentiert auf Grund einer vermeintlich geringen Bedeutung von Brüchen im Alltag für eine Umgestaltung des Bruchre- chenunterrichts zugunsten der Dezimalbrüche und auf Kosten der ge- meinen Brüche.¹⁵ Er stellt die Frage, ob nicht „vielleicht auf das Rechnen mit gewöhnlichen Brüchen in der Schule verzichtet werden“¹⁶ könne. Die dezimale Bruchrechnung könne auch unabhängig von der gewöhnlichen eingeführt werden.¹⁷ Gemeine Brüche könnten nach der Einführung der Dezimalbrüche als Quotienten interpretiert werden und vom Taschenrech- ner in einen approximierenden, abbrechenden Dezimalbruch verwandelt werden. Mit diesem ließe sich dann „bequem rechnen“.¹⁸ Die Aufgabe

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] würde von den Schülern dann folgendermaßen gelöst.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] werden in die Quotienten 3÷4 und 2÷3 umgeschrieben und in den Ta- schenrechner eingegeben. Die Ergebnisse 0,75 und 0, 6 werden ge- rundet und das resultierende Produkt 0,750,67 ebenfalls mit dem Ta- schenrechner ausgerechnet 0,5025  und wiederum gerundet. Das Ergebnis ist 0,5. Dieses Beispiel verdeutlicht die überragende Bedeutung, die dem Taschenrechner als ‚Rechenhilfsmittel‘ in diesem Konzept ganz bewusst und absichtlich zukommt. Denn der Lehrer „möge vor allem an rechenschwächere Schüler denken“,¹⁹ die Lernzeit in der Schule sei knapp bemessen und sie müsse „für den Schüler sinnvoll und effektiv“²⁰ genutzt werden. Die Rechenverfahren seien nur noch beispielsweise an „einfachen Fällen“ zu vermitteln, den Rest übernehme der „von Anfang an“ zugelassene Taschenrechner.²¹ Die frei werdende Unterrichtszeit könne dann „den eigentlichen Zielen des Mathematikunterrichts“, jenseits des „Einschleifens von Rechenverfahren“, gewidmet werden, wie etwa „verlässliche Vorstellungen aufbauen, begriffliches Verständnis pflegen, algorithmisches Denken schulen, Fähigkeiten zum Anwenden von Mathe- matik entwickeln, heuristische Vorgehensweisen beim Problemlösen leh- ren“²² und so weiter.

Auch wenn die Argumente der Gegner der Behandlung von gemeinen Brüchen hier nur sehr knapp wiedergegeben wurden, so kann man doch die Hauptlinie ihrer Argumentation folgendermaßen zusammenfassen: Prämisse scheint zu sein, dass im Mathematikunterricht der Sekundar- stufe I nur Themen behandelt werden sollen, die unmittelbaren prak- tischen Nutzen im Alltag oder im Berufsleben entfalten. Da im Alltag und Berufsleben wenig oder gar nicht mit gemeinen Brüchen gerechnet wird, was übrigens auch unter Befürwortern der Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen unbestritten ist,²³ sondern nahezu ausschließlich mit Dezimalbrü- chen, was darüber hinaus heutzutage ein Taschenrechner wesentlich schneller und fehlerfreier erledigen kann, darf die Bruchrechnung kein Schwerpunktthema der Sekundarstufe I mehr sein. Anstelle spezieller Re- chenfertigkeiten soll sich auf die allgemeinen Ziele des Mathematikunter- richts konzentriert werden und zwar am besten anhand von Themen, de- ren praktischer Nutzen für jedermann evident ist.

Es kann leicht gezeigt werden, dass diese Argumentation auf einer falschen Prämisse beruht. Denn die gemeinen Brüche und vor allem die Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen sind mathematische Inhalte, die zwar keinen unmittelbaren praktischen Wert im Alltag oder Berufsleben haben, aber wegen ihrer hervorragenden Bedeutung auf dem Gebiet ma- thematischer Begriffsbildung, welche ja auch von Profke als wichtiges Ziel des Mathematikunterrichts genannt wurde, kaum umgangen werden können. Vor allem sind die gemeinen Brüche aber auch wegen ihres mit- telbaren Wertes für zahlreiche andere mathematische Inhalte, die unbe- stritten praktischen Wert im späteren Leben haben, für die Sekundarstufe I unverzichtbar.

Zunächst sollen nachfolgend Überlegungen zur Notwendigkeit der Bruch- rechnung mit gemeinen Brüchen im Kontext mathematischer Begriffs- und Theoriebildung angestellt werden. Die Bewusstmachung und Reflexion dieser Prozesse gehört unbestritten zu den zentralen Zielen des Mathematikunterrichts. So sind beispielsweise in dem aktuellen Kernlehrplan des Landes Nordrhein-Westfalen für das Fach Mathematik in der Sekundarstufe I an Gymnasien eingangs folgende Hauptziele des Mathematikunterrichts formuliert: Die Schüler sollen unter anderem

- Erscheinungen aus Natur, Gesellschaft und Kultur mit Hilfe der Mathematik wahrnehmen und verstehen (M them tik l Anwendung)
- mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen und Bildern, als geistige Schöpfungen verstehen und weiterentwickeln (M them tik l Struktur).²⁴

Was hat dies mit mathematischer Theoriebildung zu tun? Die erste Forderung legt nahe, neue mathematische Begriffe, etwa den Bruch- zahlbegriff, aus Problemen oder Erscheinungen des Alltags heraus zu fundieren. Die zweite Forderung beinhaltet das Ziel, dass nach dem abge- schlossenen Prozess der Theoriebildung den Schülern die Ergebnisse als geistige Schöpfungen, als Ergebnisse eines Prozesses der Abstraktion und Idealisierung, bewusst sind und dass sie prinzipiell in der Lage sind, diesen Prozess fortzuführen. Im Grunde heißt dies, dass im Idealfall bei der Entwicklung eines mathematischen Inhalts, wie etwa den positiven ra- tionalen Zahlen, alle semantischen Ebenen des mathematischen Diskurses nach Ulrich Schoenwaelder nacheinander durchlaufen werden und der Übergang von einer Ebene auf die nächste mit den Schülern the- matisiert wird.²⁵ Zunächst muss sich ausgiebig mit einer „realen Aus- gangssituation in der Sprache des Alltags“²⁶ auseinandergesetzt werden (1. Diskursebene), bevor dann behutsam die neuen Begriffe entwickelt werden und man anschließend auf der so genannten „propädeutischen Ebene mit abstrakten Begriffen zu realen Situationen, aber rein inhaltli- cher Argumentation“,²⁷ Aussagen über die Ausgangssituation mit den neu- en Begriffen formuliert (2. Diskursebene). Diese Aussagen bilden das Fundament für die höchste in der Sekundarstufe I anzustrebende Diskursebene, die „Ebene des lokalen Schließens mit abstrakten Begrif- fen“²⁸ (3. Diskursebene). Auf dieser Ebene besteht zwar die Bindung an die reale Ausgangssituation fort, neue Aussagen werden aber rein deduk- tiv aus anderen vorher aus der Anschauung heraus gewonnenen Aus- sagen abgeleitet. Erst auf dieser Ebene kann die zweite im Kernlehrplan formulierte Forderung verwirklicht werden und Mathematik im Ansatz von Schülern als Struktur begriffen werden. Die vierte semantische Diskursebene, „die axiomatische Ebene mit (mehreren) Beispielen auf der dritten Ebene“,²⁹ kann in der Schule höchstens in der Oberstufe erreicht werden.

Führt man nun, um wieder auf die Bruchrechnung zurückzukommen, die positiven rationalen Zahlen direkt als Dezimalbrüche ein, ohne vorherige Behandlung gemeiner Brüche, so stellt man den oben beschriebenen Pro- zess vom Kopf auf die Füße und steht vor einer Reihe schwerwiegender didaktischer Probleme, die auch Padberg in seinem Aufsatz beschreibt.³⁰ Gemeine Brüche könnten auf unterschiedliche Art und Weise durch die Schüler handelnd hergestellt werden und somit könne mit den Handlungs- ergebnissen, den Brüchen, eine konkrete Vorstellung verbunden werden.³¹ Später werde diese Vorstellung auf die Dezimalbrüche über- tragen, indem die Schüler sie als „elegante Schreibweise für Brüche spe- ziell mit Zehnerpotenzen als Nenner kennen lernen“.³² Was sollen sich Schüler jedoch ohne vorherige Behandlung von gemeinen Brüchen unter Zahlen wie 0, 3 vorstellen? Auch biete der Weg der Einführung der De- zimalbrüche über die gemeinen Brüche die Möglichkeit, die Rechenarten und Rechengesetze aus der Anschauung heraus zu motivieren und zu le- gitimieren.³³ Dass diese dann auch für die Dezimalbrüche gelten, ist leicht einzusehen. Beginne man dagegen mit den Dezimalbrüchen, stehe man vor dem Problem, dass „viele Bruchzahlen bei den Rechenoperationen weithin ausgeblendet werden müssen“.³⁴ Zum einen sind dies natürlich die Dezimalbrüche mit periodischer Darstellung, zum anderen muss aber schon bei dem Entwurf von Aufgaben darauf geachtet werden, dass nicht ein ‚Zwischenergebnis‘ eine periodische Darstellung besitzt. Schon bei der Division einfacher endlicher Dezimalbrüche wie 0,2÷0,3 besitzt das Ergebnis keine endliche Darstellung. Ein Weiterrechnen ohne Runden ist dann nicht möglich.

Des Weiteren, so führt Padberg aus, sind auch unter dem Aspekt der Zahlbereichserweiterung von den natürlichen Zahlen zu den positiven ra- tionalen Zahlen die gemeinen Brüche unverzichtbar.³⁵ Auch wenn es in der Sekundarstufe I kaum sinnvoll ist, zu explizieren, dass ℚ ,  eine kommutative Gruppe ist, so ist es doch sicher notwendig, einzelne wesentliche Eigenschaften des neu gelernten Zahlbereichs für das lokale Ordnen auf der dritten Diskursebene zu formulieren und auch zu be- weisen. Aber schon die Frage, welche Zahlen denn nun eigentlich zu dem neuen Zahlbereich gehören und welche nicht, würde, vor allem bei Zahlen in nichtabbrechender Dezimalschreibweise, ohne gemeine Brüche „erhebliche Schwierigkeiten bereiten“.³⁶ Aber auch elementare Eigen- schaften wie die Abgeschlossenheit gegenüber der Multiplikation und Di- vision oder die so genannte Inverseneigenschaft seien ohne die gemeine Bruchschreibweise in der Schule nicht altersgerecht zu beweisen. Mit ge- meinen Brüchen seien diese Beweise dagegen selbst in der sechsten Klasse trivial. Die erste Eigenschaft folge dann unmittelbar aus der Defini- tion der Rechenoperationen, die zweite könne leicht durch die Konstrukti- on des so genannten Kehrbruchs bewiesen werden. Auch Kommutativ-, Assoziativ- und die Distributivgesetze ließen sich mit gemeinen Brüchen durch Rückgriff auf diese Eigenschaften bei den natürlichen Zahlen unter impliziter Verwendung des Permanenzprinzips schon in der Orientierungs- stufe leicht beweisen, wenn man diese Eigenschaften nicht irgendwie anders aus der Anschauung heraus gewinne beziehungsweise ableite.³⁷

So viel zu der Notwendigkeit der gemeinen Brüche im Kontext der Be- griffs- und Theoriebildung. Im Folgenden sollen exemplarisch einige der mathematischen Sachgebiete aufgezählt werden, bei denen die oben be- schriebene, mittelbare Notwendigkeit der Bruchrechnung für den Schul- unterricht klar wird. Zunächst die Gebiete, die schon Padberg in seinem Aufsatz³⁸ aufzählt: die Wahrscheinlichkeitsrechnung, die Gleichungslehre und der Algebraunterricht.

Padberg zufolge kann auf die wesentlich höhere „Anschaulichkeit und Prägnanz“³⁹ der gemeinen Brüche gegenüber den Dezimalbrüchen vor allem auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht verzichtet werden. Anhand eines Beispiels zeigt er, dass bei der Verwendung des Urnenmodells auf den Begriff des gemeinen Bruchs als Mittel der Beschreibung des Teils eines Ganzen⁴⁰ zurückgegriffen werden müsse, um die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer bestimmten Farbe aus der Urne plausibel zu machen. Auch die das mehrfache Ziehen einer Kugel veranschaulichenden, so genannten Baumdiagramme verlören bei Be- zeichnung der Äste mit Dezimalbrüchen, „etwa 0, 571428 statt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Sinn.⁴¹ Hinzu kommt, dass die bei dem Rechnen mit Dezimalbrüchen zwangsläufig entstehenden Rundungsfehler wohl häufig die Konsequenz haben werden, dass die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen nicht gleich eins ist, was das Verständnis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs zusätzlich erschwert.

Aber auch auf dem Gebiet der Gleichungslehre ist die klassische Bruch- rechnung nicht zu umgehen.⁴² Denn die Lösungen selbst einfachster Glei-chungen mit ganzzahligen Koeffizienten wie etwa [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] werden als Dezimalbruch höchst unhandlich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und spätes- tens bei dem Versuch einer rechnerischen Probe, in der dann zu zeigen wäre, dass 70, 285714=2 ist, muss der Schüler aufgeben. Bei kom- plizierteren Gleichungen oder Gleichungssystemen wäre es unumgäng- lich, schon bei den Umformungsschritten zu runden, was ebenfalls problematisch ist, da dann die einzelnen Umformungen nicht mehr äquivalent wären und sich die Lösungsmenge ändern würde.

Zuletzt hebt Padberg die Bedeutung der Bruchrechnung als „ V r u - etzung für einen erfolgreichen Algebraunterricht“ hervor, „der auf Ein icht in die Rechenregeln basiert“.⁴³ Sämtliche Operationen mit den Bruch- termen des Algebraunterrichts werden im Bruchrechenunterricht fundiert. Verzichtet man auf das Rechnen mit gemeinen Brüchen, muss man spä- testens im Algebraunterricht trotzdem sämtliche Operationen einführen, wobei dies dann auf Grund des fortgeschrittenen Abstraktionsgrades nur durch formale Definition, ohne einen Rückgriff auf die Anschauung ge- schehen kann. Deshalb sei auf diese unnötige „Häufung von Schwierigkei- ten“ zu verzichten und mache es, vor allem auch vor dem Hintergrund der „Idee der Curriculumspirale“, keinen Sinn, die Bruchrechnung in den Alge- braunterricht zu integrieren.⁴⁴

Mit diesem Sachgebiet endet Padbergs Liste. Es ist sehr auffällig und für die gegenwärtige Didaktik der Bruchrechnung symptomatisch, dass Pad- berg nur mathematische Stoffe aufzählt, in denen der Verhältnisaspekt der Bruchzahlen kaum eine Rolle spielt. Es soll im Folgenden zumindest ein notwendig ist: die Geometrie, genauer, die Ähnlichkeitsgeometrie. Dort werden Bruchgleichungen als Verhältnisgleichungen interpretiert und um- gekehrt. Beispielsweise beim ersten Strahlensatz:

Werden zwei von einem gemeinsamen Scheitel S ausgehende Strahlen von zwei Parallelen p1,p2 geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf einem der Strahlen [vgl. Abb. 2a)] wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl: [...]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Strahlensätze

Die Strahlensätze gelten auch, wenn der Scheitel S zwischen den Parallelen liegt [vgl. Abb. 2b)].⁴⁵

Dieses Sachgebiet zeigt besonders prägnant, dass es keineswegs aus- reicht, gemeine Brüche nur als Quotienten, also als Ergebnisse von Di- visionsaufgaben, zu interpretieren, wie es einige Gegner der Bruchrech- nung fordern. Aber auch bei Behandlung gemeiner Brüche in der Schule muss jede andere Form der Veranschaulichung, etwa als Teil eines Ganzen oder als Operator, in der Ähnlichkeitsgeometrie zwangsläufig zu einem fundamentalen Fehlverständnis führen.⁴⁶ Denn es kann zwar in Ab- bildung 2a) das Verhältnis [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] noch als Ergebnis einer Aufteilung der [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Strecke [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gedeutet werden, in Abbildung 2b) ist dies jedoch nicht mehr möglich. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] liegt schließlich außerhalb der Strecke[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] . Hier geht es vielmehr um die Idee, Größen zueinander ins Verhältnis zu setzen, als um einen Prozess des Aufteilens. Schüler müssen somit von Beginn an in der Lage sein, gemeine Brüche als Verhältnisse zu deuten. Soweit zu der Debatte über die Behandlung gemeiner Brüche in der Se- kundarstufe I. Aus den Argumenten für eine Behandlung soll ab- schließend eine Liste mit konkreten Zielen zusammengefasst beziehungs- weise abgeleitet werden, die ein Kurs zur Einführung der positiven rationalen Zahlen unbedingt verwirklichen muss, um den mit ihm ver- bundenen Aufwand an Unterrichtszeit zu rechtfertigen.

(1) Zweifelsfrei muss das Hauptziel des Kurses sein, für die Schüler „erlebbar [zu] machen, wie mathematische Wissensbildung ge- schieht“.⁴⁷ Die Schüler müssen die Gelegenheit dazu bekommen, sich auf jeder der ersten drei Diskursebenen ausführlich und gründ- lich mit den positiven rationalen Zahlen auseinanderzusetzen. Der Wechsel von einer Diskursebene auf eine andere muss vom Lehrer thematisiert werden. Wie oben erläutert, ist ein solcher Weg nur über die Darstellung der rationalen Zahlen als Brüche sinnvoll.
(2) Außerdem sollen die Schüler im Ergebnis die positiven rationalen Zahlen als abstrakte, ideale und vom Menschen geschaffene Kon- strukte begreifen, die bei verschiedenen Problemstellungen jeweils flexibel interpretiert und angewendet werden können. Viele dieser sowohl inner- als auch außermathematischen Pro- blemstellungen erfordern jedoch, wie oben exemplifiziert, eine Dar- stellung der rationalen Zahlen als Brüche.
(3) Nicht zuletzt die Gleichungslehre und später der Algebraunterricht erfordern ein sicheres und fehlerfreies Rechnen mit gemeinen Brü- chen.

I.2 Die Voraussetzungen und Ergebnisse des gegenwärtigen Bruchrechenunterrichts

Bevor Überlegungen angestellt werden können, wie der Bruchrechenun- terricht verbessert werden kann, muss man zunächst die Ziele eines sol- chen Kurses reflektieren, wie es im vorherigen Kapitelabschnitt ge- schehen ist, und anschließend die Erfahrungen des gegenwärtigen Unterrichts sammeln. Es wäre töricht, keine Konsequenzen aus den be- reits bekannten Fehlern der Vergangenheit zu ziehen. Dies soll in diesem Kapitelabschnitt geschehen. Interessant sind vor allem Ergebnisse empi- rischer Studien, die zum einen das Vorwissen der Schüler in Bezug auf Bruchzahlen zu Beginn des sechsten Schuljahres untersucht haben, weil jeder Kurs zwangsläufig auf diesem aufbauen muss, und zum anderen Studien, die einige Zeit nach Behandlung der Bruchrechnung, etwa in der siebten Klasse, die Ergebnisse des Bruchrechenunterrichts in Bezug auf die oben abgeleiteten Ziele getestet haben. Die Untersuchungsmethoden der einzelnen Studien sollen hier nicht im Detail wiedergegeben werden, sondern nur die wesentlichen Ergebnisse sowie die Schlussfolgerungen der jeweiligen Autoren. Zunächst werden Ergebnisse von Studien zu- sammengefasst, die das Vorwissen untersucht haben, anschließend Stu- dien, die die Schülerkonzepte von den Bruchzahlen, also die Ergebnisse des Begriffsbildungsprozesses, sowie häufig auftretende Fehler bei der Durchführung der Rechenoperationen analysieren.

Zunächst zu dem Vorwissen, das Sechstklässler mit in den Bruchrechen- unterricht bringen. Hier kommt Friedhelm Padberg im Rahmen einer 2001 veröffentlichten Längsschnittuntersuchung an 157 Realschülern⁴⁸ zu folgenden Ergebnissen. Die „überwiegende Zahl der untersuchten Schü- ler“ bringen nur „allererste Ansätze“ eines allgemeinen Bruchzahlbegriffs mit in die 6. Klasse. Zwar können die meisten Schüler gemeine Brüche schon korrekt lesen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] 8 = ‚ein Achtel‘), sie verbinden jedoch mit diesen Ausdrücken, seien es Stammbrüche oder nicht, keine konkreten Größen

oder sonstige Vorstellungen.⁴⁹ Eine Aus-

nahme stellen Zeitspannen dar, die im Alltag häufig vorkommen, etwa eine Viertelstunde, eine halbe Stunde oder eine Dreiviertelstunde. Padberg kommt vor allem in Bezug auf den Verhältnisa- spekt der Bruchzahlen zu einem interessanten Ergebnis. Viele der unter- suchten Schüler neigten offenbar intuitiv dazu, bei so genannten „Kringel- aufgaben“ (etwa wie Abb. 3a)) oder „Streifenaufgaben“ (etwa wie Abb. 3b)) die Anzahl der markierten und nichtmarkierten Kringel bzw. Felder zueinander ins Verhältnis zu setzen.⁵⁰ Es wird also „häufig“ den Bildern aus Abbildung 3 der Bruch 3 zugeordnet. Padberg gibt zwar zu, dass diese Idee „keineswegs abwegig“ sei, nennt sie jedoch trotzdem falsch und tauft sie den „ Teil-zu-Teil-Fehler “. Dieses Verhalten zeige, dass „die oft benutzten Veranschaulichungsmittel [...] keineswegs ‚selbstredend‘ [seien], sondern [...] zunächst im Unterricht thematisiert werden“⁵¹ müss- ten. Mit anderen Worten, die Schüler sollen davon überzeugt werden, dass ihr anscheinend aus dem Alltag erworbenes Vorverständnis falsch ist, damit der Lehrer die oben dargestellte Symbolik zur ‚Veranschauli- chung‘ seines favorisierten Bruchzahlaspekts als Teil eines/mehrerer Ganzen verwenden kann. Dabei kann auf dieses nahe liegende Vorver- ständnis ohne Probleme aufgebaut werden, wie in Kapitel III ausführlich dargestellt werden wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3

Insgesamt schlägt Padberg vor, folgende Konsequenzen aus seinen Un- tersuchungsergebnissen zu ziehen: Um die Vorkenntnisse der Schüler in Bezug auf den Bruchzahlbegriff einschätzen zu können, sei vor der Ein- führung ein von ihm entwickelter Test hilfreich.⁵² Außerdem rät Padberg dringend dazu, „lange Zeit auf einer anschaulichen Ebene zu arbeiten“.⁵³

[...]

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¹ Vgl. Johannes Hirschberger: Geschichte der Philosophie. Band I: Altertum und Mittelalter. 3. Aufl., Freiburg 1957, S. 24ff.

² Helmut Vogel: Gerthsen Physik. 20.,aktualisierte Aufl., Berlin 1999, S. 191.

³ Zitiert nach Hirschberger [wie Anm. 1], S. 26.

⁴ R.J.K. Stowasser: Anhang. Wider die neuteutschen Bruchrechner - ein Pamphlet (1). In: Der Mathematikunterricht 25. 1979, S. 29-32, hier S. 31.

⁵ Gemessen an den Seitenzahlen können im LS 6 [Lambacher Schweizer 6.

⁶ Rainer Neumann: Probleme von Gesamtschülern bei ausgewählten Teilaspekten des Bruchzahlbegriffs. Eine empirische Untersuchung. Lage 1997, S. 282.

⁷ Vgl. ebd.

⁸ Vgl. Willi Dörfler: Emergenz von Brüchen und rationalen Zahlen aus einem Handlungssystem. In: Journal für Mathematik-Didaktik 23,2. 2002, S. 87-105.

⁹ Friedhelm Padberg: Die Bruchrechnung - ein Auslaufmodell? In: Der Mathematikun- terricht 46. 2000, S. 5-23, hier S. 5. Hervorhebung im Original.

¹⁰ Ebd.

¹¹ Ebd. Hervorhebungen im Original.

¹² Ebd.

¹³ Vgl. Stowasser [Anm. 4], S. 31.

¹⁴ Stowasser [Anm. 4], S. 31.

¹⁵ Etwa in Lothar Profke: Bruchrechnung im Mathematikunterricht. In: Mathematik lehren und lernen. Festschrift für Heinz Griesel. Hrsg. von Helmut Postel, Arnold Kirsch und Werner Blum. Hannover 1991, S. 143-155.

¹⁶ Ebd., S. 143.

¹⁷ Vgl. ebd., S. 145.

¹⁸ Ebd., S. 144.

¹⁹ Ebd., S. 143.

²⁰ Ebd., S. 155.

²¹ Vgl. ebd., S. 154.

²² Ebd.

²³ Vgl. etwa Bernhard Andelfinger: Didaktischer Informationsdienst Mathematik. Thema: Proportion. Hrsg. vom Landesinstitut für Curriculumentwicklung, Lehrerfortbildung und Weiterbildung. Neuss 1981, S. 115: „Bruchrechnen ist (zumindest heute) weniger legitimiert durch anwendungsbezogene Argumente“ oder Lutz Führer: Logos und Proportion - Gestaltliche Aspekte von Bruchzahlbegriff und Bruchrechnung. Nach einem Vortrag in Köln vom 30. Juni 1998. Version vom März 1999. URL: http://www.math.uni-frankfurt.de/~fuehrer/forschung.html. Eingesehen am 14.12.2006, S. 1: „Es kommen zwar Brüche im Alltag vor, aber keine ernsthaft Bruchrechnung.“

²⁴ Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I in Nordrhein-Westfalen. Mathematik. Hrsg. vom Ministerium für Schule, Jugend und Kinder des Landes Nordrhein-Westfalen. Frechen 2004, S. 11. Hervorhebungen im Original.

²⁵ Vgl. Ulrich Schoenwaelder: Die fünf Diskursebenen: vom inhaltlichen zum formalen Denken und zurück. In: Mathematische Semesterberichte 2. 2005, S. 39-62.

²⁶ Ebd., S. 2.

²⁷ Ebd., S. 3.

²⁸ Ebd.

²⁹ Ebd.

³⁰ Vgl. Padberg: Die Bruchrechnung - ein Auslaufmodell? [wie Anm. 9].

³¹ Vgl. hierzu die Ausführungen in Kapitel II.

³² Padberg: Die Bruchrechnung - ein Auslaufmodell? [wie Anm. 9], S. 6.

³³ Vgl. ebenfalls Kapitel II.

³⁴ Padberg: Die Bruchrechnung - ein Auslaufmodell? [wie Anm. 9], S. 7.

³⁵ Vgl. ebd., S. 10f.

³⁶ Vgl. ebd., S. 10.

³⁷ Vgl. Kapitel II.

³⁸ Vgl. Padberg: Die Bruchrechnung - ein Auslaufmodell? [wie Anm. 9].

³⁹ Ebd., S. 9.

⁴⁰ Vgl. Kapitel II.

⁴¹ Vgl. Padberg: Die Bruchrechnung - ein Auslaufmodell? [wie Anm. 9], S. 9.

⁴² Vgl. ebd.

⁴³ Ebd., S. 11. Hervorhebungen im Original.

⁴⁴ Ebd.

⁴⁵ Taschenbuch der Mathematik. Hrsg. von I.N. Bronstein, K.A. Semendjajew u.a. 5., überarbeitete und erweiterte Aufl. Frankfurt a.M. 2001, S. 138.

⁴⁶ Vgl. Andelfinger [wie Anm. 23], S. 31.

⁴⁷ Zitiert nach: Schoenwaelder [wie Anm. 25], S. 44. Ursprünglich in: Lisa Hefendehl- Hebeker: Geometrie-Unterricht als Chance für die Mathematik. Mathematica Didactica. Zeitschrift für Didaktik der Mathematik 20,2. 1997, S. 79-93.

⁴⁸ Friedhelm Padberg: Anschauliche Vorerfahrungen zum Bruchzahlbegriff zu Beginn der Klasse 6. In: Beiträge zum Mathematikunterricht. Vorträge auf der 35. Tagung für Didaktik der Mathematik vom 5. bis 9. März 2001 in Ludwigsburg. Hrsg. von Gabriele Kaiser. Hildesheim 2001, S. 476-479.

⁴⁹ Vgl. ebd., S. 477.

⁵⁰ Vgl. ebd., S. 478.

⁵¹ Ebd.

⁵² Vgl. ebd., S. 479. Der Test befindet sich im Anhang des Buches Friedhelm Padberg: Didaktik der Bruchrechnung. 3. Aufl., Heidelberg 2002.

⁵³ Ebd.