Die Geschichte der Auseinandersetzung der Menschen mit Verhältnissen und Proportionen ist uralt. Erste Proportionsstudien finden sich schon auf unvollendeten Reliefs im alten Ägypten, etwa im Grab des Königs Haremhab im Tal der Könige. Hier dienten sie vor allem als Mittel, die Wirklichkeit ‚verhältnisgetreu‘ auf einem Stück Felsen abzubilden.
Später in der griechischen Antike, bei den Pythagoreern, erlangten Proportionen transzendente Bedeutung, nicht mehr im Stoff wird das Prinzip alles Seienden gesehen, sondern in der Form, repräsentiert durch Zahlen und vor allem durch Verhältnisse. Ursache mag die für Pythagoras geradezu mystische Erfahrung gewesen sein, dass Akkorde angenehm klingen, „wenn die Saitenlängen oder die Frequenzen der Teiltöne im Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen“.
Gut 2500 Jahre später bewertet der Begründer der modernen Physik, Werner Heisenberg, dieses Prinzip so: Die pythagoreische Entdeckung gehört zu den stärksten Impulsen menschlicher Wissenschaft... wenn in einer musikalischen Harmonie... die mathematische Struktur als Wesenskern erkannt wird, so muß auch die sinnvolle Ordnung der uns umgebenden Natur ihren Grund in dem mathematischen Kern der Naturgesetze haben.
Letztlich waren also die in der Umwelt erkannten Verhältnisse und deren Untersuchung ein Initiator des immer weiter voranschreitenden Prozesses der ‚Mathematisierung‘ unserer Umwelt, für den man vor allem auch in Bezug auf den Verhältnisbegriff im heutigen Alltag überall Indizien finden kann. Sei es bei einem Gewinnspiel, dessen ‚Gewinnverhältnis‘ 1 : 4 beträgt, bei der Wahl des abendlichen Spielfilmformats, wo man bei modernen Fernsehgeräten zwischen den ‚Seitenverhältnissen‘ 4 : 3 oder 16 : 9 wählen kann, oder sei es beim Fußball, wo Italien Fußballweltmeister wurde, weil das ‚Torverhältnis‘ nach dem Spiel 6 : 4 für Italien betrug.
Aber wie ist es heute um die Kenntnisse über den ‚Wesenskern‘ dieser alltäglichen Verhältnisse bestellt? Immerhin hat sich seit Pythagoras die Mathematik erheblich weiterentwickelt und die pythagoreischen Verhältnisse natürlicher Zahlen haben sich in dem Begriff und der Struktur der positiven rationalen Zahlen niedergeschlagen, die nun in Form der Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen und Dezimalbrüchen schon seit einigen Generationen fester Bestandteil des Schulstoffs sind.
Inhaltsverzeichnis
I Einleitung
I.1 Die Legitimation der Bruchrechnung in der Schule
I.2 Die Voraussetzungen und Ergebnisse des gegenwärtigen Bruchrechenunterrichts
II Allgemeine didaktische Analyse des Bruchzahlbegriffs
II.1 Brüche im Alltag – Aspekte des Bruchzahlbegriffs
II.2 Größenbereiche und zugehörige Repräsentantenbereiche
II.3 Etablierte Konzepte zur Einführung des Bruchzahlbegriffs
II.3.1 Das Größenkonzept
II.3.2 Das Operatorkonzept
II.3.3 Das ‚Mischkonzept‘
III Der Verhältnisaspekt der Bruchzahlen
III.1 Über Verhältnisse
III.2 Der neue Kurs
III.2.1 Schritt 1: Vom Handeln mit Stäben zum Operieren mit Größen
III.2.2 Schritt 2: Verhältnisse von Längen
III.2.3 Schritt 3: Das Rechnen mit Brüchen
III.2.3.1 Die Multiplikation
III.2.3.2 Die Division
III.2.3.3 Die Addition und Subtraktion
III.2.4 Schritt 4: Von Symbolen zu Brüchen und Bruchzahlen
IV Ausblick
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit analysiert die aktuelle Krise des Bruchrechenunterrichts in der Sekundarstufe I und plädiert für eine Rückbesinnung auf den Verhältnisaspekt der Bruchzahlen. Ziel ist es, durch eine enaktive und auf das Messen ausgerichtete Didaktik, Brüche wieder als sinnvolle mathematische Werkzeuge zu etablieren und damit die mathematische Begriffsbildung zu fördern.
- Legitimation der Bruchrechnung im Computerzeitalter
- Kritik an gegenwärtigen Unterrichtskonzepten (Größen- und Operatorkonzept)
- Einführung des Verhältnisaspekts als zentrales Element
- Entwicklung eines handlungsorientierten Lehrgangs
- Förderung des Zahlverständnisses durch Modellbildung
Auszug aus dem Buch
III.2.2 Schritt 2: Verhältnisse von Längen
Nachdem nun die ‚Vorarbeiten‘ für das eigentliche Ziel des Kurses geleistet sind, soll in diesem Kursschritt die für die Einführung der Bruchzahlen „zentrale Beziehung“ gemeinsam mit den Schülern erarbeitet und mit den bisherigen Ergebnissen des 1. Lernschrittes in Verbindung gebracht werden, die Frage nach einer multiplikativen Beziehung zwischen den Längen zweier Stäbe.
Ausgangspunkt des gesamten weiteren Kurses sind die folgenden Fragestellungen: Wie kann man bei zwei gegebenen Stäben a und b die Länge des Stabes a mit der Länge des Stabes b messen? Welchen Bruchoperator muss ich auf den Stab b anwenden, um den Stab a zu erhalten, und umgekehrt? Wie kann ich einen Stab b herstellen, der zum Stab a in einem vorgegebenen Verhältnis steht?
Da den Schülern sicherlich unmittelbar einleuchtet, dass man diese Beziehung bei zwei Stäben unbekannter Länge nicht direkt angeben kann, muss gemeinsam ein Verfahren entwickelt werden, um diese Beziehung der beiden Stäbe zu messen. Der Ansatz zur Lösung dieses Problems kann vom Lehrer geliefert werden. Er kann vorschlagen, die Stäbe unbekannter Länge jeweils so oft hintereinander zu legen, bis die Ergebnisstäbe gleich lang sind. Selbstverständlich sind die Schüler hierfür mit Stäben zu versorgen, deren Längen kommensurabel sind, damit das Experimentieren nicht zu Enttäuschungen führt. Die Handlungen sind wie in Schritt 1 wieder von den Lernenden zu protokollieren. Im Anschluss an die Experimentalphase werden die Ergebnisse gemeinsam verglichen und es wird wiederum eine gemeinsame Notation für die Ergebnisse angestrebt.
Zusammenfassung der Kapitel
I Einleitung: Darstellung der historischen Bedeutung von Verhältnissen und der aktuellen Legitimationskrise der Bruchrechnung in der Schule.
II Allgemeine didaktische Analyse des Bruchzahlbegriffs: Didaktische Untersuchung der Alltagsaspekte von Brüchen und Kritik an etablierten Einführungskonzepten.
III Der Verhältnisaspekt der Bruchzahlen: Theoretische Grundlegung des Verhältnisses und Vorstellung eines konkreten, auf dem Messen basierenden Lehrgangs zur Bruchrechnung.
IV Ausblick: Fazit zum notwendigen Paradigmenwechsel von der Instruktion zur Konstruktion im Mathematikunterricht.
Schlüsselwörter
Bruchrechnung, Verhältnisaspekt, Bruchzahlbegriff, Didaktik der Mathematik, Größenbereich, Messen, Multiplikativer Vergleich, Mathematische Begriffsbildung, Sekundarstufe I, Schülerkonzepte, Operatorkonzept, Größenkonzept, Stäbe, Handlungsorientierung, Lerntrajektorie
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit?
Die Arbeit befasst sich mit der didaktischen Krise der Bruchrechnung und schlägt vor, den Verhältnisaspekt als zentrale didaktische Grundlage neu zu etablieren.
Welche Themenfelder stehen im Fokus?
Die Arbeit untersucht die historische Herleitung von Verhältnissen, die kognitive Entwicklung von Bruchvorstellungen bei Schülern und die Wirksamkeit verschiedener Unterrichtskonzepte.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Hauptziel ist es, einen Lehrgang zu entwerfen, der mathematische Wissensbildung für Schüler erlebbar macht und die Bruchrechnung über den Aspekt des Messens fundiert.
Welche Methode wird vorgeschlagen?
Der Autor schlägt ein handlungsorientiertes Vorgehen vor, bei dem Schüler durch das Operieren mit Stäben (Längenvergleiche) selbstständig mathematische Zusammenhänge entdecken.
Was behandelt der Hauptteil?
Der Hauptteil analysiert die Schwächen des derzeitigen "Mischkonzepts" in Lehrbüchern und leitet daraus Schritt für Schritt einen alternativen Unterrichtsverlauf ab.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit?
Schlüsselbegriffe sind der Verhältnisaspekt, die Diskursebenen nach Schoenwaelder, der Größenbereich sowie die Vermeidung von Einbettungsfehlern.
Warum wird das Mischkonzept kritisiert?
Das aktuelle Mischkonzept führt laut Autor oft zu einer Inkohärenz, da es den Schülern durch wechselnde, teils widersprüchliche Modelle den Zugang zum tieferen Zahlverständnis erschwert.
Welche Rolle spielen die Stäbe im neuen Kurs?
Die Stäbe dienen als konkrete Repräsentanten für Längen, um durch deren Aneinanderfügen und Vergleichen die abstrakte Welt der Brüche enaktiv zu erschließen.
Wie unterscheidet sich der vorgeschlagene Weg vom "Gegenoperatormethode"?
Während die Gegenoperatormethode oft sehr formal bleibt, legt der neue Kurs Wert auf eine stufenweise Abstraktion von der konkreten Handlung zur formalen Rechenregel.
- Quote paper
- Ulrich Staarmann (Author), 2006, Der Verhältnisaspekt der Bruchzahlen. Stoffanalyse und didaktische Fragestellungen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/124175
